一題多變，搞定“圍圈”

□山中月　章瑞峰

一題多變，搞定“圍圈”

□山中月章瑞峰

一元二次方程是解決實(shí)際問題的重要模型，也是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容.下面我們借一道“圍圈”習(xí)題變式，感受一元二次方程解決實(shí)際問題的便利.

例題如圖1，要建一個(gè)面積為150m2的長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻（墻長(zhǎng)18m），另外三邊用40m長(zhǎng)的籬笆圍成，求雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬.

圖1

解析：設(shè)AB長(zhǎng)為x m，則BC長(zhǎng)為（40-2x）m，依題意可列方程

x（40-2x）=150，

整理可得（x-5）（x-15）=0，

解得x1=5，x2=15.

當(dāng)x=5時(shí)，BC=40-2x=40-2×5＞18，

當(dāng)x=15時(shí)，BC=40-2x=40-2×15＜18，

∴x=15.

故雞場(chǎng)的長(zhǎng)是15m，寬是10m.

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用一元二次方程解決這類“圍圈”問題時(shí)，一定要根據(jù)題目中的隱含條件“墻長(zhǎng)18m”，對(duì)與墻平行的一邊的長(zhǎng)進(jìn)行檢驗(yàn)，看“BC”邊是否符合題意.

變式一：如果“墻長(zhǎng)18米，籬笆長(zhǎng)40米”的條件不變，能否圍成面積為250m2的雞場(chǎng)？

解：假設(shè)能圍成面積為250m2的雞場(chǎng)，則

x（40-2x）=250，

整理得x2-20x+125=0.

Δ=（-20）2-4×1×125＜0，

方程無解，故不能圍成面積為250m的雞場(chǎng).

點(diǎn)評(píng)：解決此類“判斷型”問題，可假設(shè)存在等量關(guān)系，從而建立一元二次方程，通過判斷方程是否有實(shí)數(shù)根，從而判定該等量關(guān)系是否存在.

變式二：如果“墻長(zhǎng)18米，籬笆長(zhǎng)40米”的條件不變，要使所圍雞場(chǎng)面積最大，該雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬分別是多少？

解：設(shè)雞場(chǎng)面積為Sm2，AB= x m，BC=（40-2x）m，

則S=x（40-2x），

整理可得S=-2x2+40x，

BC=40-2x=40-2×10＞18，不符合題意.

由a=-2＜0可知，拋物線開口向下，當(dāng)0＜x＜10時(shí)，S隨x的增大而增大，當(dāng)x＞10時(shí)，S隨x的增大而減小，即當(dāng)x取最小值時(shí)，所圍雞場(chǎng)面積最大.

由題意可建立一元一次不等式

解得11≤x＜20，

∴當(dāng)x=11時(shí)，S有最大值，此時(shí)BC=40-2×11=18（m）.

點(diǎn)評(píng)：涉及“極值”問題時(shí)，通常構(gòu)造二次函數(shù)模型來解決.

應(yīng)注意的問題是：

1.緊扣顯性條件和隱含條件，準(zhǔn)確求出自變量的取值范圍；

變式三：如果“墻長(zhǎng)18米，籬笆長(zhǎng)40米”的條件不變，且在BC邊上開一個(gè)2米長(zhǎng)的門，要使所圍雞場(chǎng)面積最大，要求雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬.

圖2

解：如圖2，設(shè)雞場(chǎng)面積為Sm2，AB=x m，BC=（40-2x+2）m，

得12≤x＜21.

此時(shí)AB=12m，BC=18m.

點(diǎn)評(píng)：解決此類“開門”問題，審題是關(guān)鍵.如圖2，“開門”的實(shí)質(zhì)是在不改變籬笆長(zhǎng)度的基礎(chǔ)上，將BC長(zhǎng)度增加了2m，由原來的x m變?yōu)椋▁+2）m，相應(yīng)的面積也發(fā)生了變化.同樣不能忽視題目中的隱含條件.?