高速公路行程時間可靠性模型參數(shù)估計方法比較分析

陳嬌娜，張生瑞，靳引利

(1.長安大學(xué)　公路學(xué)院，陜西　西安　710064；2.長安大學(xué)　電子與控制工程學(xué)院，陜西　西安　710064)

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高速公路行程時間可靠性模型參數(shù)估計方法比較分析

陳嬌娜1，張生瑞1，靳引利2

(1.長安大學(xué)公路學(xué)院，陜西西安710064；2.長安大學(xué)電子與控制工程學(xué)院，陜西西安710064)

對于服從對數(shù)正態(tài)分布的同一組樣本，不同估計方法可能會產(chǎn)生不同的參數(shù)估計結(jié)果。針對這種情況，運用高速公路收費數(shù)據(jù)分別對客車和貨車的行程時間分布進行了對數(shù)正態(tài)分布擬合。以誤差平方和、累積分布函數(shù)的誤差平方和、確定系數(shù)、偏度系數(shù)的相對誤差和峰度系數(shù)的相對誤差為衡量指標(biāo)，比較最大似然估計和最小二乘估計的擬合結(jié)果。結(jié)果表明：最大似然參數(shù)估計在擬合累積概率分布時效果更優(yōu)。建立了路段單位距離行程時間可靠性模型，提出了參數(shù)及閾值標(biāo)定適用的估計方法。最后，對陜西省的高速公路網(wǎng)進行了實例分析。分析表明：出行距離對貨車和客車的行程時間可靠度均有影響，出發(fā)時段對客車的出行延誤影響較貨車顯著。

交通工程;行程時間可靠性;最大似然估計;最小二乘估計;對數(shù)正態(tài)分布

0　引言

高速公路行程時間可靠性是指在高速公路上給定的起終點之間，出行者能在規(guī)定時間內(nèi)順利完成出行的概率[1]。高速公路行程時間可靠性能有效地衡量高速公路路網(wǎng)的不確定性，是微觀出行決策的重要考慮因素和評價出行服務(wù)水平及道路運行效率的關(guān)鍵指標(biāo)[2]。

柏喜紅等[3]從路、人、環(huán)境和技術(shù)4個方面分析了高速公路行程時間可靠性的影響因素，并總結(jié)了數(shù)理統(tǒng)計、緩沖時間、行程延誤、行程時間分布寬度和斜度4個角度的評價指標(biāo)及適用性。降雨[4-5]、霧天[6]、冰雪[7]、交通事故[8]等條件下對行程時間可靠性影響的研究相繼開展。Bell等[9]認為，當(dāng)交通量較大時，路徑行程時間服從正態(tài)分布，當(dāng)交通量不大時，服從對數(shù)正態(tài)分布。Arezoumandi[10]分析了伽馬分布、最大極值分布、log-logistic概率分布、對數(shù)正態(tài)分布及威布爾分布與 18 h行程時間數(shù)據(jù)的擬合程度，認為可變限速情形下行程時間的分布服從對數(shù)正態(tài)分布。陳琨等[11]使用北京市浮動車數(shù)據(jù)，分別用正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、伽馬分布和威布爾分布對路段行程時間的概率密度函數(shù)進行了曲線擬合，結(jié)果表明對數(shù)正態(tài)分布的擬合效果最佳。尹志鵬[12]基于對數(shù)正態(tài)分布，采用標(biāo)準差、緩沖指數(shù)和擁擠頻率來評價旅行時間可靠性。浮動車數(shù)據(jù)[13]、車檢器數(shù)據(jù)[14]和收費數(shù)據(jù)[15]被應(yīng)用于高速公路路段行程時間預(yù)測研究。

雖然在行程時間分布模型方面的研究不斷深入，但尚未涉及模型參數(shù)估計方法對評價結(jié)果的影響。Zhou[16]和Taraldsen[17]介紹了對數(shù)正態(tài)分布的常見估計方法。于洋[18]認為對于同一組樣本觀測值，采用不同估計方法得到的對數(shù)正態(tài)分布參數(shù)估計值是不同的。由于不同參數(shù)標(biāo)定方法的差異，如何選取符合可靠性評價適用條件的參數(shù)估計方法已成為亟待解決的問題。

本文分別對客車和貨車的行程時間分布進行擬合，驗證高速公路行程時間的分布模型，并比較最大似然參數(shù)估計和最小二乘參數(shù)估計的擬合效果；建立高速公路行程時間可靠性模型，結(jié)合4類可靠性評價指標(biāo)特征，提出一種確定可接受的行程時間閾值的方法；最后，通過實際高速公路收費數(shù)據(jù)驗證模型的適用性。

1　高速公路行程時間可靠性

由文獻[11]可知，路段行程時間的概率密度函數(shù)可以由對數(shù)正態(tài)分布模型來描述。對數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)如下：

(1)

式中，ti為路段的行程時間；μi和σi分別為路段行程時間的期望和標(biāo)準差。

路段i的行程時間可靠性模型可以描述為：

式中，Ri,L為在服務(wù)水平L下路段i行程時間可靠度；ti為路段i的實際行程時間；Ti,L為在服務(wù)水平L下路段i行程時間的閾值。從道路管理者角度出發(fā)，Ti,L是一個固定值；從道路使用者角度出發(fā)，時間閾值Ti,L是一個隨機變量。

從上述定義可知，求解路段行程時間可靠性的問題，實際上就是求解路段行程時間的累計分布函數(shù)。

2　模型參數(shù)估計方法比較

2.1數(shù)據(jù)預(yù)處理

考慮高速公路客車與貨車限速值的差異，分為客車和貨車兩類，選取路網(wǎng)中樣本數(shù)據(jù)量較多的區(qū)間作為樣本數(shù)據(jù)集合。樣本區(qū)間及其分布特征分析如表1所示。

表1　選取的樣本數(shù)據(jù)Tab.1　Selected sample data

2.2擬合評價指標(biāo)

采用誤差平方和(SSE)、累積分布函數(shù)的誤差平方和(SSEofCDF)、確定系數(shù)(R2)、偏度系數(shù)的相對誤差(RES)和峰度系數(shù)的相對誤差(REK)5個指標(biāo)來衡量。SSE與SSEofCDF用于反映擬合估計值與樣本的接近程度；R2，RES，REK用于說明曲線擬合在解釋數(shù)據(jù)的變異性方面是否成功，樣本的分布特征是否得到保留。

SSE為擬合數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)對應(yīng)點誤差的平方和。SSEofCDF為擬合數(shù)據(jù)的累積分布函數(shù)和原始數(shù)據(jù)的經(jīng)驗累積分布函數(shù)對應(yīng)點的誤差平方和。SSE和SSEofCDF越接近0，則曲線的擬合效果越好。

確定系數(shù)R2取值范圍為[0,1]，值越接近1，曲線擬合的效果越好。計算如下：

(3)

偏度系數(shù)的相對誤差(RES)和峰度系數(shù)的相對誤差(REK)計算公式為：

(4)

(5)

對于容量為n的樣本，偏度系數(shù)和峰度系數(shù)計算公式為：

(6)

(7)

2.3參數(shù)估計方法擬合結(jié)果

本文采用正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布對樣本數(shù)據(jù)進行擬合，比較不同分布以及參數(shù)估計方法與實際樣本數(shù)據(jù)的近似程度。其中，正態(tài)分布的參數(shù)采用最大似然估計，對數(shù)正態(tài)分布的參數(shù)分別采用最小二乘估計和最大似然估計。由于篇幅所限，僅給出樣本T1和T5行程時間概率分布及其累積分布曲線的實際值和擬合值比較圖，如圖1～圖4所示。樣本T1～T8的行程時間分布擬合評價指標(biāo)結(jié)果如表2所示。

圖1　T1的行程時間概率分布擬合結(jié)果Fig.1　Fitting result of travel time probability distribution of T1　　注：Empirical為樣本經(jīng)驗值；LogNormal-MLE為最大似然估計對數(shù)正態(tài)分布；LogNormal-LSE為最小二乘估計對數(shù)正態(tài)分布；Normal-MLE為最大似然估計正態(tài)分布，下同。

圖2　T1的行程時間累積分布擬合結(jié)果Fig.2　Fitting result of travel time cumulative distribution of T1

圖3　T5的行程時間概率分布擬合結(jié)果Fig.3　Fitting result of travel time probability distribution of T5

由表2中I和III擬合結(jié)果可得，I的SSE和SSE of CDF較III小，且R2更接近于1。即對數(shù)正態(tài)分布相比于正態(tài)分布具有更好的擬合效果，與文獻[11]結(jié)論一致。比較I和II的SSE可知，II的SSE小于I，說明采用最小二乘參數(shù)估計的對數(shù)正態(tài)分布與經(jīng)驗統(tǒng)計分布誤差最小。I的SSE of CDF小于或接近II，說明采用最大似然估計的對數(shù)正態(tài)分布能較好地擬合行程時間概率的累積分布。比較I和II的R2可知，II的R2最接近于1，且RES 和REK指標(biāo)最小，說明采用最小二乘估計的對數(shù)正態(tài)分布能更好地擬合分布的偏態(tài)性和峰值。

表2　高速公路網(wǎng)行程時間分布擬合評價指標(biāo)Tab.2　Evaluation indexes of travel time distribution fitting for expressway network

注：I為最大似然估計對數(shù)正態(tài)分布；II為最小二乘估計對數(shù)正態(tài)分布；III為最大似然估計正態(tài)分布。

圖4　T5的行程時間累積分布擬合結(jié)果Fig.4　Fitting result of travel time cumulative distribution of T5

綜上所述，采用相同的參數(shù)估計方法時，相比于正態(tài)分布，對數(shù)正態(tài)分布擬合高速公路行程時間效果更優(yōu)。同時，最小二乘參數(shù)估計的對數(shù)正態(tài)分布能更好地擬合行程時間分布的偏態(tài)性和峰值；采用最大似然估計的對數(shù)正態(tài)分布在擬合行程時間累積概率分布時效果較優(yōu)。因此，根據(jù)行程時間可靠性的定義，為盡量減小參數(shù)估計方法引起的誤差，在計算可靠度時應(yīng)使用最大似然參數(shù)估計；在進行基于最大可能準則行程時間預(yù)測時應(yīng)使用最小二乘參數(shù)估計。

3　高速公路時間可靠性模型建立

采用陜西省2015年1月～6月高速公路收費數(shù)據(jù)作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，分析路網(wǎng)中不同出行距離和不同出發(fā)時段的行程時間可靠性。參考文獻[3]，選取變異系數(shù)(CoefficientofVariable，CV)、緩沖指數(shù)(BufferIndex, BI)、行程時間可靠度(TravelTimeReliability，TTR)、遭遇指數(shù)(MiseryIndex，MI)和不可靠性指數(shù)(UnreliabilityIndex，UI)作為不同角度評價高速公路行程時間可靠性的指標(biāo)。

指標(biāo)計算方法如下：

(8)

(9)

式中，t95%為某時段內(nèi)路段上所有行程時間的95%分位數(shù)。

根據(jù)式(2)，采用基于風(fēng)險型問題決策中的最大可能準則，定義行程時間閾值Ti,L為期望行程時間與可接受的延誤時間之和。其中，期望行程時間為統(tǒng)計擬合分布的最大概率行程時間，則行程時間可靠度計算公式為：

(10)

式中，Φ(·)為標(biāo)準正態(tài)分布函數(shù)；tpmax為某時段內(nèi)統(tǒng)計擬合分布的最大概率行程時間；Δt為可接受的延誤時間，即緩沖時間。可接受的延誤時間為tpmax的 5%，10%，15%或 20%。由2.3節(jié)可知，采用最小二乘估計對閾值tpmax進行標(biāo)定。

(11)

(12)

式中，λvar為行程時間分布的寬度；λskew為行程時間分布的斜度；Lr為路段長度。

(13)

(14)

式中，t10%，t50%，t90%分別為行程時間的10%，50%，90%分位數(shù)，t10%

TTR屬于正指標(biāo)，值越大，可靠性水平越高；CV，BI，MI和UI屬于負指標(biāo)，值越小，可靠性水平越高。CV反映行程時間的離散程度；BI反映出行者為了以 95%的概率準時到達目的地需要比平均行程時間多花費的時間；TTR為在可接受的時間內(nèi)準時到達的概率；MI為不期望延誤的嚴重程度；UI為遇到較差的可靠性狀態(tài)的概率。這些指標(biāo)接近出行者的實際感受，有助于在不確定性條件下做出合理的出行決策。

以10km為間隔將樣本數(shù)據(jù)分為15組，對樣本進行隨機抽樣，每組樣本容量為100 000個，分析0～150km范圍內(nèi)客車和貨車不同出行距離的可靠性，評價指標(biāo)分析結(jié)果如表3所示。

表3　不同出行距離的單位距離行程時間可靠性分析Tab.3　Analysis of travel time reliability in unit distance of different travel distances

由表3可知，客車和貨車的CV，BI，MI和UI隨出行距離的增加逐漸變小，TTR隨出行距離的增加呈增長趨勢，當(dāng)出行距離大于60km時，趨近于一個穩(wěn)定狀態(tài)。可見，客車和貨車的行程延誤受出行距離的影響顯著。與長距離出行相比，客車和貨車在短距離出行時TTR較低，而CV，BI，MI和UI較高。這說明路網(wǎng)在短距離出行時易遭遇不確定因素，行程時間波動性大，即可靠性水平較低。

以1h為間隔，將樣本數(shù)據(jù)分為24組，每組樣本容量為100 000個，分析客車和貨車不同出發(fā)時段的可靠性，評價指標(biāo)分析結(jié)果如表 4所示。

由表4可知，路網(wǎng)中客車在時段08:00—11:00 和16:00—18:00內(nèi)TTR較其他時段低，且MI和UI較高，說明客車在高峰時段遭遇不可靠出行的機率較大，可靠性較非高峰時段低。對于貨車而言，每天不同時段單位距離的CV，BI，TTR，MI和UI變化較客車小，說明貨車的行程延誤受出發(fā)時段的影響不顯著。

4　結(jié)論

為消除不同車型速度差對可靠性計算結(jié)果的影響，將貨車和客車分別進行分布擬合，驗證了高速公路網(wǎng)中單位距離的行程時間服從對數(shù)正態(tài)分布。選取誤差平方和(SSE)、累積分布函數(shù)的誤差平方和(SSE of CDF)、確定系數(shù)(R2)、偏度系數(shù)的相對誤差(RES)和峰度系數(shù)的相對誤差(REK)5個指標(biāo)來衡量，比較了不同參數(shù)估計的擬合效果，給出了不同參數(shù)估計方法的適用情況。結(jié)果表明，基于對數(shù)正態(tài)分布的路徑行程時間可靠性模型能夠準確估算路徑的行程時間可靠度；最大似然估計在擬合單位距離行程時間累積概率分布時誤差較??；最小二乘估計在擬合單位距離行程時間的偏態(tài)性和峰值時誤差更小。

表4　不同出發(fā)時段的單位距離行程時間可靠性分析Tab.4　Analysis of travel time reliability in unit distance of different departure time

可接受行程時間閾值會影響可靠性評價結(jié)果。本研究提出了面向出行者的行程時間閾值選取方法，將模型應(yīng)用于陜西省高速公路網(wǎng)，對行程時間可靠性進行了評價。評價結(jié)果表明，出行距離對貨車和客車的行程時間可靠度均有影響，出發(fā)時段對客車的出行延誤影響比貨車大。如何運用CV，BI，TTR，MI和UI指標(biāo)來綜合評價該路段或該時段的服務(wù)水平和運行質(zhì)量是需要進一步解決的問題。

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Comparative Analysis of Parameter Evaluation Methods for Expressway Travel Time Reliability Model

CHEN Jiao-na1, ZHANG Sheng-rui1, JIN Yin-li2

(1.School of Highway, Chang’an University, Xi’an Shaanxi 710064, China;2. School of Electrical and Control Engineering, Chang’an University, Xi’an Shaanxi 710064, China)

Different parameter estimation results will be produced with different estimation methods to the same sample which obeys the lognormal distribution. In view of this, massive historical data of expressway toll is used for fitting the lognormal distribution of travel time of both cars and trucks. The fitting result of maximum likelihood estimation (MLE) is compared with that of the least square estimation (LSE) by 5 indexes, including the sum of squared error (SSE), the sum of squared error of cumulative distribution function (SSEofCDF), the determination coefficient (R2), the relative error of skewness (RES) coefficient and the relative error of kurtosis (REK) coefficient. The experimental result shows that the MLE produces more efficient than the LSE for fitting the cumulative probability distribution. The unit-distance travel time reliability model of the section is established, and the estimation methods of parameter and appropriate threshold calibration are given. Finally, the case analysis of the Shaanxi expressway network is conducted. The result shows that the travel time reliability of both cars and trucks are affected by both travel distance, departure time period has more significant impact on cars’ travel delay than trucks’ travel delay.

traffic engineering; travel time reliability; maximum likelihood estimation; least square estimation; lognormal distribution

2015-11-26

陜西省科技攻關(guān)項目(2012k06137)；陜西省交通運輸廳科研項目(14-40X)

陳嬌娜(1989-)，女，云南大理人，博士研究生.(chenjn@chd.edu.cn)

10.3969/j.issn.1002-0268.2016.10.018

U491

A

1002-0268(2016)10-0118-07