石家文
例談函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題解決策略
石家文
函數(shù)零點(diǎn)的相關(guān)問(wèn)題涉及函數(shù)方程,蘊(yùn)含轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)整合等數(shù)學(xué)思想,是函數(shù)與方程知識(shí)的綜合應(yīng)用之點(diǎn),也是高考的重點(diǎn)、難點(diǎn)和熱點(diǎn)。筆者通過(guò)多年的教學(xué)體會(huì)和對(duì)近年來(lái)高考試題的分析,從五個(gè)方面談一談函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題的解決辦法,供老師們參考。
當(dāng)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)零點(diǎn)或?qū)Ш瘮?shù)零點(diǎn)時(shí),別無(wú)選擇,必須把零點(diǎn)用解方程的辦法算出來(lái)。
解得3x-1=3或3x-1=-3(舍),
解得3x=4,
所以x=log34。
說(shuō)明:函數(shù)f(x)的零點(diǎn)就是使f(x)=0的x的值,也就是關(guān)于x的方程f(x)=0的根,常用求方程根的方法計(jì)算函數(shù)的零點(diǎn)。
如果問(wèn)題只涉及零點(diǎn)的個(gè)數(shù),可考慮用零點(diǎn)畫(huà)出來(lái)的方法,但要注意函數(shù)圖像必須是能夠畫(huà)得出來(lái)的。畫(huà)初等函數(shù)的圖像,學(xué)生不會(huì)有難度。如果是畫(huà)較復(fù)雜函數(shù)的圖像,可以以導(dǎo)數(shù)為工具,先分析函數(shù)的單調(diào)性和極值等,再畫(huà)出函數(shù)的圖像。
例2.設(shè)函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2,(1)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍;(2)略。
解:(1)由f(x)=0?a(x-1)2=(2-x)ex,顯然x=1時(shí),a不存在,故x≠1。所以
當(dāng)x>1時(shí),g′(x)>0;當(dāng)x<1時(shí),g′(x)<0。函數(shù)g(x)在(-∞,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增。
又x≥2時(shí),g(x)≥0;x<2時(shí),g(x)<0,且g(0) =-2。故在同一坐標(biāo)系中作直線(xiàn)y=-a,函數(shù)y=g(x)的圖像如圖1所示。由圖知:當(dāng)且僅當(dāng)-a<0,即a>0時(shí),直線(xiàn)y=-a與函數(shù)y=g(x)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn),故a的取值范圍為(0,+∞)。
圖1
說(shuō)明:本題用零點(diǎn)畫(huà)出來(lái)的方法,比參考答案簡(jiǎn)單多了,真是一個(gè)圖形勝過(guò)千言萬(wàn)語(yǔ)!數(shù)形結(jié)合是避開(kāi)分類(lèi)討論的最好辦法。
當(dāng)問(wèn)題的題設(shè)給出的函數(shù)是分段函數(shù)(或轉(zhuǎn)化后為分段函數(shù)),而問(wèn)題的解決用到該函數(shù)的零點(diǎn)時(shí),可采取先把零點(diǎn)畫(huà)出來(lái),再把零點(diǎn)算出來(lái)的方法,來(lái)一個(gè)雙管齊下。
圖2
又x1是關(guān)于x的方程2x2-x=m,即2x2-x-m=0的較小根。
說(shuō)明:本題由于是一道小題,原供參考答案是利用圖像與不等式方法得到相應(yīng)結(jié)果。筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)將該題改為小題大做,把x1·x2·x3用m表示出來(lái),用函數(shù)思想求x1·x2·x3的范圍,是一道極佳的函數(shù)方程的問(wèn)題。
若題設(shè)中已給出了函數(shù)零點(diǎn)的字母表示,而目標(biāo)中又涉及零點(diǎn)的相關(guān)代數(shù)式時(shí),或需用零點(diǎn)來(lái)聯(lián)系相關(guān)的參數(shù)時(shí),必須回歸函數(shù)零點(diǎn)的定義。筆者將其稱(chēng)之為零點(diǎn)反串。
例4.已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn)。(1)略;(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明:x1+x2<2。
解:(2)不妨設(shè)x1<x2,由(1)及圖3知:x1<1<x2,進(jìn)而有2-x2<1。所以x1,2-x2∈(-∞,1)。
圖3
由f′(x)=(x-1)(ex+2a)及a>0知:
當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),f′(x)<0恒成立,所以f(x)在(-∞,1)內(nèi)單調(diào)遞減。
所以x1+x2<2?x1<2-x2?f(x1)>f(2-x2)?f(2-x2)<0。
由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)ex2
+a(x2-1)2=0,所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2
。
設(shè)g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,而g′(x)=(x-1)(e2-xex)。所以當(dāng)x>1時(shí),g′(x)<0,而g(1)=0,故當(dāng)x>1時(shí),g(x)<0,從而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2。
說(shuō)明:本題雖然是一道利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式x1<x-x2的問(wèn)題,但最關(guān)鍵的地方是利用x1,x2的反串,得f(x1)=0,f(x2)=0,成功地消掉了x1及a,為問(wèn)題的解決奠定了基礎(chǔ)。
如果函數(shù)是一個(gè)超越式,我們無(wú)法直接解出其零點(diǎn)。但由零點(diǎn)存在性定理或作圖知道設(shè)函數(shù)在某一區(qū)內(nèi)有零點(diǎn)時(shí),我們可采用先設(shè)零點(diǎn)再反串的方法予以解決。
例5.設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx。
(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
當(dāng)a>0時(shí),方程g(x)=a有一個(gè)根,即f′(x)存在唯一零點(diǎn);
當(dāng)a≤0時(shí),方程g(x)=a沒(méi)有根,即f′(x)沒(méi)有零點(diǎn)。
(2)由(1),可設(shè)f′(x)在(0,+∞)的唯一零點(diǎn)為x0。當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),f′(x)>0。故f(x)在(0,x0)單調(diào)遞減,在(x0,+∞)單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(x0)。
由f′(x)=0得0,進(jìn)而得①和
以函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題作為高考?jí)狠S大題,就是因其綜合性極強(qiáng),思想內(nèi)涵豐富,有很好的選拔功能,有難度是必然的。但只要我們用活五大招,從數(shù)與形兩方面思考,學(xué)生破解這類(lèi)問(wèn)題應(yīng)該沒(méi)有問(wèn)題。
(作者單位:永順縣第一中學(xué))