球面波PP反射系數(shù)的頻變特征研究

李京南， 王尚旭*， 董春暉， 袁三一， 王靜波

1 中國石油大學(xué)(北京)油氣資源與探測國家重點實驗室, 北京　102249 2 中國石油大學(xué)(北京)CNPC物探重點實驗室, 北京　102249 3 中國石油化工股份有限公司勘探分公司, 成都　610041

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球面波PP反射系數(shù)的頻變特征研究

李京南1,2， 王尚旭1,2*， 董春暉1,2， 袁三一1,2， 王靜波3

1 中國石油大學(xué)(北京)油氣資源與探測國家重點實驗室, 北京102249 2 中國石油大學(xué)(北京)CNPC物探重點實驗室, 北京102249 3 中國石油化工股份有限公司勘探分公司, 成都610041

與平面波反射系數(shù)相比，球面波反射系數(shù)可以更精確地描述實際地震波的反射特征.近些年關(guān)于球面波的研究主要聚焦于球面波反射系數(shù)隨入射角的變化規(guī)律，很少對球面波反射系數(shù)隨頻率的變化(頻變)做詳細研究.為了更全面地了解球面波的反射機制，本文研究了兩層彈性介質(zhì)中球面波PP反射系數(shù)(幅值和相位)的頻變規(guī)律.文中基于經(jīng)典的Sommerfeld積分構(gòu)造球面波PP反射系數(shù)，通過自適應(yīng)的Gauss-Kronrod求積算法對其進行穩(wěn)定的數(shù)值計算.數(shù)值試驗發(fā)現(xiàn)，對于不同的介質(zhì)參數(shù)，球面波反射系數(shù)表現(xiàn)出了復(fù)雜的頻變規(guī)律.尤其是當(dāng)平面波反射系數(shù)為零時，對應(yīng)的球面波反射系數(shù)是非零的，且球面波反射系數(shù)的相位隨頻率增加在高頻趨近于90°或-90°，即此時球面反射波相對于入射波會有90°的相位旋轉(zhuǎn).對四類AVO模型的測試表明，球面波反射系數(shù)與平面波反射系數(shù)在臨界角附近和低頻時差異很大.

球面波； 平面波； 反射系數(shù)； 頻變

1　引言

近十年來，關(guān)于反射球面波的研究再次引起了地球物理學(xué)家的注意，研究內(nèi)容主要聚焦于大偏移距的球面波AVO特征分析和AVO參數(shù)反演.這些研究的前提需要計算球面波反射系數(shù)，其計算方法大致可以分為兩類：一類是通過Sommerfeld積分構(gòu)建反射系數(shù)并對其進行數(shù)值計算(Haase, 2004; Ursenbach et al., 2007; 黃饒等, 2009)；另一類是利用反射率法或有限差分法進行全波場地震模擬來求取反射系數(shù)(印興耀等, 2006; Alhussain et al., 2008; Zhu and McMechan, 2012; 楊心超, 2012).研究發(fā)現(xiàn)在臨界角附近平面波反射系數(shù)和球面波反射系數(shù)之間存在很大的差異，此時平面波理論是失效的.鑒于此，Alhussain等(2008)，Skopintseva等(2011)，Zhu和McMechan(2012)利用球面波反射系數(shù)進行AVO反演，與常規(guī)的基于平面波反射系數(shù)的AVO反演相比，反演結(jié)果得到了顯著的改善.

上述研究主要是利用大入射角度的球面波反射系數(shù)隨入射角變化的特征，未對球面波反射系數(shù)與頻率的關(guān)系做深入分析.根據(jù)經(jīng)典的幾何地震學(xué)，平面波反射系數(shù)是與頻率無關(guān)的，但球面波反射系數(shù)是隨頻率變化(頻變)的.忽略球面波反射系數(shù)的頻變特征可能會導(dǎo)致不精確的、甚至錯誤的地下構(gòu)造解釋，尤其是對于淺層、低頻率和反射界面曲率很大的情況.因此，為了更精確地描述實際地震波的反射特征、充分利用地震數(shù)據(jù)含有的有用信息，對球面波反射系數(shù)頻變特征進行研究具有重要的意義.

目前并沒有論文和著作闡述彈性介質(zhì)中球面波反射系數(shù)的頻變機制.本文對兩層半無限大彈性介質(zhì)中球面波PP反射系數(shù)的頻變特征進行系統(tǒng)地研究，并與平面波反射系數(shù)進行對比.文中首先基于Sommerfeld積分建立球面波PP反射系數(shù)的積分表達式，采用自適應(yīng)的Gauss-Kronrod求積算法(Shampine, 2008)對其進行穩(wěn)定的數(shù)值計算.然后通過數(shù)值測試揭示球面波PP反射系數(shù)復(fù)雜的頻變特征，并對頻變特征進行分類.最后討論該研究的意義.

2　方法原理

對于圖1所示的兩均勻半空間彈性介質(zhì)模型，當(dāng)激發(fā)的P波震源位于上層介質(zhì)時(圖1中的S點)，根據(jù)Aki和Richards (1980)，在接收位置P處的球面反射P波位函數(shù)可表示為

(1)

圖1　本文研究的兩層介質(zhì)模型的觀測系統(tǒng).S和S*為點震源及其對應(yīng)的虛震源，P是檢波器位置.實線表示P波，虛線表示SV波Fig.1　Observation system of the two-layer model investigated in this study. S and S* are point source and the corresponding image source, respectively; P is a recording position. Solid lines represent P waves and dashed lines represent SV waves.

其中，ρ1和ρ2分別為上層和下層介質(zhì)的密度，β1和β2分別為上層和下層介質(zhì)的SV波速度，α2為下層介質(zhì)的P波速度，i2是P波的透射角度，j1和j2分別是SV波的反射角度和透射角度.

球面反射P波的位移與位函數(shù)有如下關(guān)系

(3)其中，ur和uz分別為反射P波沿徑向和垂直方向的位移分量.

本文考慮反射P波沿射線方向的位移分量，可表示為

uref=ursinθ+uzcosθ

×eiω ξ1(h+z)dp,

(4)

其中，J1是一階貝塞爾函數(shù)，θ為射線入射角，注意這個角度為真實的入射角度，上述的i1為積分變量中的入射角.

(5)由于虛源入射波的位函數(shù)可以解析地表示為

(6)則虛源入射波沿射線方向的位移可以容易地得到

(7)其中，R=(h+z)/cosθ，即地震波由震源出發(fā)到接收點的傳播距離.

將(4)和(7)代入(5)式，則有

(8)

(8)式的積分路徑中含有奇點p=1/α1，這給數(shù)值計算帶來了困難.參考Ursenbach等(2007)的做法，通過如下的變量代換來消除奇點：p=sini1/α1，ξ1=cosi1/α1，于是有(p/ξ1)dp=-d(cosi1)/α1，cosi1∈[1,0]∪[0,i∞].將上述代換代到(8)中，并令x=cosi1，經(jīng)過一系列推導(dǎo)和整理，最后可以得到球面反射P波的位移反射系數(shù)為

(9)

根據(jù)Snell定理，可用sini1表示(2)式中的cosi2、cosj1、cosj2和p，再用cosi1表示sini1，由于x=cosi1，最后便可以獲得(9)式中的RPP(x).

3　數(shù)值結(jié)果及分析

3.1球面波反射系數(shù)的頻變規(guī)律

為深入探討球面波PP反射系數(shù)的頻變規(guī)律，下面針對不同的參數(shù)模型繪制其隨頻率的變化曲線并歸納分析.這里只考慮臨界角前較小的入射角度.

對各種參數(shù)模式的頻變規(guī)律進行了數(shù)值測試，從測試結(jié)果中選取兩個典型的例子進行說明，即α1<α2和α1>α2兩種情況，如表1所示.其他參數(shù)為h=500 m，z=500 m，入射角以0°為例.圖2和圖3分別為當(dāng)α1<α2和α1>α2時的球面波PP反射系數(shù)頻變曲線.為了便于比較不同參數(shù)時球面波反射系數(shù)的頻變規(guī)律，對反射系數(shù)幅值進行規(guī)零化，即用球面波和平面波反射系數(shù)的幅值與對應(yīng)的平面波反射系數(shù)幅值的差值作為縱軸，如圖2a、3a所示，|Rsw|、|Rpw|分別表示球面波反射系數(shù)和平面波反射系數(shù)的幅值，則不同介質(zhì)參數(shù)的平面波反射系數(shù)都由黑色虛線表示；反射系數(shù)的相位不做處理，如圖2b、3b所示.從圖2和圖3中可以看出，對于不同的介質(zhì)參數(shù)，球面波PP反射系數(shù)的頻變規(guī)律是很復(fù)雜的，通過詳細地研究分析，可以歸納總結(jié)為如下.

表1　測試模型參數(shù)Table 1　Parameters of tested models

當(dāng)α1<α2時(見圖2).

1) 當(dāng)ρ1=2.50 g·cm-3時，平面波反射系數(shù)為零，而球面波反射系數(shù)是非零的，且其幅值隨頻率增加而單調(diào)遞減，并在高頻趨近于平面波反射系數(shù)的幅值；球面波反射系數(shù)的相位隨著頻率增加而減小，并在高頻趨近于90°，這說明球面反射P波與入射波有90°的相位差.這一現(xiàn)象尚未在目前的文獻中見諸.

2) 當(dāng)ρ1=2.42 g·cm-3時，平面波反射系數(shù)為較小的正數(shù)(0.0163)，球面波反射系數(shù)的幅值在很低頻率處大于平面波反射系數(shù)，但在其他的頻率小于平面波反射系數(shù)，且隨頻率增加而在高頻趨近于平面波反射系數(shù)的幅值；球面波反射系數(shù)的相位隨頻率增加從一個較大的相位值(約120°)單調(diào)遞減地趨近于平面波反射系數(shù)的相位(0°).當(dāng)ρ1=1.90 g·cm-3時，平面波反射系數(shù)為較大的正數(shù)(0.1364)，球面波反射系數(shù)的幅值小于平面波反射系數(shù)的幅值，且隨頻率增大而增大并在高頻趨近平面波反射系數(shù)的幅值；球面波反射系數(shù)的相位隨頻率增加從一個較小的相位值(約40°)逐漸趨近平面波反射系數(shù)的相位(0°).

圖2　α1<α2時球面波PP反射系數(shù)幅值(a)和相位(b)的頻變規(guī)律α1=2000 m·s-1, α2=2500 m·s-1, ρ2=2 g·cm-3. Fig.2　Frequency-dependent characteristics of spherical-wave PP reflection coefficient when α1<α2. Magnitude (a) and phase (b)

圖3　α1>α2時球面波PP反射系數(shù)幅值(a)和相位(b)的頻變規(guī)律α1=2500 m·s-1, α2=2000 m·s-1, ρ2=2.5 g·cm-3.Fig.3　Frequency-dependent characteristics of spherical-wave PP reflection coefficient when α1>α2. Magnitude (a) and phase (b)

3) 當(dāng)ρ1=2.65 g·cm-3時，平面波反射系數(shù)為負數(shù)(-0.0291)，球面波反射系數(shù)幅值總是大于對應(yīng)的平面波反射系數(shù)幅值，且隨頻率增加而單調(diào)遞減，并在高頻趨近平面波反射系數(shù)的幅值；球面波反射系數(shù)的相位與平面波反射系數(shù)的相位在低頻處有較小的差異，且隨頻率增加兩者變得幾乎相等(由于此時平面波反射系數(shù)為負數(shù)，其相位為180°).

當(dāng)α1>α2時(見圖3).

1) 當(dāng)ρ1=2.00 g·cm-3時，平面波反射系數(shù)為零，但球面波反射系數(shù)是非零的，且其幅值隨頻率增加而單調(diào)遞減，并在高頻趨近于平面波反射系數(shù)的幅值；球面波反射系數(shù)的相位隨著頻率增加而減小，并在高頻趨近于-90°，這說明球面反射P波與入射波相比有90°的相位旋轉(zhuǎn).

2) 當(dāng)ρ1=2.08 g·cm-3時，平面波反射系數(shù)為絕對值較小的負數(shù)(-0.0196)，球面波反射系數(shù)的幅值在低頻處大于平面波反射系數(shù)，但在其他的頻率小于平面波反射系數(shù)，且隨頻率增加在高頻趨近平面波反射系數(shù)的幅值；球面波反射系數(shù)的相位隨頻率增加從約-50°單調(diào)遞減地趨近平面波反射系數(shù)的相位(-180°).當(dāng)ρ1=2.40 g·cm-3時，平面波反射系數(shù)為絕對值較大的負數(shù)(-0.0909)，球面波反射系數(shù)的幅值隨頻率增大而單調(diào)遞增并在高頻趨近平面波反射系數(shù)的幅值；球面波反射系數(shù)的相位隨頻率增加而減小，并在高頻趨近平面波反射系數(shù)的相位.

3) 當(dāng)ρ1=1.80 g·cm-3時，平面波反射系數(shù)為正數(shù)(0.0526)，球面波反射系數(shù)幅值總是大于對應(yīng)的平面波反射系數(shù)，且隨頻率增加而單調(diào)遞減，并在高頻趨近平面波反射系數(shù)的幅值；球面波反射系數(shù)的相位與平面波反射系數(shù)的相位在低頻處有較小的差異，且隨頻率增加兩者的差異逐漸減小，并在較高頻率趨于相等.

從上述研究中可以看出，球面波反射系數(shù)是頻變的，平面波反射系數(shù)是非頻變的.需要特別說明的是，平面波反射系數(shù)是非頻變的只是針對均勻平面波而言.實際上，非均勻平面波是頻變的.Sommerfeld積分將球面波分解為均勻平面波和非均勻平面波的疊加，正是由于非均勻平面波的頻變，導(dǎo)致了最后疊加得到的球面反射波是頻變的，因此球面波反射系數(shù)是頻變的.

3.2單頻的AVO特征

這部分以AVO分析為例探討球面波反射系數(shù)頻變特征的應(yīng)用.AVO分析廣泛應(yīng)用于地震勘探中，但通?；谄矫娌ɡ碚摚缁赯oeppritz方程或其線性近似.然而平面波理論預(yù)測的反射系數(shù)在臨界角附近是失效的，這促使人們開始關(guān)注更接近真實情況的球面波的AVO響應(yīng).典型地，Haase(2004)、Alhussain等(2008)、李勝軍等(2012)研究了球面PP波反射系數(shù)隨入射角的變化規(guī)律，但其主要是在時間域求取球面波反射系數(shù)，即分析的是帶限球面波反射系數(shù)隨入射角變化的特征.為了研究單頻的球面波AVO特征，這里根據(jù)(9)式計算不同頻率時球面諧波反射系數(shù)隨入射角變化的曲線，進而分析頻率對球面波AVO特征的影響.

測試了四類AVO模型，其中第一、二類模型根據(jù)Haase(2004)所用的模型做了小的修改，第三、四類模型為Castagna等(1998)所用的模型，具體參數(shù)如表2所示.其他的參數(shù)為h=500 m,z=500 m, 入射角范圍為0～80°.根據(jù)上述方法分別計算四類模型參數(shù)在地震頻段內(nèi)三個頻率5 Hz、30 Hz和80 Hz(分別代表低頻、中頻、高頻)時的球面波反射系數(shù)隨入射角變化的曲線，為便于比較，也給出了根據(jù)(2)式計算的平面波反射系數(shù)隨入射角變化的曲線，如圖4—7所示，其中PRC代表平面波反射系數(shù).對比四個圖可以發(fā)現(xiàn)，第一、二類AVO的幅值和相位都有較大的頻變；第三、四類AVO的幅值有很小的頻變，相位的頻變也較小.

表2　第1—4類AVO模型參數(shù)Table 2　Parameters of Class 1—4 AVO models

圖4　第一類AVO，PP反射系數(shù)幅值(a)和相位(b)隨入射角的變化Fig.4　Class 1 AVO, PP reflection coefficient magnitude (a) and phase (b) variation with incident angles

圖5　第二類AVO，PP反射系數(shù)幅值(a)和相位(b)隨入射角的變化Fig.5　Class 2 AVO, PP reflection coefficient magnitude (a) and phase (b) variation with incident angles

圖6　第三類AVO，PP反射系數(shù)幅值(a)和相位(b)隨入射角的變化Fig.6　Class 3 AVO, PP reflection coefficient magnitude (a) and phase (b) variation with incident angles

圖7　第四類AVO，PP反射系數(shù)幅值(a)和相位(b)隨入射角的變化Fig.7　Class 4 AVO, PP reflection coefficient magnitude (a) and phase (b) variation with incident angles

對于第三、四類AVO模型，如圖6和圖7所示，在這兩種模型參數(shù)下不會產(chǎn)生首波，因此AVO曲線都比較光滑，沒有出現(xiàn)在第一、二類AVO情況下臨界角后的振蕩現(xiàn)象.中高頻(30 Hz和80 Hz)球面波反射系數(shù)的幅值和平面波反射系數(shù)的幅值差異很小，幾乎是相等的；低頻時(5 Hz)球面波反射系數(shù)幅值與平面波反射系數(shù)幅值之間有較小的差異.另外，不同頻率的球面波反射系數(shù)的相位與平面波反射系數(shù)的相位之間存在一定的差異，且頻率越小這種差異越大，尤其是對于低頻，在某些入射角兩者差異較大.總的來說，頻率對第三、四類AVO模型的球面波AVO響應(yīng)的影響較小，只有當(dāng)頻率很低時這種影響才相對較大.

綜上所述，對于四類AVO模型，球面波反射系數(shù)與平面波反射系數(shù)在臨界角附近或低頻時差異很大.因此在臨界角附近或低頻時，需要考慮球面波反射的頻變效應(yīng).

4　討論

從上述的數(shù)值測試(圖2和圖3)中可以發(fā)現(xiàn)，球面波PP反射系數(shù)的頻變規(guī)律是很復(fù)雜的.對于上述的兩種典型情況(α1<α2和α1>α2)，球面波PP反射系數(shù)幅值的頻變規(guī)律大體是一致的，其相位的頻變規(guī)律存在較小的差異(比較圖2b和3b).尤其地，當(dāng)平面波PP反射系數(shù)為零時，球面波PP反射系數(shù)卻是非零的，且球面波反射系數(shù)的相位隨頻率增加在高頻趨近于90°或-90°.值得注意的是，這種現(xiàn)象在基于平面波理論的幾何地震學(xué)中是不會發(fā)生的，這豐富了我們對波傳播規(guī)律的認(rèn)識.按照幾何射線理論或平面波理論，當(dāng)平面波入射到界面上某一點后，根據(jù)Snell定理，其反射只對應(yīng)著一條確定的射線路徑.但是根據(jù)Sommerfeld積分，球面波可以分解為平面波的疊加，具體地說，球面波入射到界面上某一點后的反射，可以看作是圍繞著中心射線的一束射線對應(yīng)的平面波反射的加權(quán)疊加(Alhussain et al., 2008)，這束射線中的每一條射線都有不同的入射角度，并且都滿足Snell定理.因此盡管圖2和圖3的測試中射線角度是0°，但球面反射波卻是包含0°在內(nèi)的一定范圍入射角的平面反射波的疊加，對于圖2中藍色虛線或圖3中紅色實線對應(yīng)的參數(shù)，非零度的平面波反射系數(shù)是非零的，故最后得到的球面波反射系數(shù)也是非零的.

球面波反射系數(shù)的頻變規(guī)律可以帶給我們很多啟發(fā)性的思考.首先，這一發(fā)現(xiàn)可以豐富我們對地震波反射機制的認(rèn)識，有助于更好地了解實際地下介質(zhì)中地震波的傳播規(guī)律.通過測試可以看出球面波PP反射系數(shù)的頻變規(guī)律在低頻、淺層尤為顯著，因此其對于近地表球面波傳播及反射規(guī)律的研究更有幫助；另外，近些年來隨著低頻勘探技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)已可采集到低至1.5 Hz的地震數(shù)據(jù)(Wang et al., 2013)，在如此低的頻率下球面波的頻變效應(yīng)將會很明顯，更精確的勘探需要考慮球面波反射系數(shù)的頻變.另一方面，球面波反射系數(shù)的頻變特征與地下介質(zhì)參數(shù)是緊密相關(guān)的，利用其可能為反演地下介質(zhì)的彈性參數(shù)提供一種新的思路，可以參考王靜波(2014)利用球面聲波反射系數(shù)進行反演的思路，基于(9)式用全局反演方法來反演介質(zhì)的彈性參數(shù).關(guān)于球面波反射系數(shù)頻變特征的具體應(yīng)用需要進一步地研究.

5　結(jié)論

本文根據(jù)Sommerfeld積分公式建立了兩層彈性介質(zhì)中球面波PP反射系數(shù)的積分表達式，基于此研究分析了不同參數(shù)情況下球面波PP反射系數(shù)的頻變特征，并對其總結(jié)分類；探討了四類AVO模型的單頻球面波反射系數(shù)隨入射角的變化規(guī)律.概括地，得到了以下幾方面的結(jié)論和認(rèn)識.

1) 當(dāng)α1<α2、平面波反射系數(shù)為較大的正數(shù)或當(dāng)α1>α2、平面波反射系數(shù)為絕對值較大的負數(shù)時，球面波反射系數(shù)幅值小于平面波反射系數(shù)幅值，并隨頻率的增加而增大，在高頻趨于平面波反射系數(shù)；球面波反射系數(shù)相位大于平面波反射系數(shù)相位，且隨頻率增加而減小，在高頻趨于平面波反射系數(shù)相位.

2) 當(dāng)α1<α2、平面波反射系數(shù)為較小的正數(shù)或當(dāng)α1>α2、平面波反射系數(shù)為絕對值較小的負數(shù)時，球面波反射系數(shù)幅值在很低頻率時大于平面波反射系數(shù)幅值，在其他頻率時小于平面波反射系數(shù)幅值，并隨頻率的增加在高頻趨于平面波反射系數(shù)；球面波反射系數(shù)相位大于平面波反射系數(shù)相位，且隨頻率增加而減小，在高頻趨于平面波反射系數(shù)相位.

3) 無論α1<α2還是α1>α2，當(dāng)平面波反射系數(shù)為零時，球面波反射系數(shù)不為零：球面波反射系數(shù)幅值大于平面波反射系數(shù)幅值，并隨頻率的增加而減小，在高頻趨于平面波反射系數(shù)；球面波反射系數(shù)的相位隨頻率增加在高頻趨近于90°或-90°.

4) 當(dāng)α1<α2、平面波反射系數(shù)為負數(shù)或當(dāng)α1>α2、平面波反射系數(shù)為正數(shù)時，球面波反射系數(shù)幅值大于平面波反射系數(shù)幅值，并隨頻率的增加而減小，在高頻趨于平面波反射系數(shù)；球面波反射系數(shù)相位與平面波反射系數(shù)相位在低頻時有較小差異，且隨頻率增加兩者趨于相等.

5) 對于第一、二類AVO模型，球面波反射系數(shù)與平面波反射系數(shù)在臨界角附近和低頻時差異都很大；對于第三、四類AVO模型，球面波反射系數(shù)與平面波反射系數(shù)僅在頻率很低時才有相對大的差異.

致謝感謝休斯頓大學(xué)黃龍博士對論文撰寫提供的幫助.

Aki K, Richards P G. 1980. Quantitative Seismology: Theory and Methods, Vol. 1. San Francisco, CA: W. H. Freeman & Co.

Alhussain M, Gurevich B, Urosevic M. 2008. Experimental verification of spherical-wave effect on the AVO response and implications for three-term inversion.Geophysics, 73(2): C7-C12.

Alulaiw B, Gurevich B. 2013. Analytical wavefront curvature correction to plane-wave reflection coefficients for a weak-contrast interface.GeophysicalProspecting, 61(1): 53-62.

Brekhovskikh L M. 1980. Waves in Layered Media. New York: Academic Press.

Brekhovskikh L M, Godin O A. 1999. Acoustics of Layered Media II, Point Sources and Bounded Beams. 2nd ed. Berlin Heidelberg: Springer. Castagna J P, Swan H W, Foster D J. 1998. Framework for AVO gradient and intercept interpretation.Geophysics, 63(3): 948-956.

Du S T, Yu K Y. 1985. Lecture notes on the theory of seismic wave dynamics (in Chinese). Dongying: Geophysical Exploration Department of East China Petroleum Institute.

Haase A B. 2004. Spherical wave AVO modeling of converted waves in isotropic media. ∥ 74thSEG Annual Meeting. Denver, Colorado: SEG, 263-266.

Huang R, Chen X H, Li J Y. 2009. Seismogram synthesis method based on spherical wave and AVO analysis.JournalofChinaUniversityofPetroleum(EditionofNaturalScience) (in Chinese), 33(3): 49-52.

Li S J, Gao J H, Yong X S, et al. 2012. Spherical-wave AVO analysis of reflected P-wave.ChineseJ.Geophys. (in Chinese), 55(10): 3459-3466, doi: 10.6038/j.issn.0001-5733.2012.10.029. Shampine L F. 2008. Vectorized adaptive quadrature in Matlab.J.Comput.Appl.Math., 211(2): 131-140.

Skopintseva L, Ayzenberg M, LandrM, et al. 2011. Long-offset AVO inversion of PP reflections from plane interfaces using effective reflection coefficients.Geophysics, 76(6): C65-C79.

Sommerfeld A. 1909. über die Ausbreitung der Wellen in der drahtlosen Telegraphie.AnnalenderPhysik, 333(4): 665-736.

Ursenbach C P, Haase A B, Downton J E. 2007. Efficient spherical-wave AVO modeling.TheLeadingEdge, 26(12): 1584-1589.

Wang J B. 2014. Frequency-dependence of spherical-wave reflection and transmission coefficients: Analysis and Application [Ph. D. thesis] (in Chinese). Beijing: China University of Petroleum (Beijing).

Wang J F, Ma T, Liu Z G, et al. 2013. A new method to extend the range of low-frequency vibroseis sweeps. ∥ 83rdAnnual Meeting. Houston, Texas: SEG, 254-258.

Weyl H. 1919. Ausbreitung elektromagnetischer Wellen über einem ebenen Leiter.AnnalenderPhysik, 365(21): 481 -500.

Xu J X, Wu L. 1997. The theoretical study of the elastic wave: on the first term of spherical wave.GeophysicalProspectingforPetroleum(in Chinese), 36(1): 1-12. Yang X C. 2012. Study of characteristics of spherical-wave reflection coefficients [M. S. thesis] (in Chinese). Beijing: China University of Petroleum (Beijing).

Yin X Y, Zhao J, Zhang F C, et al. 2006. Method of generating prestack synthetic seismograms of spherical wave.JournalofChinaUniversityofPetroleum(EditionofNaturalScience) (in Chinese), 30(1): 26-32.

Zhu X F, McMechan G A. 2012. Elastic inversion of near- and postcritical reflections using phase variation with angle.Geophysics, 77(4): R149-R159.

附中文參考文獻

杜世通, 俞康胤. 1985. 地震波動力學(xué)理論講義. 東營: 華東石油學(xué)院物探教研室.

黃饒, 陳小宏, 李景葉. 2009. 基于球面波的地震記錄合成方法及AVO分析. 中國石油大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 33(3): 49-52.

李勝軍, 高建虎, 雍學(xué)善等. 2012. 球面波的反射P波AVO分析. 地球物理學(xué)報, 55(10): 3459-3466, doi: 10.6038/j.issn.0001-5733.2012.10.029.

王靜波. 2014. 球面波反射和透射系數(shù)頻變特征分析與應(yīng)用[博士論文]. 北京: 中國石油大學(xué)(北京).

徐基祥, 吳律. 1997. 彈性波理論研究—關(guān)于球面波首項(Ⅰ). 石油物探, 36(1): 1-12.

楊心超. 2012. 球面波反射系數(shù)特征研究[碩士論文]. 北京: 中國石油大學(xué)(北京).

印興耀, 趙劍, 張繁昌等. 2006. 球面波疊前地震記錄的合成方法. 中國石油大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 30(1): 26-32.

(本文編輯胡素芳)

Study on frequency-dependent characteristics of spherical-wave PP reflection coefficient

LI Jing-Nan1, 2, WANG Shang-Xu1, 2*, DONG Chun-Hui1, 2, YUAN San-Yi1, 2, WANG Jing-Bo3

1StateKeyLaboratoryofPetroleumResourceandProspecting,ChinaUniversityofPetroleum(Beijing),Beijing102249,China2CNPCKeyLabofGeophysicalExploration,ChinaUniversityofPetroleum(Beijing),Beijing102249,China3SinopecExplorationCompany,Chengdu610041,China

Spherical-wave reflection coefficient (SRC) describes the seismic wave reflection more precisely and realistically than the plane-wave reflection coefficient (PRC). This study mainly focuses on the frequency-dependent characteristics of SRC, which are usually not considered. To better understand the reflection mechanism of spherical waves, we systematically investigate the frequency-dependent characteristics of SRC (P-wave only) in a two-layer elastic medium model with a planar interface. We use the classical Sommerfeld integral to construct the SRC and compute it with adaptive Gauss-Kronrod quadrature. Numerical simulations show that for different media with various properties, the frequency-dependence of SRC exhibits very complicated responses. Significant deviations between SRC and PRC are observed at low frequencies. Especially when the PRC is zero, the corresponding SRC is non-zero; with increasing frequency, the phase of the SRC approaches +90° or -90°, meaning a 90° phase rotation after reflection. Tests on Class 1-4 AVO models suggest that large discrepancy between SRC and PRC exists in the vicinity of the critical angle and at low frequencies.

Spherical wave; Plane wave; Reflection coefficient; Frequency dependent

10.6038/cjg20161025.

國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(973計劃)項目(2013CB228600)和國家自然科學(xué)基金(41304108)聯(lián)合資助.

李京南，男，1988年生，博士研究生，主要從事地震波傳播、地震資料處理方面的研究.E-mail：li.jnan@163.com

王尚旭，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事地震波傳播理論、巖石物理、地震波正演模擬及反演研究.E-mail：wangsx@cup.edu.cn

10.6038/cjg20161025

P631

2016-03-17，2016-07-23收修定稿

李京南， 王尚旭， 董春暉等. 2016. 球面波PP反射系數(shù)的頻變特征研究. 地球物理學(xué)報，59(10):3810-3819,

Li J N, Wang S X, Dong C H, et al. 2016. Study on frequency-dependent characteristics of spherical-wave PP reflection coefficient.ChineseJ.Geophys. (in Chinese),59(10):3810-3819,doi:10.6038/cjg20161025.