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      相容半連續(xù)格上的一個擴張定理

      2016-11-11 11:01:07張則則姜廣浩
      關鍵詞:保序同態(tài)淮北

      張則則,姜廣浩

      (淮北師范大學數(shù)學科學學院,安徽淮北235000)

      相容半連續(xù)格上的一個擴張定理

      張則則,姜廣浩

      (淮北師范大學數(shù)學科學學院,安徽淮北235000)

      在相容半連續(xù)格上引入?c-稠的概念,并得到相容半連續(xù)格的一個擴張定理.

      相容完備格;相容(半)連續(xù)格;?c-稠;相容半素極小集;序同態(tài);序同態(tài)擴張

      0 引言

      在文獻[1]中,Scott首次引入了連續(xù)格的概念.此后人們對連續(xù)格的研究不斷深入,并將這一領域推廣到更一般的范圍.Ray首次提出半素理想的概念,并研究了它的若干重要性質[2].趙東升基于文獻[2]中半素理想子集系統(tǒng),在文獻[3]中給出了一種新的類型格——半連續(xù)格.在文獻[4]中,基于相容半素集,李海龍等引入了相容半連續(xù)格的定義,并將way below關系?推廣至關系?c.本文給出?c-稠的概念,并得到相容半連續(xù)格上的一個擴張定理.

      1 預備知識

      定義1[4]設P是格,S∈Rd(P)(Rd(P)表示P中所有半素理想構成的集族)稱為P的相容半素集,若存在x∈P使得S??wx.

      記Ic(P)={S:S是P的相容半素集}.

      定義2[4]若格P中任意相容半素集都有并與交,則稱P是相容完備格.

      定義3[4]設P是相容完備格,稱為相容?關系y,記為x?cy,如果

      命題1相容完備格的任意多個相容半素集的并仍為相容半素集.

      命題2相容完備格的任意多個相容半素集的交仍為相容半素集.

      定義4[4]設P是相容完備格,?x∈P,B?P,稱B為x的相容半素極小集,如果B滿足以下條件:

      (1)x≤supB;

      (2)?S∈Ic(P),若x≤supS,則?b∈B,?s∈S使得b≤s.

      定理1[4]設P是相容完備格,?x∈P,B是x處的相容半素極小集?B??cx 且x≤supB.

      定理2[4]設P是相容半連續(xù)格,?x∈P,若x處有相容半素極小集,則?cx是x處的最大的相容半素極小集.

      定義5[4]設P,Q均為相容完備格,

      (1)映射f:P→Q稱為相容半連續(xù)的,若f保序且?S∈Ic(P)有f(supS)=supf(S);

      (2)映射f:P→Q稱為保相容半素集的,若f是相容半連續(xù)的且?S∈Ic(P)有↓f(S)∈Ic(Q).

      2 相容半連續(xù)格上的一個擴張定理

      定理3[4]設P是相容完備格,則以下結論等價:

      (1)P是相容半連續(xù)格;

      (3)?a∈P,a有相容半素極小集.

      定義8設P是相容完備格,X?P,若?x,y∈P,x?cy,?z∈X,使得x≤z?cy,則稱X在P中?c-稠.

      證明令b=sup(?ca?X).若ab,則由定理3知,?u?ca使得ub.由X在P中?c-稠知使得從而這與矛盾.故

      下證↓(?ca?X)∈Ic(P).先證明顯然↓(?ca?X)是理想.,若,因則,即而X在P中稠,使.由于x∧(y∨z)≤b,則故

      定理5設P1,P2均為相容半連續(xù)格,X在P1中?c-稠,?a∈X,則以下結論成立:

      (1)↓(?ca?X)∈Ic(P);

      (2)映射g:X→P2是相容半連續(xù)的且保關系?c;

      (3)?x∈↓(?la?X),g(x)≤g(a),則g可擴張為一個序同態(tài)f:P1→P2,且擴張是唯一的.

      證明?a∈P1,令f(a)=supg(↓(?ca?X)).

      1°當?a∈X時,由定理4及g是相容半連續(xù)的且保關系?c知,f(a)=supg(↓(?ca?X))=g(sup(?ca?X)≥g(a).由條件(3)知,f(a)=supg(↓(?ca?X)≤g(a).故f(a)=g(a).

      2°f是保序的.設?a,b∈P,a≤b,則↓(?ca?X)?↓ (?cb?X),因此g(↓(?ca?X)?g(↓(?cb?X)).由f的定義知,f(a)≤f(b).故f是保序的.

      3°f相容半連續(xù)的.設A∈Ic(P1),令a=supA.由f保序f(A)≤f(supA)=f(a).從而supf(A)≤f(a).另一方面,?x∈?ca?X,由x?ca的定義知x∈A.而A是理想,從而?b∈A使得x≤b.因此f(a)=supg(↓(?ca?X)≤supf(A).故f(a)=supf(A),即f是相容半連續(xù)的.

      4°f保?c.設a,b∈P1且a?cb.由于X在P1中?c-稠,則?x,y∈X,z∈P,使得a≤x?cz≤y?cb.而f保序且g保關系?c,則f(a)≤f(x)=g(x)?cg(y)?cg(b).從而g(y)∈g(↓(?cb?X).由f的

      定義6[4]設P是相容完備格,若?x∈P,有x≤sup?cx,則稱P為相容半連續(xù)格.特殊地?x∈P,有x=sup?cx時,P稱為相容連續(xù)格.

      定義7設P,Q是相容完備格,映射f:P→Q稱為序同態(tài),如果f,f-1是相容半連續(xù)的,其中的逆映射,定義定義知

      5°擴張的唯一性.假設g還有一個擴張h.由上述證明過程知,?s∈X總有f(s)=g(s)=h(s),即h=f.

      推論1設P1,P2均為相容半連續(xù)格,X在P1中?c-稠,?a∈X,映射g:X→P2可擴張為一個序同態(tài)f:P1→P2且擴張是唯一的.如果滿足以下條件:

      (1)↓(?ca?X)∈Ic(P);

      (2)映射g:X→P2滿足:g把a的相容半素極小集g(↓(?ca?X)映射為g(a)的相容半素極小集;(3)?x∈↓(?ca?X),g(x)≤g(a).

      證明由定理5知,只需要證g:X→P2是相容半連續(xù)的而且保關系?c.

      設A∈Ic(X)且x=supA∈X.?a∈X由于g(↓(?ca?X)是g(a)的相容半素極小集,因而g(a)≤supg(?ca?X).由(3)知supg(?ca?X)≤g(a).因此g(a)=supg(?ca?X).從而有

      故g是相容半連續(xù)的.

      下證g保?c的.設a,b∈X,a?cb,則a∈?cb?X.由于g(↓(?cb?X))是g(b)的相容半素極小集知,g(↓(?cb?X)??cg(b).故g(a)?cg(b).

      推論2設P是相容半連續(xù)格,Q是相容連續(xù)格,X在P中?c-稠,?a∈X,↓(?ca?X)∈Ic(X),映射g:X→Q保相容半素集,則以下結論等價:

      (1)f保相容半素極小集;

      (2)f是相容半連續(xù)的且f在X上保?c;

      (3)f是相容半連續(xù)的且?x∈X,f把x的X相容半素極小集映射為g(x)的相容半素極小集.

      [1]SCOTT D.Continuous lattices[M].Berlin:Springer,1972:97-136.

      [2]RAY Y.Semiprime ideals in general lattices[J].J Pure Appl Algebra,1989,56(2):105-118.[3]ZHAO Dongsheng.Semicontinuous lattices[J].Algebra Universalis,1997,37(4):458-476.

      [4]李海龍,姜廣浩.相容半連續(xù)格[J].江蘇師范大學學報(自然科學版),2014,32(3):19-21.

      An Extended Theorem on Consistently Semicontinuous Lattices

      ZHANG Zeze,JIANG Guanghao
      (School of Mathematical Sciences,Huaibei Normal University,235000,Huaibei,Anhui,China)

      In this paper,the concept of?c-dense in consistently semicontinuous lattices is introduced and then an extended theorem on consistently semicontinuous lattices is obtained.

      consistently complete lattice;consistently(semi)continuous lattice;?c-dense;consistently semiprime set;homomorphism;homomorphism extension

      O 189.1;O 153.1

      A

      2095-0691(2016)03-0021-03

      2016-03-29

      國家自然科學基金資助項目(11361028,11001001);安徽高等學校省級自然科學研究重點項目(KJ2013A236)

      張則則(1989-),女,河南商丘人,碩士生,主要從事一般拓撲學的研究;通訊作者:姜廣浩(1973-),男,江蘇沛縣人,博士,副教授,主要從事一般拓撲學的研究.

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