唐　駿，張　璘，袁江南

(廈門(mén)理工學(xué)院 通信工程系，福建 廈門(mén) 361024)

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隨機(jī)混沌感知矩陣及其在成像雷達(dá)中的應(yīng)用*

唐駿**，張璘，袁江南

(廈門(mén)理工學(xué)院 通信工程系，福建 廈門(mén) 361024)

根據(jù)壓縮感知理論提出了一種適用于成像雷達(dá)的新算法，在成像目標(biāo)分布滿足稀疏性前提下，利用發(fā)射的隨機(jī)混沌序列(SCS)形成卷積矩陣，然后通過(guò)隨機(jī)行抽取構(gòu)造隨機(jī)感知矩陣(SCSM)。給出了完整的算法實(shí)現(xiàn)框架，從理論上證明了SCS的隨機(jī)性和統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性以及SCSM的有限等距性(Restricted Isometry Property,RIP)。仿真結(jié)果驗(yàn)證了算法的有效性，同時(shí)分析了影響算法性能的主要因素。與匹配濾波法相比，所提算法重構(gòu)誤差小，輸出旁瓣低。SCSM與其他隨機(jī)矩陣具有相同的性能，然而，SCSM容易在硬件上實(shí)現(xiàn)，且更適用于要求保密性高和抗干擾能力強(qiáng)的場(chǎng)合。

雷達(dá)成像；壓縮感知；感知矩陣；隨機(jī)混沌；有限等距性

1　引　言

壓縮感知(Compressive Sensing,CS)在應(yīng)用數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)和電子工程等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，而設(shè)計(jì)合適的感知矩陣是CS的重要任務(wù)之一。為了保證信號(hào)重構(gòu)的唯一性和穩(wěn)定性，對(duì)感知矩陣的性質(zhì)提出了許多要求[1-3]。感知矩陣根據(jù)構(gòu)造方法的不同可分為確定性感知矩陣和隨機(jī)感知矩陣，后者被證明能很好地重構(gòu)原始信號(hào)，但在實(shí)際應(yīng)用中難以用硬件實(shí)現(xiàn)，且存儲(chǔ)和傳輸?shù)拈_(kāi)銷(xiāo)大。

混沌信號(hào)可由確定機(jī)制產(chǎn)生，但在統(tǒng)計(jì)上具有類(lèi)隨機(jī)噪聲的特點(diǎn)[4]。受此啟發(fā)，許多文獻(xiàn)將混沌引入CS的感知矩陣設(shè)計(jì)中：文獻(xiàn)[5]應(yīng)用混沌濾波來(lái)構(gòu)造感知矩陣；文獻(xiàn)[6]用混沌序列來(lái)構(gòu)造感知矩陣，并證明此類(lèi)矩陣以高概率滿足有限等距性質(zhì)(Restricted Isometry Property，RIP)；文獻(xiàn)[7]討論了混沌過(guò)程的上界，可以用來(lái)提高結(jié)構(gòu)隨機(jī)矩陣的RIP估計(jì)；文獻(xiàn)[8]指出Chua和Lorenz混沌序列適合用來(lái)構(gòu)造感知矩陣。然而，這些系統(tǒng)內(nèi)在的確定性決定了通過(guò)這些方法無(wú)法得到理想的隨機(jī)矩陣。

本文提出基于隨機(jī)混沌序列(Stochastic Chaotic Sequence，SCS)的隨機(jī)感知矩陣(Stochastic Chaotic Sensing Matrix，SCSM)構(gòu)造方法，將壓縮感知與雷達(dá)成像理論相結(jié)合，給出了該雷達(dá)系統(tǒng)的基本原理和基本處理步驟；分析了SCS的隨機(jī)性和統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性，并給出了SCSM的具體構(gòu)造方法，從理論上證明了SCSM以高概率滿足RIP。數(shù)值仿真表明，SCSM具有其他常用感知矩陣幾乎相同的性能，但SCSM易于工程實(shí)現(xiàn)，且保密性好，抗干擾能力強(qiáng)。

2　壓縮感知基本理論

設(shè)離散信號(hào)xs∈N,可以用一個(gè)正交基或框架Ψ∈N×N來(lái)描述：

xs=Ψα。

(1)

α∈N僅有k?N個(gè)非零元素，我們稱(chēng)xs在Ψ下是k稀疏信號(hào)。壓縮感知可視為線性測(cè)量：

ys=Φ·xs+n。

(2)

ys=Φ·xs+n=ΦΨα+n=Θα+n 。

(3)

式中：Θ=ΦΨ是一個(gè)M×N的矩陣[9]。

根據(jù)CS理論，若Θ滿足RIP，通過(guò)求解以下優(yōu)化問(wèn)題則可以由ys以高概率重構(gòu)α。

min‖α‖l1s.t. ‖Θα-ys‖l2≤ε。

(4)

式中：‖·‖l1和‖·‖l2分別表示l1和l2范數(shù)；ε是噪聲容限，且‖n‖l2≤ε。

綜上可知，CS理論的具體實(shí)現(xiàn)包括三個(gè)重要步驟，即信號(hào)的稀疏表示、測(cè)量矩陣的構(gòu)造和信號(hào)重建。應(yīng)用CS理論的兩個(gè)基本前提條件是信號(hào)的稀疏性和感知矩陣滿足RIP特性。

3　隨機(jī)混沌序列及其統(tǒng)計(jì)特性

3.1隨機(jī)混沌序列

業(yè)已證明xn=sin2(θπ2n)是Logistic映射xn+1=4xn(1-xn)的精確解[10-13]。許多其他映射的精確通解可以表示為xn=P(θTkn)[14]，其中P(t)是一個(gè)周期函數(shù)，T是它的周期，θ為實(shí)參數(shù)，k為整數(shù)。

首先分析由下式生成序列的隨機(jī)性和統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性：

xn=cos(2πθzn)。

(5)

式中：z>1是實(shí)數(shù)；θ為實(shí)參數(shù)。

設(shè)z是有理數(shù)，可表示為z=p/q，其中p和q是互質(zhì)整數(shù)?？梢宰C明，已知由式(5)產(chǎn)生序列的m+1個(gè)樣值x0,x1,…,xm(m可以為任意的自然數(shù))，下一個(gè)樣值xm+1無(wú)法確定，它可以取q種不同值。令θ=θ0+qmk，定義由整數(shù)k參數(shù)化的序列

(6)

其前m+1個(gè)樣值是相同的，這是因?yàn)?/p>

(7)

對(duì)所有n≤m都成立；然而下一個(gè)樣值

(8)

(9)

根據(jù)給定的m+1個(gè)樣值xs,xs+1,…,xs+m，無(wú)法確定xs-1的值，這是因?yàn)?/p>

(10)

xs-1可以取p種不同值。當(dāng)z是無(wú)理數(shù)時(shí)，序列的前向和后向樣點(diǎn)有無(wú)窮種可能的值取，這樣的序列具有真正的隨機(jī)性。

3.2統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性

用E(x)表示x的期望，則x的r階相關(guān)可定義為[15-16]

(11)

(12)

利用歐拉關(guān)系式cosθ=(ejθ+e-jθ)/2，可以得到

(13)

式中：Σσ是對(duì)(σ1,σ2,…,σr)所有可能取值組合的和，其中σi=±1,i=1,2,…,r；δ(·,·)函數(shù)為

(14)

根據(jù)文獻(xiàn)[17-18]的定義，有界函數(shù)f1,f2,…,fr是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，當(dāng)且僅當(dāng)

(15)

對(duì)所有正整數(shù)n1,n2,…,nr成立。

為了證明式(5)產(chǎn)生的序列是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，我們需證明

(16)

對(duì)所有正整數(shù)n0,n1,n2,…,nr成立。

一方面，若m是奇數(shù)，顯然有

(17)

因此，若任何一個(gè)ni是奇數(shù)，則式(16)的右邊必為零；另一方面，對(duì)于超越數(shù)z，若任何一個(gè)ni是奇數(shù)，則有

(18)

因此，式(16)的左邊

(19)

若所有的ni為偶數(shù)，通過(guò)組合運(yùn)算可得

(20)

(21)

(22)

(23)

綜上所述，對(duì)所有的正整數(shù)n0,n1,n2,…,nr，若z是超越數(shù)，則式(5)的xn統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。

4　SCSM設(shè)計(jì)方法

根據(jù)Born假設(shè)，雷達(dá)的回波信號(hào)y(t)可認(rèn)為是發(fā)射信號(hào)x(t)與目標(biāo)散射函數(shù)σ(t)的卷積[19]:

(24)

其離散形式可以用矩陣表示為

(25)

記為Y=X·Σ。與式(3)對(duì)比，從形式上看，CS非常適用于雷達(dá)系統(tǒng)。接下來(lái)分析如何基于X來(lái)設(shè)計(jì)滿足RIP的感知矩陣Φ。壓縮感知雷達(dá)算法流程圖如圖1所示。

圖1　壓縮感知雷達(dá)算法流程圖

設(shè)DM:N→M是一個(gè)算子，作用是將一個(gè)向量的指標(biāo)集限定在任何一個(gè)勢(shì)為M的集合T?{1,2,…,N}中?；诰仃嘪，通過(guò)以下方法來(lái)構(gòu)造隨機(jī)混沌感知矩陣Φ∈M×N：

Φ=DMX。

(26)

定理1式(26)中的矩陣Φ以概率Pr≥1-2exp(-C1·M)滿足RIP，其中M≥[C2·k·lg(N/k)]，δk∈(0,1)，常數(shù)C1、C2僅取決于δk。

引理1對(duì)于元素取某一自獨(dú)立同分布的矩陣Φ∈M×N，對(duì)于任何指標(biāo)集=k

?z∈

(27)

以高概率

(28)

借助引理1可證明定理1。

根據(jù)引理1，對(duì)每一個(gè)k維空間，SCSM將以以下概率不滿足式(27)：

(29)

式中：δk∈(0,1)。N中共有個(gè)k維空間，因此SCSM不滿足RIP的概率為

(30)

對(duì)于固定的C1>0，只要k≤[(C1·M)/lg(N/k)],C2≤c(δk/5)-C1[1+(1+lg(12/δk))/lg(N/k)]，則必有Q≤-C2·M。

5　基于SCSM的壓縮感知成像

為了檢驗(yàn)所提算法的有效性，仿真了靜態(tài)目標(biāo)的一維距離像。仿真參數(shù)如表1所示。在一定距離范圍內(nèi)隨機(jī)生成具有不同散射系數(shù)的目標(biāo)，15個(gè)目標(biāo)的場(chǎng)景圖如圖2所示，即意味著信號(hào)的稀疏度k=15，一個(gè)脈沖內(nèi)采樣1 000點(diǎn)?？紤]到噪聲的影響，設(shè)置信噪比(Signal-to-NoiseRatio，SNR)為40。

表1　仿真參數(shù)

圖2　15個(gè)目標(biāo)的場(chǎng)景向量

圖3　測(cè)量向量

圖4　重構(gòu)與原始場(chǎng)景對(duì)比圖

圖5　CS重構(gòu)與匹配濾波

圖6　重構(gòu)誤差

圖7　不同觀測(cè)次數(shù)的重構(gòu)誤差

圖8　不同觀測(cè)次數(shù)的重構(gòu)信噪比

圖9　不同稀疏度信號(hào)的成功重構(gòu)概率

6　結(jié)束語(yǔ)

本文以壓縮感知理論為基礎(chǔ)，結(jié)合雷達(dá)成像模型，利用隨機(jī)混沌序列的隨機(jī)性和統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性，設(shè)計(jì)了適用于壓縮感知雷達(dá)成像系統(tǒng)的感知矩陣，該矩陣能以高概率滿足RIP；通過(guò)凸優(yōu)化方法進(jìn)行目標(biāo)重構(gòu)，該方法可以減輕雷達(dá)系統(tǒng)的硬件處理負(fù)擔(dān)，減少系統(tǒng)數(shù)據(jù)量。

在信號(hào)具有稀疏性前提下，CS算法能夠有效地重構(gòu)目標(biāo)，重構(gòu)誤差遠(yuǎn)小于匹配濾波輸出的誤差，并能有效抑制旁瓣。該算法的重構(gòu)性能受觀測(cè)次數(shù)和原始信號(hào)稀疏度的影響。觀測(cè)次數(shù)的減少會(huì)造成重構(gòu)誤差增大，信噪比降低；信號(hào)稀疏度的增加會(huì)導(dǎo)致重構(gòu)概率下降。因此，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)需視具體情況綜合考慮。

與其他隨機(jī)感知矩陣相比，SCSM的元素可以通過(guò)確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式計(jì)算得到，便于硬件實(shí)現(xiàn)；另外，在對(duì)感知矩陣進(jìn)行傳輸和存儲(chǔ)時(shí)，僅需傳輸或存儲(chǔ)系統(tǒng)方程和參數(shù)，可以提高傳輸效率，節(jié)省存儲(chǔ)空間，具有較高的工程應(yīng)用價(jià)值。

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唐駿(1977—)，男，湖南永州人，2007年于西安電子科技大學(xué)獲碩士學(xué)位，現(xiàn)為博士研究生，主要研究方向?yàn)槔走_(dá)信號(hào)處理；

TANG Jun was born in Yongzhou,Hunan Province,in 1977． He received the M．S．degree from Xidian University in 2007．He is currently working toward the Ph.D． degree． His research concerns radar signal processing.

Email:jtang@xmut.edu.cn

張璘(1982—)，女，吉林長(zhǎng)春人，博士研究生，主要研究方向?yàn)槔走_(dá)信號(hào)處理；

ZHANG Lin was born in Changchun,Jilin Province,in 1982． She is currently working toward the Ph.D． degree． Her research concerns radar signal processing．

袁江南(1971—)，男，福建龍巖人，副教授，主要研究方向?yàn)闊o(wú)線通信系統(tǒng)。

YUAN Jiangnan was born in Longyan,Fujian Province,in 1971. He is now an associate professor. His research concerns wireless communication system.

The National Nature Science Foundation of China(No.61202013)；The Natural Science Foundation of Fujian Province(2015J01670)；The Project of Educational Commission of Fujian Province(JA13235)

Stochastic Chaotic Sensing Matrix and Its Application in Imaging Radar

TANG Jun，ZHANG Lin，YUAN Jiangnan

(Department of Communication Engineering,Xiamen University of Technology,Xiamen 361024,China)

A novel algorithm is proposed based on compressed sensing for imaging radar,in which,targets in scene satisfy the requirement of sparsity peculiarity,and stochastic chaotic sensing matrix(SCSM) is constructed by selecting the rows of convolution matrix randomly,and columns of SCSM are stochastic chaotic sequences(SCS).The whole processing of this algorithm is presented. Moreover,it is theoretically proved that the SCS are random and statistically independent,and the SCSM satisfies the restricted isometry property(RIP). Simulation results demonstrate the effectiveness of this algorithm,and factors highly influencing on the results are analyzed. In contrast to matched filter processing,the reconstruction error of the proposed algorithm is significantly reduced and sidelobes are faithfully suppressed. The SCSM possesses the same performance as the other random matrices,however,it can be easily implemented in hardware and is more suitable for those occasions where security and strong anti-jamming ability is required.Key words：radar imaging;compressive sensing；sensing matrix；stochastic chaos；restricted isometry property

10.3969/j.issn.1001-893x.2016.10.001

2016-04-08；

2016-07-05Received date:2016-04-08；Revised date：2016-07-05

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61202013)；福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015J01670)；福建省教育廳資助項(xiàng)目(JA13235)

TN958.6

A

1001-893X(2016)10-1069-06

引用格式：唐駿，張璘，袁江南.隨機(jī)混沌感知矩陣及其在成像雷達(dá)中的應(yīng)用[J].電訊技術(shù)，2016,56(10):1069-1074.[TANG Jun，ZHANG Lin，YUAN Jiangnan.Stochastic chaotic sensing matrix and its application in imaging radar[J].Telecommunication Engineering,2016,56(10):1069-1074.]

**通信作者：jtang@xmut.edu.cnCorresponding author：jtang@xmut.edu.cn