基于高斯偽譜法優(yōu)化算法的火星氣動(dòng)剎車軌道仿真

黃峰，黃悅琛，李海陽

(國(guó)防科技大學(xué)長(zhǎng)沙410073)

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基于高斯偽譜法優(yōu)化算法的火星氣動(dòng)剎車軌道仿真

黃峰，黃悅琛，李海陽?

(國(guó)防科技大學(xué)長(zhǎng)沙410073)

以未來火星探測(cè)任務(wù)為背景，簡(jiǎn)要分析了通過氣動(dòng)剎車到達(dá)目標(biāo)軌道方案的優(yōu)缺點(diǎn)?；诮o定的火星大氣修正指數(shù)模型，建立了氣動(dòng)剎車的動(dòng)力學(xué)模型。針對(duì)飛行器自身和軌道限制，設(shè)置必要的約束條件，利用高斯偽譜法求解出氣動(dòng)剎車方案中每個(gè)周期所需的維持近火點(diǎn)高度的脈沖速度增量，實(shí)現(xiàn)了通過氣動(dòng)剎車的方式到達(dá)指定軌道的目標(biāo)。結(jié)果表明，利用高斯偽譜法優(yōu)化計(jì)算得到的氣動(dòng)剎車方案可以滿足要求，可為氣動(dòng)剎車相關(guān)的后續(xù)研究提供新的思路。

火星探測(cè)；高斯偽譜法；軌道仿真；氣動(dòng)剎車

aerobraking

開展火星探測(cè)對(duì)于人類探索地球起源具有重要意義[1]，美國(guó)國(guó)家航空航天局(National Aeronautics and Space Administration, NASA)和歐洲宇航局(European Space Agency, ESA)等世界主要航天機(jī)構(gòu)都對(duì)火星探測(cè)提出了一系列構(gòu)想。在飛抵火星及到達(dá)目標(biāo)軌道的過程中，燃耗的降低會(huì)使飛船的機(jī)動(dòng)性減小，從而引起總時(shí)間消耗增多。因此，需要根據(jù)飛船的運(yùn)載能力和任務(wù)時(shí)間的要求對(duì)時(shí)間和燃料進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，使二者的綜合性能指標(biāo)滿足探測(cè)任務(wù)的要求，在降低燃耗的同時(shí)使時(shí)間消耗也能滿足時(shí)間要求。氣動(dòng)剎車方案對(duì)節(jié)省燃料有著顯著效果，雖然其時(shí)間消耗略長(zhǎng)，但對(duì)非載人探索任務(wù)而言，增加時(shí)間通常是可以接受的，且該方案已被多次應(yīng)用。歷史上NASA曾4次成功地采取氣動(dòng)剎車方案實(shí)現(xiàn)軌道轉(zhuǎn)移，即“麥哲倫”(Magellan)號(hào)飛船[2]的金星探測(cè)任務(wù)，“火星全球測(cè)量者”(Mars global surveyor, MGS)號(hào)[3]、“奧德賽”(Odyssey號(hào)[4])和“火星勘測(cè)軌道飛行器”(Mars reconnaissance orbiter, MRO)[5]的火星探索任務(wù)等。

為了實(shí)現(xiàn)氣動(dòng)剎車準(zhǔn)確入軌，并滿足時(shí)間和燃料消耗的性能指標(biāo)，需要根據(jù)目標(biāo)天體的大氣環(huán)境以及到達(dá)火星影響球的初始條件，優(yōu)化計(jì)算在火星環(huán)繞軌道的發(fā)動(dòng)機(jī)所需提供的沖量。歷史上成功使用氣動(dòng)剎車的案例僅有4個(gè)，且對(duì)每個(gè)周期內(nèi)，飛行器所需發(fā)動(dòng)機(jī)提供維持近火點(diǎn)高度的速度增量方式，鮮有報(bào)道，因此，本文基于高斯偽譜法優(yōu)化算法(Gauss pseudospectral optimization software，GPOPS)，結(jié)合歷史上成功案例的技術(shù)參數(shù)，提出了一種新的計(jì)算控制量，即發(fā)動(dòng)機(jī)提供的沖量，可為不同類型的火星探測(cè)飛行器提供一種新的軌道轉(zhuǎn)移選擇模式。

1氣動(dòng)剎車流程及其數(shù)學(xué)模型

1.1氣動(dòng)剎車流程簡(jiǎn)介

氣動(dòng)剎車是指借助大氣阻力減速并利用主動(dòng)機(jī)動(dòng)實(shí)現(xiàn)飛行器變軌的一種方式，其整個(gè)過程如圖1所示。 該過程分3個(gè)階段， 即初始環(huán)繞調(diào)整段(walk-in phase)、 主減速段(main phase)和末態(tài)脫離火星大氣段(walk-out phase)。

初始環(huán)繞調(diào)整段，飛行器進(jìn)入火星影響球范圍，在以目標(biāo)中心天體為焦點(diǎn)的一個(gè)大離心率的橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)，并利用自身攜帶的設(shè)備對(duì)火星環(huán)境進(jìn)行勘測(cè)，將所測(cè)數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)庫(kù)數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì)修正。為保證測(cè)量精度，飛行器通常需要環(huán)繞火星飛行4～8圈，才能充分測(cè)量火星的環(huán)境參數(shù)。

當(dāng)飛行器進(jìn)入主減速段時(shí)，氣動(dòng)減速效果明顯，繞火星每旋轉(zhuǎn)一周都會(huì)使遠(yuǎn)火點(diǎn)高度逐步降低。為保證飛行器不因氣動(dòng)減速導(dǎo)致軌道高度急速下降，當(dāng)飛行器每旋轉(zhuǎn)一周，抵達(dá)軌道的遠(yuǎn)火點(diǎn)附近時(shí)，需要發(fā)動(dòng)機(jī)工作進(jìn)行軌道修正，以確保近火點(diǎn)軌道高度在合理范圍內(nèi)。

在末態(tài)脫離火星大氣段，為了實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)時(shí)間環(huán)繞火星飛行，飛行器的環(huán)繞軌道需盡量消除大氣影響，避免在每個(gè)環(huán)繞周期內(nèi)多次施加機(jī)動(dòng)維持軌道高度。此階段主要依靠每個(gè)周期的單次機(jī)動(dòng)，將近火點(diǎn)高度提高到火星大氣層外，最終實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)期環(huán)繞火星飛行。

1.2火星大氣模型

近火星大氣密度指數(shù)模型中，將密度看作隨高度分段變化的函數(shù)[6]。設(shè)高度為h，m；溫度為T，℃；大氣壓強(qiáng)為p，Pa; 大氣密度為ρ，(kg·m-3)；則溫度T表示為

(1)

大氣壓強(qiáng)p為

p(h)=0.699×exp(-0.000 09 h)

(2)

大氣密度ρ為

(3)

圖1氣動(dòng)剎車過程示意圖Fig.1Diagram of the process of aerobraking

該模型是NASA的格倫研發(fā)中心(Glenn Research Center)根據(jù)1996年發(fā)射的“火星全球測(cè)量者號(hào)”的觀測(cè)數(shù)據(jù)建立的。盡管未考慮大氣隨時(shí)間變化的因素，但在概念研究中，仍可選取此模型作為切入點(diǎn)，繼續(xù)開展工作。但是，大氣密度在大于100 km的某個(gè)區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)強(qiáng)烈震蕩，這與事實(shí)明顯不符，原因在于:該密度模型計(jì)算的溫度，在這個(gè)區(qū)間內(nèi)跨越0 K，導(dǎo)致密度表達(dá)式的分母為0，出現(xiàn)了不連續(xù)現(xiàn)象。考慮到氣動(dòng)剎車過程中飛行器的防熱能力有限，軌道高度過低可能會(huì)導(dǎo)致飛船燒毀，因此，現(xiàn)階段探測(cè)任務(wù)中，軌道高度不會(huì)低于7 km，因此主要關(guān)注軌道高度在7 km以上的火星大氣模型。為了解決跨越0 K引起的大氣密度模型的震蕩問題，需要對(duì)此模型進(jìn)行適當(dāng)改進(jìn)。

將實(shí)際的火星大氣密度看作關(guān)于高度的連續(xù)函數(shù)，進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，估計(jì)可以保證連續(xù)性，但會(huì)出現(xiàn)局部不夠光滑，需要進(jìn)一步優(yōu)化。用一個(gè)函數(shù)替代高階多項(xiàng)式，得到改進(jìn)的大氣密度公式為

(4)

改進(jìn)的大氣模型式(4)與原模型式(3)的對(duì)比結(jié)果，如圖2所示。

圖2兩種火星大氣模型密度對(duì)比圖Fig.2Comparison of two Mars atmosphere models

1.3動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

在火星大氣層內(nèi)，飛行器受引力和氣動(dòng)力的影響。氣動(dòng)力分為升力和阻力，該階段飛行器的6個(gè)狀態(tài)量分別為飛行器與火星中心距離r、火心經(jīng)度θ、火心緯度φ、速度V、速度傾角γ和航向角Ψ。航向角定義為正北方向與飛行器前進(jìn)方向的夾角，沿順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正。速度傾角為進(jìn)入點(diǎn)速度方向與當(dāng)?shù)鼗鹦潜砻娴乃矫嫠傻膴A角，當(dāng)速度方向指向火星角度為負(fù)值，反之為正。在不考慮風(fēng)、科里奧利力(Coriolis force)和離心力的影響時(shí)，運(yùn)動(dòng)方程[7-8]可由式(5)-式(8)表示：

(5)

(6)

(7)

(8)

其中，F(xiàn)D為阻力；FL為升力；g(r)為重力加速度；σ為傾側(cè)角；m為飛行器質(zhì)量；S為飛行器參考面積；CL和CD分別為升力系數(shù)和阻力系數(shù)；μMars為火星重力參數(shù)。

2基于高斯偽譜法的軌道優(yōu)化設(shè)計(jì)

為了確保在氣動(dòng)剎車過程中滿足進(jìn)入走廊的要求，需要在遠(yuǎn)火點(diǎn)附近實(shí)施機(jī)動(dòng)，采用脈沖方式，施加一個(gè)速度增量。

GPOPS的目標(biāo)函數(shù)為

(9)

其中，Δva為在遠(yuǎn)火點(diǎn)施加脈沖時(shí)速度的變化量；x為6維狀態(tài)向量，包含火心經(jīng)度、火心緯度、與火星中心的距離、速度、速度傾角和航向角等信息。

利用優(yōu)化算法求解速度沖量時(shí)，需要設(shè)置高度約束、過載約束和速度約束等。設(shè)計(jì)最低高度hmin不低于70 km，最大過載為3g(g為地球重力加速度)，飛行器速度v至少滿足橢圓軌道的能量公式要求，則約束條件Φ可以表示為

(10)

3仿真分析

目前關(guān)于氣動(dòng)剎車的研究報(bào)道還不多，無法得到有關(guān)火星探測(cè)器所需的詳盡數(shù)據(jù)，這里僅根據(jù)NASA提供的一些已成功實(shí)現(xiàn)氣動(dòng)剎車的火星探測(cè)飛船的部分基本數(shù)據(jù)，并結(jié)合有關(guān)技術(shù)手冊(cè)，在理論論證階段，設(shè)計(jì)一個(gè)合理的仿真場(chǎng)景，通過計(jì)算機(jī)仿真，驗(yàn)證本文提出的采用優(yōu)化算法解決氣動(dòng)剎車問題的可行性。仿真參數(shù)及初值如表1所列。

表1仿真參數(shù)及初值表

整個(gè)仿真過程耗時(shí)較長(zhǎng)，且每一圈遠(yuǎn)拱點(diǎn)高度的變化規(guī)律相似。為了得到清晰的圖像，故重點(diǎn)模擬仿真飛行器從初次進(jìn)入火星大氣實(shí)現(xiàn)氣動(dòng)剎車后的37個(gè)周期內(nèi)的情況，仿真結(jié)果如圖3所示。其中，3個(gè)坐標(biāo)軸的坐標(biāo)分別滿足x=rcosφcosθ,y=rcosφsinθ和z=rsinφ。氣動(dòng)剎車過程中及氣動(dòng)剎車結(jié)束后目標(biāo)軌道高度隨時(shí)間變化情況，分別如圖4和圖5所示。過載隨時(shí)間的變化情況，如圖6所示。其中，過載為加速度a與地球海平面高度下重力加速度g的比值。由于相鄰的兩個(gè)周期內(nèi)軌道變化不是十分明顯，所以圖3中會(huì)有類似曲線形成的兩個(gè)橢圓之間的重疊區(qū)域，實(shí)際上是從偏心率較大的橢圓軌道逐漸變?yōu)槠穆市〉臋E圓軌道。

圖3初始階段軌道仿真結(jié)果Fig.3Simulation result of the trajectory of the initial stage

圖4氣動(dòng)剎車過程中目標(biāo)軌道高度隨時(shí)間的變化Fig.4 Height of the target orbit vs.time during aerobraking

圖5氣動(dòng)剎車結(jié)束后目標(biāo)軌道高度隨時(shí)間的變化Fig.5Height of the target orbit vs. time after aerobraking

圖6過載隨時(shí)間的變化曲線Fig.6Overload vs. time

從圖4至圖6可以發(fā)現(xiàn)，在氣動(dòng)剎車過程中，橢圓軌道遠(yuǎn)火點(diǎn)的高度逐步緩慢下降，而近火點(diǎn)高度則在優(yōu)化得到的脈沖機(jī)動(dòng)下基本保持不變。最后幾圈的結(jié)果表明，飛行器軌道已保持在某一相對(duì)固定的橢圓目標(biāo)軌道上，由于初始時(shí)刻飛行器以一個(gè)較高速度通過火星大氣比較稠密的底層，所受過載較大，經(jīng)過幾個(gè)周期變軌調(diào)整，飛行器通過的是火星上層十分稀薄的大氣，所受過載值很小，整個(gè)氣動(dòng)剎車過程，過載均小于3g，滿足設(shè)定要求。

4結(jié)論與展望

雖然通過氣動(dòng)剎車方式實(shí)現(xiàn)變軌耗時(shí)較長(zhǎng)，但可以在很大程度上節(jié)約燃料，在非載人火星探測(cè)任務(wù)中應(yīng)用前景可期?；贕POPS優(yōu)化算法，本文設(shè)置速度增量為優(yōu)化變量，并限定約束條件，計(jì)算每

個(gè)周期實(shí)現(xiàn)氣動(dòng)剎車后維持近火點(diǎn)軌道高度所需的速度增量，通過仿真實(shí)驗(yàn)，證明該方法可以完成氣動(dòng)剎車變軌的功能，并滿足過載等約束條件要求。所以，基于GPOPS優(yōu)化設(shè)計(jì)的氣動(dòng)剎車方案合理可行，為氣動(dòng)剎車領(lǐng)域的研究提供了一種新的思路。在未來可以進(jìn)一步研究利用GPOPS算法使用小推力發(fā)動(dòng)機(jī)連續(xù)工作的方式實(shí)現(xiàn)氣動(dòng)剎車的方案，從而使氣動(dòng)剎車的方案更好地適應(yīng)實(shí)際任務(wù)的需求。

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Aerobraking Trajectory Design for Mars Mission Using Gauss Pseudospectral Optimization Software

HUANG Feng,HUANG Yue-chen,LI Hai-yang

(National University of Defense Technology,Changsha410073,China)

Based on the background of future Mars exploration, merits and demerits of the trajectory transfer method of aerobraking are discussed. An improved exponential Martian atmospheric model is chosen. Then a dynamic model of aerobraking is established. Constraint conditions are set according to the restrictions of the spacecraft and the orbit. Change in velocity of each circle of aerobraking to maintain the altitude of the periapsis is obtained by GPOPS. Thus, the goal of entering the target orbit by using aerobraking method is achieved. The results indicate that the scheme of aerobraking obtained by the optimal calculation of GPOPS is available and it provides a new way for future study of aerobraking.

Mars exploration;Gauss pseudospectral method;trajectory simulation；

2016-01-15；

2016-06-24 基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11372345) ?通信

李海陽(1972- )，男，河北大城人，教授，博士，主要從事載人航天系統(tǒng)分析與仿真研究。

E-mail:neilblue2011@hotmail.com

V412.4

A

2095-6223(2016)031003(5)