黃家勇，張紅梅，陳志高，朱世芳

（1.武漢大學(xué)　測繪學(xué)院，湖北　武漢　430079；2.武漢大學(xué)　動(dòng)機(jī)學(xué)院，湖北　武漢　430072）

流場構(gòu)建中徑向基函數(shù)節(jié)點(diǎn)選取方法研究

黃家勇1，張紅梅2，陳志高1，朱世芳1

（1.武漢大學(xué)測繪學(xué)院，湖北武漢430079；2.武漢大學(xué)動(dòng)機(jī)學(xué)院，湖北武漢430072）

針對現(xiàn)有基于徑向基函數(shù)的感潮河段局域時(shí)空流場模型構(gòu)建中節(jié)點(diǎn)選取缺乏依據(jù)的現(xiàn)狀，利用走航式ADCP資料研究了聚類算法、貪婪算法和梯度算法等3種節(jié)點(diǎn)位置選取方法，結(jié)合實(shí)驗(yàn)將3種不同節(jié)點(diǎn)位置選取方法下獲得的余流場和潮流場與調(diào)和分析方法的結(jié)果進(jìn)行對比分析，并采用交叉驗(yàn)證法評估節(jié)點(diǎn)選取方法構(gòu)建模型。結(jié)果表明，3種節(jié)點(diǎn)選取方法各有特點(diǎn)，在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)不同的流場特點(diǎn)及工程需要選擇合適的方法構(gòu)建流場。

感潮河段；走航式ADCP；流場構(gòu)建

感潮河段局域時(shí)空流場構(gòu)建對于流速預(yù)報(bào)、流量計(jì)算、河道施工、流體動(dòng)力學(xué)分析等意義重大（Wu et al，2013；單慧潔等，2015）。由于風(fēng)應(yīng)力、熱通量、降水、蒸發(fā)、潮流、余流、地下水通量等對流速影響相對較小，且難以預(yù)測，感潮河段流速分析通常只考慮影響河口循環(huán)的主要因素潮流和余流，通過對流速觀測數(shù)據(jù)調(diào)和分析得到余流和潮流調(diào)和常數(shù)構(gòu)建流場模型。ADCP（Acoustic Doppler Current Profile，聲學(xué)多普勒流速剖面儀）可以同時(shí)實(shí)現(xiàn)不同水深層的流速流向測量，測量速度快，在測量過程中不會對流場產(chǎn)生擾動(dòng)，結(jié)合GPS和底跟蹤技術(shù)（陳志高等，2013），可以快速獲取流速的空間分布，實(shí)現(xiàn)大區(qū)域的高時(shí)間、空間分辨率流速測量，操作簡單，是目前流速測量的主要手段（高菲等，2011；田淳等，2003）。

構(gòu)建感潮河段局域時(shí)空流場的經(jīng)典方法是基于內(nèi)插點(diǎn)調(diào)和分析，實(shí)現(xiàn)局域流場構(gòu)建。為了充分利用時(shí)間及空間分布不均勻走航測量數(shù)據(jù)，Candela等采用格林函數(shù)表示流速的平面分布，獲得局域平面流場 （Candela et al，1992；張芩，2000）；Münchow等（2000）將Candela方法擴(kuò)展到三維流場構(gòu)建；Vennell等（2006）采用以高斯函數(shù)為基函數(shù)的Candela方法實(shí)現(xiàn)了局域流場構(gòu)建；黃獎(jiǎng)等（2009）將徑向基函數(shù)法應(yīng)用于廈門灣斷面重復(fù)走航；沈俊強(qiáng)等（2012）采用Candela方法分離廈門內(nèi)灣東西口門海域潮流，分析潮流和余流特征。然而，已有研究常采用等間距點(diǎn)或格網(wǎng)點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)，均忽略了對徑向基函數(shù)中節(jié)點(diǎn)位置及個(gè)數(shù)選取方法的分析及對比，而節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)和位置對最小二乘解算的穩(wěn)定及流場擬合的結(jié)果影響重大。為此，本文以高斯函數(shù)作為基函數(shù)，基于聚類算法、貪婪算法和梯度算法等3種節(jié)點(diǎn)選取方法構(gòu)建流場模型，結(jié)合實(shí)驗(yàn)分析了3種節(jié)點(diǎn)選取方法的特點(diǎn)，以根據(jù)不同水域的流場特點(diǎn)選擇最優(yōu)方法，獲得符合實(shí)際情況的最優(yōu)時(shí)空流場。

1　局域流場構(gòu)建模型

基于點(diǎn)內(nèi)插調(diào)和分析是在走航起點(diǎn)和終點(diǎn)間等間距內(nèi)插得到內(nèi)插點(diǎn)，然后在每一個(gè)走航測次中，根據(jù)內(nèi)插點(diǎn)附近的實(shí)際測量點(diǎn)進(jìn)行反距離加權(quán)計(jì)算各內(nèi)插點(diǎn)在該測次中的流速及對應(yīng)的時(shí)間。得到內(nèi)插點(diǎn)在每個(gè)測次中的觀測值，然后對單點(diǎn)時(shí)間序列采用潮流調(diào)和分析公式計(jì)算潮流的調(diào)和常數(shù)，當(dāng)數(shù)據(jù)序列較長時(shí)，調(diào)和分析具有較好的建模精度（方國洪，1986）。

式中，U（t）是t時(shí)刻某地點(diǎn)流速觀測值，U0是潮流的余流值，m是調(diào)和分析所采用的分潮個(gè)數(shù)，Ui、ωi、θi分別是第i個(gè)分潮（i=1，…，m）的振幅、角速度、當(dāng)?shù)剡t角。記

則上式可以寫成

將內(nèi)插點(diǎn)的時(shí)間序列代入上式，采用最小二乘即可解算出潮流調(diào)和常數(shù)和橢圓要素，實(shí)現(xiàn)潮流分離，通過測量區(qū)域內(nèi)所有內(nèi)插點(diǎn)的潮流調(diào)和常數(shù)可

以內(nèi)插得到任意點(diǎn)的潮流調(diào)和常數(shù)，即可構(gòu)建局域流場模型。

Candela等最早提出基于走航式ADCP資料的潮流分離方法是將測量流速中的余流和潮流調(diào)和常數(shù)表達(dá)為一組格林函數(shù)的線性組合，然后采用最小二乘法解算基函數(shù)中的系數(shù)實(shí)現(xiàn)局域流場模型構(gòu)建，具有更好的空間相關(guān)性。本文采用以高斯函數(shù)為基函數(shù)的Candela法，也稱為徑向基函數(shù)法，將式中的U0、ai、bi用相同的形式F（X）表示。

式中，w0為式中U0項(xiàng)對應(yīng)的基函數(shù)權(quán)值矩陣，wCi，wSi分別是第i個(gè)分潮余弦項(xiàng)和正弦項(xiàng)對應(yīng)的權(quán)值矩陣。

確定模型的基函數(shù)后，節(jié)點(diǎn)位置及其對應(yīng)擴(kuò)展系數(shù)的確定是模型解算的關(guān)鍵。本文采用聚類算法、貪婪算法和梯度算法等3種節(jié)點(diǎn)選取方法解算局域流場模型中節(jié)點(diǎn)位置、擴(kuò)展系數(shù)、權(quán)值等參數(shù)。

1.1聚類算法

聚類算法是由Moody等（1989）提出的一種最經(jīng)典的徑向基函數(shù)（RBF）網(wǎng)學(xué)習(xí)算法。其思路是先對所有測量點(diǎn)進(jìn)行聚類確定RBF網(wǎng)中h個(gè)節(jié)點(diǎn)的位置，并根據(jù)各節(jié)點(diǎn)之間的距離確定節(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展常數(shù)，然后采用最小二乘法計(jì)算流場模型參數(shù)。具體操作步驟如下：

（1）首先選擇h個(gè)不同的節(jié)點(diǎn)初始位置，一般從測量點(diǎn)中隨機(jī)選取或者等間距選取；

（2）計(jì)算所有測量點(diǎn)與每個(gè)節(jié)點(diǎn)的距離；

（3）對于所有測量點(diǎn)，按照最小距離原則分類到聚類域w1（k），w1（k），…，wh（k）；

（5）如果前后兩次計(jì)算得到的對應(yīng)節(jié)點(diǎn)位置不再變化，則節(jié)點(diǎn)位置確定。否則，重復(fù)步驟（2）-（5）；

（6） 根據(jù)式（6）計(jì)算潮流調(diào)和分析方程中的權(quán)值矩陣W，然后將W代入模型計(jì)算流速測量點(diǎn)對應(yīng)的擬合流速U（Xi），進(jìn)而計(jì)算得到模型內(nèi)符合精度σh；

（7） 增加節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)至h+1，重復(fù)步驟（1）-（6），直至得到對應(yīng)的模型內(nèi)符合精度σh+1。

聚類算法中各基函數(shù)具有統(tǒng)一的擴(kuò)展系數(shù)

式中，dmax是所選節(jié)點(diǎn)之間的最大距離，h是節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

1.2貪婪算法

貪婪算法是由Vennel（2006）提出的一種徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)方法。貪婪算法根據(jù)模型擬合殘差確定節(jié)點(diǎn)，將模型擬合效果最差點(diǎn)作為新增節(jié)點(diǎn)，使模型能夠更好的擬合該點(diǎn)及附近測量點(diǎn)；然后再次擬合模型，根據(jù)擬合殘差最大原則尋找下一個(gè)新增節(jié)點(diǎn)。貪婪算法基函數(shù)的擴(kuò)展系數(shù)計(jì)算方法同式（7），確定徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)位置步驟如下：

（1） 選取流速絕對值最大點(diǎn)作為初始節(jié)點(diǎn)加入節(jié)點(diǎn)集，根據(jù)式（6）計(jì)算權(quán)值矩陣W，并根據(jù)模型計(jì)算擬合流速U（Xi），得到各測量點(diǎn)的擬合誤差ei=Ui-U（Xi）；

（2） 將絕對值最大ei對應(yīng)的測量點(diǎn)為作為新增節(jié)點(diǎn)加入節(jié)點(diǎn)集，然后將原有節(jié)點(diǎn)和新增節(jié)點(diǎn)代入式（6）重新計(jì)算模型參數(shù)及各測量點(diǎn)的擬合殘差；

（3） 根據(jù)殘差最大尋找新的節(jié)點(diǎn)，重復(fù)上述操作直至模型內(nèi)符合精度σ不再減小，獲得足夠的節(jié)點(diǎn)數(shù)目。

當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)目和坐標(biāo)確定后，根據(jù)式（6）計(jì)算最終權(quán)值矩陣W，得到局域流場模型。

1.3梯度算法

梯度算法（Platt，1991）與BP算法訓(xùn)練多層感知器的原理類似，通過最小化目標(biāo)函數(shù)E實(shí)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)及其對應(yīng)的擴(kuò)展系數(shù)、權(quán)值的調(diào)節(jié)。

其中，ei為測量點(diǎn)Xi的流速擬合殘差，Ui為測量點(diǎn)Xi的流速測量值，U（Xi）為模型在點(diǎn)Xi處的Ui采樣時(shí)刻的流速擬合值，P為總的測量點(diǎn)數(shù)。

若給定節(jié)點(diǎn)數(shù)h及其坐標(biāo)（cj，x、cj，y）、擴(kuò)展常數(shù)δj和權(quán)值wj的初值，為使目標(biāo)函數(shù)最小，需分別對cj，x、cj，y、δj和wj求梯度，得到各自調(diào)節(jié)量。

式中，（Xi，x，Xi，y）為測量點(diǎn)Xi的平面坐標(biāo)，η為學(xué)習(xí)率。

將測量數(shù)據(jù)代入式（10）-（13），求得各調(diào)節(jié)量，計(jì)算調(diào)整后的cj，x、cj，y、δj和wj。

將調(diào)整后的參數(shù)代入式（6），根據(jù)采樣時(shí)刻及位置計(jì)算U（Xi），并與觀測數(shù)據(jù)Ui比較，得到模型內(nèi)符合精度。重復(fù)以上操作，直至相鄰兩次模型精度變化小于設(shè)定閾值，得到用于流場構(gòu)建的徑向基函數(shù)的最佳節(jié)點(diǎn)位置cj、擴(kuò)展系數(shù)δj和權(quán)值wj及模型內(nèi)符合精度σh。

2　實(shí)驗(yàn)與分析

2.1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

為了檢驗(yàn)3種節(jié)點(diǎn)選取方法構(gòu)建流場的可靠性，實(shí)驗(yàn)選用徐六涇附近流域?qū)崪y的走航式ADCP測量數(shù)據(jù)，實(shí)測流域是感潮河段，走航斷面如圖1（a）所示。走航式ADCP測量斷面長度約為3.5 km，完成一次走航式測量耗時(shí)約20 min，每小時(shí)進(jìn)行一次走航式測量，數(shù)據(jù)包含28次重復(fù)觀測，總的測量時(shí)間長度超過一個(gè)日潮周期，重復(fù)觀測過程中當(dāng)前測次的測量終點(diǎn)是下一個(gè)測次的測量起點(diǎn)。走航觀測恰逢秋季大潮期，觀測得到的最大漲潮流速為1.38 m/s，最大落潮流速為1.85 m/s。數(shù)據(jù)中還包括測量區(qū)域附近錨定ADCP采樣時(shí)間間隔為半小時(shí)，長達(dá)一個(gè)月的測量數(shù)據(jù)，通過對錨定ADCP測量數(shù)據(jù)進(jìn)行頻譜分析如圖1（b），可以看出流域內(nèi)主要分潮包括K1、M2、M4、M6、M8。根據(jù)Thomson等（2001）提出的最小頻率分潮的周期應(yīng)小于或等于觀測資料的長度的調(diào)和分析分潮選取原則（Thomson et al，2001），而交叉驗(yàn)證部分建模數(shù)據(jù)長度為14 h，因此采用M2、M4、M6、M8等4個(gè)分潮。

2.2實(shí)驗(yàn)分析

2.2.1余流對比

利用調(diào)和分析方法及3種節(jié)點(diǎn)選取方法構(gòu)建流場得到的余流在走航斷面內(nèi)插點(diǎn)上的分布如圖2-圖4所示，由于數(shù)據(jù)密度較大，每20個(gè)內(nèi)插點(diǎn)取一個(gè)繪制到圖上。圖2（a）、圖3（a）、圖4（a）分別是調(diào)和分析方法與聚類算法、貪婪算法、梯度算法構(gòu)建模型得到的余流對比。圖中黃色帶箭頭矢量表示調(diào)和分析得到的余流，紅色帶箭頭矢量表示流場模型計(jì)算得到的余流。調(diào)和分析得到的余流最大值為0.83 m/s，平均值為0.56 m/s。

從圖2（a）、圖3（a）、圖4（a）這3幅圖中可以看出，在內(nèi)插點(diǎn)上調(diào)和分析得到的余流與本文3種不同節(jié)點(diǎn)選取方法下構(gòu)建流場得到的余流大小和方向基本重合，在岸邊和河道中間淺灘區(qū)域流場模型得到的余流與調(diào)和分析結(jié)果之間有一定偏差，這是因?yàn)檎{(diào)和分析各點(diǎn)單獨(dú)解算，而本文方法對測量區(qū)域構(gòu)建流場模型，具有更好的空間相關(guān)性。3種節(jié)點(diǎn)選取方法構(gòu)建流場以及傳統(tǒng)節(jié)點(diǎn)選取算法與調(diào)和分析方法得到余流的差值均方根見表1。從表中可以看出，傳統(tǒng)節(jié)點(diǎn)選取方法構(gòu)建流場模型與調(diào)和分析方法下余流誤差均方根最大，貪婪算法具有整體最優(yōu)，且節(jié)點(diǎn)位置確定比聚類算法合理，貪婪算法與調(diào)和分析得到的余流的誤差均方根最小，僅為0.028 m/s。梯度算法具有局部最優(yōu)，與調(diào)和分析計(jì)算得到余流較差的均方根最大，達(dá)到了0.055 m/s。

圖1 測量斷面位置及流速頻譜分析

2.2.2潮流對比

圖2 聚類算法與調(diào)和分析的余流（a）和M2潮流橢圓（b）對比（圖中顏色條對應(yīng)的刻度為河床的高程（下同））

圖3 貪婪算法與調(diào)和分析的余流（a）和M2潮流橢圓（b）對比

圖4 梯度算法與調(diào)和分析的余流（a）和M2潮流橢圓（b）對比

表13　種不同節(jié)點(diǎn)選取方法及傳統(tǒng)節(jié)點(diǎn)選取方法下構(gòu)建流場與調(diào)和分析得到余流和M2長軸的誤差均方根

從圖1（b）可以看出測量流域M2分潮振幅遠(yuǎn)大于其他3個(gè)分潮，因此這里只分析占主導(dǎo)地位的M2分潮潮流橢圓。將調(diào)和分析和3種節(jié)點(diǎn)選取方法構(gòu)建流場模型模擬得到的結(jié)果在測量點(diǎn)上繪制出M2分潮潮流橢圓，如圖2（b）、圖3（b）、圖4（b）。圖中，黃色細(xì)線是調(diào)和分析得到的M2分潮潮流橢圓，紅色細(xì)線是流場模型構(gòu)建得到的M2分潮潮流橢圓。由于測量區(qū)域是近海感潮河段，潮流主要是沿河道方向，在垂直于河道方向上沒有潮流波動(dòng)，得到的潮流橢圓接近為一條直線。調(diào)和分析得到的M2潮流橢圓長軸最大值是1.16 m/s，平均值是0.98 m/s。3種不同節(jié)點(diǎn)選取方法下構(gòu)建流場與調(diào)和分析計(jì)算的得到的M2潮流橢圓的長軸的誤差均方根大小關(guān)系與余流較差均方根一致，且均小于調(diào)和分析計(jì)算值的5%。

從圖2（b）、圖3（b）、圖4（b）可以看出，本文中3種不同節(jié)點(diǎn)選取方法下構(gòu)建流場與調(diào)和分析相比得到的M2分潮潮流橢圓吻合較好，僅在河道中間的淺灘處有較大偏差。在天然河道中，流場變化較為平緩，而實(shí)驗(yàn)中調(diào)和分析得到的潮流橢圓在中間淺灘測點(diǎn)與相鄰測點(diǎn)方向明顯不一致，且該點(diǎn)所在區(qū)域水下地形沒有明顯變化。本文采用的Candela方法對區(qū)域內(nèi)所有點(diǎn)整體解算，相鄰點(diǎn)之間具有更好的空間相關(guān)性，所有內(nèi)插點(diǎn)上M2潮流橢圓長軸具有比較一致的變化趨勢，計(jì)算結(jié)果符合天然河道流速變化規(guī)律。

2.2.3模型驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證模型的可靠性，將28個(gè)測次的數(shù)據(jù)分成兩個(gè)部分，前14個(gè)測次數(shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)組，采用本文3種不同節(jié)點(diǎn)選取方法以及傳統(tǒng)節(jié)點(diǎn)選取方法分別構(gòu)建流場模型；后14個(gè)測次數(shù)據(jù)作為驗(yàn)證組，用來驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)組構(gòu)建的局域流場模型的可靠性。分別用流場模型模擬實(shí)驗(yàn)組和驗(yàn)證組數(shù)據(jù)與測量數(shù)據(jù)對比計(jì)算模型的內(nèi)符合精度和外符合精度，得到的模型驗(yàn)證結(jié)果如表2。

從表2中可以看出，傳統(tǒng)節(jié)點(diǎn)選取方法的內(nèi)符合精度和外符合精度都是最差的。聚類算法的內(nèi)符合精度較好，而外符合精度較差，達(dá)到了0.257m/s。由于聚類算法節(jié)點(diǎn)選取只與測量位置分布有關(guān)，不能反映流速特征，具有整體最優(yōu)性，因此內(nèi)符合精度較好，而外符合精度較差。梯度算法具有較差的內(nèi)符合精度，因?yàn)樘荻人惴ㄖ心繕?biāo)函數(shù)最小同時(shí)顧及了節(jié)點(diǎn)位置、擴(kuò)展系數(shù)和權(quán)值，具有局部最優(yōu)，因此得到的內(nèi)符合精度比其他3種節(jié)點(diǎn)選取方法差，但是構(gòu)建的模型更接近真實(shí)值，得到了較好的外符合精度0.202 m/s。實(shí)驗(yàn)中貪婪算法具有最好的內(nèi)符合精度和外符合精度，因?yàn)楸疚乃脭?shù)據(jù)中為走航斷面的重復(fù)測量，采樣點(diǎn)分布密集，流速的空間變化不大，且測量數(shù)據(jù)質(zhì)量較好。計(jì)算過程中，聚類算法和貪婪算法的運(yùn)算速度較快，而梯度算法耗時(shí)長。對于本文實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，貪婪算法比較適用；如果對運(yùn)算速度沒有要求，梯度算法同樣適用。

表2　3種不同節(jié)點(diǎn)選取方法及傳統(tǒng)節(jié)點(diǎn)選取方法下構(gòu)建流場的內(nèi)外符合精度對比（單位：±m(xù)/s）

3　結(jié)語

（1） 聚類算法計(jì)算簡單，運(yùn)算速度快，但節(jié)點(diǎn)選取只與點(diǎn)位分布相關(guān)。貪婪算法不需要先驗(yàn)參數(shù)，但節(jié)點(diǎn)均為測量點(diǎn)且節(jié)點(diǎn)位置不會隨著個(gè)數(shù)的增加變化，易受測量粗差和采樣密度影響。梯度算法根據(jù)待求參數(shù)的梯度不斷調(diào)整參數(shù)值，節(jié)點(diǎn)和參數(shù)均滿足內(nèi)符合精度最小，避免了病態(tài)矩陣造成的不穩(wěn)定解問題，穩(wěn)定性更好，但運(yùn)算速度慢，受參數(shù)初值影響較大。

（2） 基于徑向基函數(shù)的感潮河段局域時(shí)空流場構(gòu)建中，聚類算法適用于測量精度較差、區(qū)域內(nèi)流速的空間分布變化不大的流場構(gòu)建，貪婪算法適用于密集采樣且測量精度高的走航數(shù)據(jù)構(gòu)建流場，梯度算法適用于運(yùn)算速度要求不高的流場構(gòu)建。在應(yīng)用中可根據(jù)需求選用合適的節(jié)點(diǎn)選取方法構(gòu)建流場模型。隨著測量區(qū)域的增大以及水文條件的變化，3種節(jié)點(diǎn)選取方法構(gòu)建流場模型的適用性以及模型的空間和時(shí)間外推能力有待進(jìn)一步的驗(yàn)證。

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（本文編輯：袁澤軼）

Study on the method of selecting optimal centers in the construction of local flow field based on the radial basis function

HUANG Jia-yong1,ZHANG Hong-mei2,CHEN Zhi-gao1,ZHU Shi-fang1
(1.School of Geodesy and Geometics,WuhanUniversity,Wuhan 430079,China; 2.School of Power and Mechanical Engineering,Wuhan University,Wuhan 430072,China)

In terms of the current situation that there is a lack of center selecting method in the flow field construction of tidal reach using radial basis function(RBF),three methods of selecting optimal centers,including clustering algorithm, greedy algorithm and gradient algorithm,are studied to construct flow field based on ship-mounted Acoustic Doppler Current Profiler(ADCP)data in this paper.The residual and M2 tidal ellipse of the constructed flow filed and traditional harmonic analysis are contrasted.The performance of flow field is assessed by cross-validation technique.Results show that the practical requirement of construct flow filed should be taken into consideration to choose the optimal selecting method due to the three methods of selecting optimal centers having respective characters.

tidal reach;ship-mounted ADCP;flow field construction

P731.2

A

1001-6932（2016）05-0516-07

10.11840/j.issn.1001-6392.2016.05.005

2015-07-07；

2015-09-07

國家自然科學(xué)基金（41576107；41376109；41176068）；國家重大專項(xiàng)（2016YFB0501703）。

黃家勇（1991-），男，碩士研究生，主要從事水文水資源相關(guān)的研究。電子郵箱：huangjiayong@whu.edu.cn