雷前召，張寧寧

(渭南師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，陜西 渭南 714099)

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【自然科學(xué)基礎(chǔ)理論研究】

規(guī)則形狀均勻帶電平面之中心垂軸電場(chǎng)差異性研究

雷前召，張寧寧

(渭南師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，陜西 渭南 714099)

對(duì)均勻帶電圓盤(pán)和正多邊形面盤(pán)、圓環(huán)和正多邊形環(huán)以及含圓孔、正多邊形的無(wú)限大平面中心垂軸的電場(chǎng)分布進(jìn)行了計(jì)算，并對(duì)所得解析結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。通過(guò)模擬，得到圓盤(pán)、圓環(huán)均勻帶電平面中心垂軸電場(chǎng)分布圖，尤其是不同環(huán)面寬度的中心垂軸場(chǎng)強(qiáng)分布；對(duì)模擬結(jié)果進(jìn)行了分析及總結(jié)。正多邊形的面盤(pán)、環(huán)的模擬結(jié)果具有相同的結(jié)論。通過(guò)對(duì)比，加深了對(duì)各種規(guī)則形狀帶電平面中心垂軸電場(chǎng)差異性的認(rèn)識(shí)。

規(guī)則形狀；中心垂軸；電場(chǎng)差異性

帶電體的電場(chǎng)分布研究、帶電體的場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算方法較多[1-9]，其中規(guī)則形狀帶電平面中心垂軸電場(chǎng)強(qiáng)度分布研究，比如對(duì)圓線圈、圓盤(pán)、圓柱面等中心軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算[1-7]，一般局限于對(duì)場(chǎng)強(qiáng)分布公式進(jìn)行推導(dǎo)，或?qū)δ骋恍螤顜щ婓w電場(chǎng)進(jìn)行較深入探討；而對(duì)各種有規(guī)則形狀帶電平面軸線的電場(chǎng)分布的比較研究較少，對(duì)這些電場(chǎng)分布的一些共同特性研究不夠深入。而這些研究?jī)H依靠簡(jiǎn)單形狀均勻帶電體的電場(chǎng)強(qiáng)度計(jì)算方法——高斯定理、電勢(shì)梯度和場(chǎng)強(qiáng)積分等，往往得不到理想結(jié)果，因此，開(kāi)展本研究尚有必要。

1 均勻帶電圓盤(pán)、圓環(huán)、有圓孔無(wú)限大平面中心垂軸電場(chǎng)

1.1 電場(chǎng)分布計(jì)算

均勻帶電圓盤(pán)、圓環(huán)及含圓孔平面如圖1所示，電荷面密度為σ。圓環(huán)內(nèi)外半徑分別是b和a，圓盤(pán)半徑為a，帶孔平面所含圓孔半徑為a。則利用連續(xù)電荷積分法可以計(jì)算圖1的(a)(b)(c)各分圖對(duì)應(yīng)的中心垂軸電場(chǎng)[10-11]，分別為：

(1)

1.2 均勻帶電圓環(huán)、圓盤(pán)中心軸線電場(chǎng)分布模擬及分析

由前面推導(dǎo)所得圓盤(pán)、圓環(huán)軸線電場(chǎng)分布公式(1)，假設(shè)均勻帶電圓環(huán)外半徑為a、內(nèi)半徑為b，帶電量為Q，模擬所得結(jié)果如圖2所示。

均勻帶電圓環(huán)(不同環(huán)寬)在垂軸上的電場(chǎng)強(qiáng)度

圖2 均勻帶電圓環(huán)(不同環(huán)寬)中心垂軸上的電場(chǎng)分布

模擬結(jié)果分析：

圓盤(pán)電荷在z=0附近點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)最大，此電場(chǎng)強(qiáng)度等同于“無(wú)限大”帶電平面的場(chǎng)強(qiáng)。但由于圓盤(pán)兩邊場(chǎng)強(qiáng)方向不同，電場(chǎng)強(qiáng)度在z=0點(diǎn)不連續(xù)，在圓盤(pán)中點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為0。

模擬圖顯示，當(dāng)距離增加時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度值持續(xù)減小。而當(dāng)中心垂軸距盤(pán)心距離|z| > 3a時(shí)，其電場(chǎng)強(qiáng)度近似于盤(pán)心同等電量的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)，且距離越遠(yuǎn)近似程度越高。

當(dāng)均勻帶電圓環(huán)面外環(huán)半徑不變，逐漸減小內(nèi)環(huán)半徑b，向圓盤(pán)演變的過(guò)程中，環(huán)中心的場(chǎng)強(qiáng)均為0；除中心z=0點(diǎn)外，中心垂軸各點(diǎn)可導(dǎo)，且不論圓環(huán)寬度如何，每一環(huán)寬的圓環(huán)軸線場(chǎng)強(qiáng)分布都有一個(gè)極值點(diǎn)。

不同環(huán)寬的圓環(huán)軸線場(chǎng)強(qiáng)的極值點(diǎn)分布在一條曲線上，極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的場(chǎng)強(qiáng)隨圓環(huán)面寬度的增加(b值減小)而增加，且逐漸向中心點(diǎn)靠近。當(dāng)b=0，圓環(huán)最終變成圓盤(pán)，場(chǎng)強(qiáng)的極值達(dá)到最大，極值點(diǎn)即盤(pán)中心。

2 均勻帶電正多邊形盤(pán)、環(huán)以及含正多邊形孔的無(wú)限大平面之中心垂軸電場(chǎng)

2.1 電場(chǎng)分布計(jì)算

邊長(zhǎng)為a，均勻帶電線密度為λ的線段，其中垂軸上距線段中點(diǎn)為r處的場(chǎng)強(qiáng)為[12]

(2)

據(jù)此，容易推導(dǎo)正n邊形面盤(pán)中心垂軸的電場(chǎng)強(qiáng)度。如圖3(a)所示，邊長(zhǎng)為a，均勻帶電面密度為σ，正n邊形面盤(pán)中心垂軸上任意點(diǎn)P(距盤(pán)中心點(diǎn)為z)的場(chǎng)強(qiáng)[13]為

(3)

同樣均勻帶電面密度為σ，同軸正n邊形面環(huán)，如圖3(b)所示，其環(huán)的內(nèi)、外邊長(zhǎng)分別為b、a，則其中心垂軸任意點(diǎn)P(距離環(huán)心為z)的電場(chǎng)強(qiáng)度為

(4)

由反三角函數(shù)兩角差公式，式(4)進(jìn)一步推導(dǎo)為

(5)

含正多邊形孔的無(wú)限大平面，如圖3(c)所示，中心垂軸任一P點(diǎn)電場(chǎng)

(6)

2.2 均勻帶電正多邊形環(huán)、盤(pán)中心垂軸電場(chǎng)分布特性

前面式(3)(5)和(6)分別為均勻帶電正多邊形盤(pán)、環(huán)和有正多邊形孔的無(wú)限大平面中心垂軸電場(chǎng)分布公式，和式(1)對(duì)比，似乎差異很大，但這只是表面現(xiàn)象。

可以證明[14]，當(dāng)n→時(shí)，式(5)(6)(7)就由正n邊形過(guò)渡到對(duì)應(yīng)的圓形帶電情形。正n邊形盤(pán)、環(huán)中心垂軸電場(chǎng)分布模擬結(jié)果完全類(lèi)似于均勻帶電圓盤(pán)、圓環(huán)，其電場(chǎng)分布特性也和均勻帶電圓盤(pán)、圓環(huán)相似。不僅如此，對(duì)相同面積、相同電荷密度的正多邊形盤(pán)來(lái)說(shuō)，其邊數(shù)n的變化對(duì)盤(pán)中心垂軸同一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的大小幾乎沒(méi)有影響，甚至和相同面積、相同電荷密度的圓環(huán)中心垂軸同一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)非常接近。

(7)

(8)

3 結(jié)語(yǔ)

利用泰勒級(jí)數(shù)展式可以計(jì)算帶電圓盤(pán)在空間任意點(diǎn)的電場(chǎng)分布，但如果選取泰勒級(jí)數(shù)的一級(jí)近似，精度不高，而如果利用高階近似，則計(jì)算大為復(fù)雜。對(duì)規(guī)則形狀均勻帶電平面垂軸上任意點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)進(jìn)行深入分析，通過(guò)對(duì)比研究，不僅能夠幫助我們熟悉軸線上電場(chǎng)分布規(guī)律，也有助于了解近軸區(qū)域電場(chǎng)分布大致情況，在此基礎(chǔ)上再根據(jù)需要決定是否對(duì)其電場(chǎng)分布區(qū)域做普遍性研究。

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[11] 竇春升，楊志懷，王參軍.大學(xué)物理[M].西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2010.

[12] 趙凱華,陳熙謀.電磁學(xué)[M].第3版.北京:高等教育出版社,2011.

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[14] 王嘉樂(lè).利用多邊形逼近圓環(huán)的思想計(jì)算有限長(zhǎng)均勻帶電的偏軸圓筒在空間任意一點(diǎn)的電場(chǎng)[J].大學(xué)物理,2013,32(1):38-41.

[15] 方嵩林,范雙菲,傅蕓,等.淺論正多邊形帶電環(huán)盤(pán)筒柱的場(chǎng)強(qiáng)[J].物理通報(bào),2012,(12):24-26.

【責(zé)任編輯 牛懷崗】

Research on the Differences between the Electric Fields of the Vertical Shafts to the Regular-shaped Uniformly Charged Planes Centers

LEI Qian-zhao,ZHANG Ning-ning

(School of Mathematics and Physics, Weinan Normal University, Weinan 714099, China)

First the electric fields at the vertical shafts of the regular-shaped uniformly charged planes centers were calculated, the regular-shaped planes covering the circular and regular polygon plates, the circle and regular polygon rings and infinite plane with circular hole or regular polygon; the obtained analytical results were compared. Then the uniformly charged disc, the annulus center vertical axial electric field distributions were simulated; especially so were done the electric field intensity distributions at the ring central vertical axes under different ring width; similarly it could get the simulation results of the regular polygon plate, ring. Finally, the simulation results were analyzed and the differences between the electric fields of vertical shafts to various shapes charged planes centers were summarized. By contrast, a deep understanding about these differences was obvious.

regular shape； vertical shaft； electric fields difference

O441.1

A

1009-5128(2016)19-0014-05

2016-08-11

陜西省教育廳專(zhuān)項(xiàng)科研計(jì)劃項(xiàng)目：涇渭流域?qū)α鲗硬▽?dǎo)的超短波傳播影響研究(15JK1242)；陜西省扶持學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)科基金資助項(xiàng)目：貝塞爾函數(shù)在電磁波傳播與散射中的應(yīng)用(201606)

雷前召(1967—)，男，河南信陽(yáng)人，渭南師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院副教授，西安電子科技大學(xué)博士研究生，主要從事復(fù)雜介質(zhì)中的光、波傳播研究。