分治法在管道渦流檢測(cè)阻抗解析中的應(yīng)用

王志剛，羅清旺，師奕兵

（電子科技大學(xué)自動(dòng)化工程學(xué)院 成都 611731）

·自動(dòng)化技術(shù)·

分治法在管道渦流檢測(cè)阻抗解析中的應(yīng)用

王志剛，羅清旺，師奕兵

（電子科技大學(xué)自動(dòng)化工程學(xué)院 成都 611731）

介紹了一種鐵磁性管道渦流阻抗模型的數(shù)值解析方法。該方法利用阻抗模型中貝塞爾函數(shù)在大宗量（分治法產(chǎn)生的一個(gè)子區(qū)間）時(shí)的漸近性，在整個(gè)廣義積分區(qū)間采用分治法簡(jiǎn)化積分函數(shù)，降低了對(duì)阻抗模型廣義積分的計(jì)算難度?；趯?duì)計(jì)算量與計(jì)算準(zhǔn)確度的折中，討論了該解析方法中分治點(diǎn)的選擇原則。將該方法的阻抗模型計(jì)算結(jié)果與通過(guò)物理檢測(cè)設(shè)備測(cè)試實(shí)際管道的值進(jìn)行比較，驗(yàn)證了分治法解阻抗模型的可行性。該方法對(duì)于解析柱坐標(biāo)系下管道渦流檢測(cè)阻抗模型的應(yīng)用，具有簡(jiǎn)單、快速和高精度的優(yōu)點(diǎn)。

貝塞爾函數(shù)； 大宗量； 分治法； 阻抗模型； 數(shù)值解析

在管道渦流無(wú)損檢測(cè)研究中，常利用Maxwell方程及某種邊界條件，列出電磁波在鐵磁性管道中傳播的模式方程，然后根據(jù)該模式方程，研究電磁波在鐵磁性管道中的傳播阻抗特性，并從傳播阻抗特性中提取出管道物理信息［1-3］，最后基于這些物理信息判別鐵磁性管道的損傷情況。上述針對(duì)鐵磁性管道的檢測(cè)方法，涉及到對(duì)電磁場(chǎng)中傳播阻抗的數(shù)值解析。由文獻(xiàn)［4-5］可知，管道渦流阻抗模型是關(guān)于修正貝塞爾函數(shù)的一種復(fù)雜廣義積分形式，該積分形式?jīng)Q定了它難于直接利用貝塞爾函數(shù)的積分性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。雖然也有一些關(guān)于貝塞爾廣義積分函數(shù)的研究性論文發(fā)表，但是它們多是針對(duì)特定的貝塞爾函數(shù)形式［6-9］，如較常見(jiàn)且采用的有復(fù)雜遞推法［7］以及針對(duì)特定形式的貝塞爾函數(shù)積分［8］方法。前者只能用于特定的遞推形式，后者應(yīng)用于有限的積分區(qū)間，文獻(xiàn)［9］提出了修正貝塞爾函數(shù)的數(shù)值積分方法的數(shù)學(xué)演繹。對(duì)于本文所需解析的渦流阻抗模型中具有的函數(shù)復(fù)雜性、函數(shù)高速振蕩衰減及在廣義區(qū)間積分等特征，它們均不適用。

另一方面，函數(shù)的漸近性被廣泛應(yīng)用于解析復(fù)雜積分函數(shù)，并具有很好的解析效果［10-13］?？梢岳秘惾麪柡瘮?shù)漸進(jìn)性，采用分治法處理復(fù)雜積分函數(shù)。分治法的思想是將一個(gè)難以直接解決的大問(wèn)題，分割成一些規(guī)模較小的相同問(wèn)題，以便分而治之。依此將阻抗模型的廣義積分區(qū)間分治為小宗量積分區(qū)間和大宗量積分區(qū)間，并在大宗量積分區(qū)間應(yīng)用貝塞爾函數(shù)的漸近性，選定逼近函數(shù)簡(jiǎn)化阻抗函數(shù)。一般的數(shù)列排序分治法［14］，通常將最后的數(shù)值點(diǎn)作為分治點(diǎn)，它的選取不影響計(jì)算結(jié)果。考慮到需對(duì)渦流阻抗模型中積分區(qū)間［0，∞］分治，所以不能取最后數(shù)點(diǎn)作為分治點(diǎn)，這樣對(duì)分治點(diǎn)的選取時(shí)需要考慮逼近函數(shù)對(duì)原函數(shù)的逼近精度，以及阻抗函數(shù)的數(shù)值計(jì)算準(zhǔn)確度。

本文以分治法求解阻抗模型的過(guò)程包含：分治積分區(qū)間及阻抗模型積分函數(shù)的衰減特性和逼近特性分析；積分函數(shù)計(jì)算和結(jié)果準(zhǔn)確度分析兩個(gè)階段。依靠分治法和貝塞爾函數(shù)逼近的特性的簡(jiǎn)化，可在保證計(jì)算結(jié)果精度的條件下大大減少計(jì)算量。

1 鐵磁性管道渦流阻抗模型

圖1所示，激勵(lì)及接收線圈均處于管道內(nèi)部（管道無(wú)限長(zhǎng)）。a、b、c分別為激勵(lì)、接收線圈、管道的內(nèi)半徑，線圈軸向距離為s，s

圖1 管道電磁傳播阻抗模型

在柱坐標(biāo)系中，各區(qū)域中任一點(diǎn)的磁位量設(shè)為A（r，z；r′，z′）其為包含復(fù)變量的貝塞爾方程：

式中，I1（xnr）,K1（xnr）分別為1階第一類和第二類修正貝塞爾函數(shù)；Cn（x）、Dn（x）分別代表在區(qū)域n的函數(shù)系數(shù)； xn為介質(zhì)傳播參數(shù)，可表示為，

式中，下標(biāo)n=1，2，3，4分別對(duì)應(yīng)區(qū)域I，II，III，IV，區(qū)域I和II為空氣；x=x1=x2,μ0=μ1=μ2。對(duì)式（1）求解，并設(shè)a=b＜c，經(jīng)復(fù)雜推導(dǎo)可得鐵磁性管道電磁渦流檢測(cè)阻抗模型為［15］：

其中，式（3）為空氣中線圈組傳輸阻抗，式（4）表示由于鐵磁性管道存在所導(dǎo)致阻抗函數(shù)變化的增量。因此，阻抗函數(shù)可寫為：Z=Zd+Λ。由式（3）、式（4）的積分特性可知，被積函數(shù)是衰減函數(shù)，且計(jì)算難度較大。另外，由管道趨膚特性可知，|x3c|＞＞1，根據(jù)修正貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)，式（6）成立：

將式（6）代入式（5）簡(jiǎn)化，有：

由于管道具有較大的電導(dǎo)率，可對(duì)式（2）化簡(jiǎn)，得到：

觀察式（4）～式（8），由于貝塞爾函數(shù)特性及廣義的積分區(qū)間，化簡(jiǎn)之后仍然很難直接積分計(jì)算或利用貝塞爾函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。

2 分治法解阻抗模型

分治法解阻抗模型，是將廣義積分區(qū)間分治為小宗量和大宗量區(qū)間；在大宗量區(qū)間，以簡(jiǎn)化近似函數(shù)代替原函數(shù)進(jìn)行計(jì)算；而在小宗量區(qū)間，則進(jìn)行定積分或求和計(jì)算。

2.1 貝塞爾函數(shù)的Melin-Barnes逼近

由分治法思想可知，在積分區(qū)間采用分治法，若要對(duì)積分函數(shù)化簡(jiǎn)，其在大宗量區(qū)間時(shí)必須有高精度逼近的近似函數(shù)。由文獻(xiàn)［13］可知，漢克函數(shù)在大宗量時(shí)具有良好的逼近函數(shù)，并且，修正貝塞爾函數(shù)可由漢克函數(shù)線性表示。所以，如果已知漢克函數(shù)在大宗量時(shí)的高精度逼近函數(shù)，就可以通過(guò)兩類貝塞爾函數(shù)的線性關(guān)系，求得其在大宗量時(shí)修正貝塞爾函數(shù)的高精度逼近式，該線性關(guān)系為：

Borel求和法和Melin-Barnes數(shù)值法對(duì)貝塞爾函數(shù)均可實(shí)現(xiàn)良好逼近［13］，而兩者比較，Borel求和法計(jì)算量大，本文采用Melin-Barnes數(shù)值法對(duì)大宗量區(qū)間的修正貝塞爾函數(shù)進(jìn)行逼近。

由于柯西留數(shù)定理在一些特殊實(shí)積分，如反常積分、廣義積分是很好的分析手段，而Melin-Barnes數(shù)值法的基本思想是：在形如式（11）的一般冪級(jí)數(shù)中應(yīng)用柯西留數(shù)定理，有：

在一定條件下［13］，在式（11）中應(yīng)用柯西留數(shù)定理，可將 S（N，z）表示成Melin-Barnes積分，有：

式中，N-1＜c＜N 。由于漢克函數(shù)的完全等式是形如式（11）所示的無(wú)窮級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)，不利于直接數(shù)值計(jì)算，所以應(yīng)用柯西留數(shù)定理將漢克函數(shù)的冪級(jí)數(shù)形式轉(zhuǎn)換成形如式（12）的Melin-Barnes積分，得到漢克函數(shù)的高精度逼近式，以便于達(dá)到快速數(shù)值計(jì)算漢克函數(shù)的目地，具體過(guò)程參見(jiàn)文獻(xiàn)［13］。

在大宗量（λ＞＞1）時(shí)，可由Melin-Barnes數(shù)值法［13］逼近的漢克函數(shù)簡(jiǎn)化為：

式中，α表示階數(shù)。式（13）、式（14）提供了大宗量區(qū)間精確的漢克函數(shù)逼近公式，再結(jié)合式（9）、式（10）可以得到修正貝塞爾函數(shù)在大宗量區(qū)間內(nèi)高精度的逼近式。然而，這種逼近不可避免存在一定誤差，它與分治點(diǎn)的選取有直接關(guān)系。

2.2 選取分治點(diǎn)

在分治法解析阻抗模型的過(guò)程中，分治點(diǎn)λ的選取決定了漸近函數(shù)引入起點(diǎn)。理論上，分治點(diǎn)λ越大，大宗量積分區(qū)間越小，計(jì)算結(jié)果越準(zhǔn)確，但是計(jì)算量就會(huì)越大；反之，分治點(diǎn)λ越小，計(jì)算量越小，大宗量區(qū)間的逼近誤差就會(huì)越大。合理選取分治點(diǎn)，使得計(jì)算量和結(jié)果準(zhǔn)確性得以折中。

為了便于分治點(diǎn)的選取，首先需要對(duì)阻抗模型被積函數(shù)的變化趨勢(shì)進(jìn)行分析，它是一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)的輸出（該穩(wěn)定系統(tǒng)的輸出是一個(gè)電壓信號(hào)）。由穩(wěn)定系統(tǒng)特性可知，其輸出信號(hào)必然收斂，阻抗模型在［0，∞）內(nèi)廣義積分被積函數(shù)必然衰減，這為大宗量區(qū)間內(nèi)被積函數(shù)的逼近提供了可能，函數(shù)的衰減特性導(dǎo)致大宗量區(qū)間內(nèi)的積分量占積分總量較少。圖2所示為阻抗Zd、Λ的被積函數(shù)在有限區(qū)間內(nèi)的分布情況。

由圖2可知， Zd的被積函數(shù)呈震蕩衰減的趨勢(shì)，Λ的被積函數(shù)的實(shí)部、虛部均呈快速衰減的趨勢(shì)，其值在λ＞4時(shí)基本趨于0。阻抗模型的被積函數(shù)變化趨勢(shì)為分治算法提供了可行性，亦為分治算法中分治點(diǎn)的起點(diǎn)提供一個(gè)大致范圍，如λZd≥10，λΛ≥4。為獲得誤差小的漸近貝塞爾函數(shù)分治起點(diǎn)，結(jié)合文獻(xiàn)［16］，修正貝塞爾函數(shù)漸近曲線的誤差為：

式中，α為修正貝塞爾函數(shù)的階數(shù)；λ為分治點(diǎn)。由式（15）可知λ值越大，修正貝塞爾函數(shù)的漸近誤差越小，Melin-Barnes數(shù)值法的逼近度越高，但是會(huì)增加數(shù)值計(jì)算量。

圖2 渦流阻抗模型的被積函數(shù)分布

分治點(diǎn)的選取通過(guò)觀察函數(shù)計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定度并進(jìn)一步確定阻抗模型數(shù)值結(jié)果的準(zhǔn)確度為原則。結(jié)合圖2和式（15）就可為分治算法提供誤差小，數(shù)值大小合適的分治點(diǎn)。

2.3 分治法解渦流阻抗模型

在阻抗模型中，物理參數(shù)滿足如下關(guān)系式，0

實(shí)際測(cè)量中通常取 a=b，而a＞b和a＜b情況下的阻抗函數(shù)衰減速度均大于 a=b情況下函數(shù)的衰減速度。因此，若該方法對(duì) a=b的情況適用，那么對(duì)a＞b或a＜b也適用。在式（3）中，選取分治點(diǎn) λ0分治積分區(qū)間，在大宗量區(qū)間進(jìn)行漸近性分析，將式（9）、式（10）、式（13）、式（14）代入式（3）的被積函數(shù)，當(dāng)xa=xb≥λ0，a=b＜c時(shí)，有：

所以，式（3）可化為：

同理，在式（4）中選取分治點(diǎn) λ1，在大宗量區(qū)間進(jìn)行漸近分析。當(dāng)1xaλ≥時(shí)，有：

將式（18）代入式（4），得：

由式（1）、式（2）可知，dx表示磁位量 A（r， z；r′， z′）在介質(zhì)傳播點(diǎn)x的微積分， x3可由式（8）化簡(jiǎn)。式（17）所示的積分式在數(shù)值計(jì)算軟件中可直接采用函數(shù)命令調(diào)用的方式得到數(shù)值結(jié)果。而式（19）在積分區(qū)間［0，λ1/a］的表達(dá)式仍很難直接函數(shù)調(diào)用得到積分結(jié)果。由圖2可知，Λ的被積函數(shù)衰減很快，故在［0，λ1/a］分治區(qū)間內(nèi)，可用積分定義將式（19）變化為：

式（20）中，在分治區(qū)間［0，λ1/a］中累加和的步進(jìn)xΔ在一定程度上影響結(jié)果的精度，本文選取Δx=0.005，以保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。利用MATLAB軟件函數(shù)庫(kù)及高效的數(shù)值計(jì)算和符號(hào)計(jì)算功能，對(duì)于可直接計(jì)算的貝塞爾函數(shù)數(shù)值積分，采用函數(shù)命令調(diào)用的形式實(shí)現(xiàn)，如式（17）。對(duì)于難于積分的復(fù)雜貝塞爾函數(shù)形式，采用積分定義的方法積分，如式（19）在［0，λ1/a］的積分。計(jì)算中，約定在計(jì)算量和計(jì)算結(jié)果精度滿足要求前提下，當(dāng)3次結(jié)果相對(duì)誤差低于0.5%時(shí)，即采用第2次的計(jì)算結(jié)果，其對(duì)應(yīng)的截?cái)帱c(diǎn)λ判為合適。算法過(guò)程如下：

1） 參數(shù)初始化。包括：c ＞ a = b ＞ 0，ω ＞ 0，μ0＞ 0，σ3＞0,ε3＞0,λ=1,λstep=2,x=0，xstep=0.005等。

2） 若x≤λ / a ，λ=λ+λstep

3 結(jié)果驗(yàn)證

為了驗(yàn)證分治法解析阻抗模型的正確性，選取合適的管道參數(shù)值，進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。依實(shí)際情況取參數(shù)：a=b=0.018 9 m，s=0.063 5m，c=0.067 2 m ，f =20kHz ，μ0=4π ×10-7H/m，μ3=80×4π ×10-7H/m，σ3=5.95×106S/m。根據(jù)圖2和式（15）?。害?≥10， λ1≥4 。由分治點(diǎn)λ與參量的關(guān)系式可知，在大宗量區(qū)域：λ≤xa。應(yīng)用分治法計(jì)算Zd和Λ的數(shù)值結(jié)果如表1、表2所示。

表1 λ0不同時(shí)　Zd的值

表2 λ1不同時(shí)Λ的值

由表1、表2可知，在分治點(diǎn)較小時(shí)（如 λ0=1，λ1=1時(shí)）Zd與Λ的分治結(jié)果與后面穩(wěn)定的分治結(jié)果有一定的差距，正如前文分析，高精度的貝塞爾逼近函數(shù)須在大宗量區(qū)間引入，即分治點(diǎn)較大時(shí)引入。當(dāng)分治點(diǎn)較小時(shí)引入，會(huì)造成分治結(jié)果不正確。而在 λ0≥10和 λ1≥4的范圍，Zd與Λ的分治結(jié)果基本趨于穩(wěn)定，其值的穩(wěn)定性體現(xiàn)了應(yīng)用分治法解阻抗模型的正確性。由表1可知 λ0=15作為Zd的分治點(diǎn)；由表2知 λ1=5作為Λ的分治點(diǎn)最合適，既減小了計(jì)算量，又保證了結(jié)果值的準(zhǔn)確度。為了體現(xiàn)分治點(diǎn)對(duì)積分結(jié)果的影響（因?yàn)樵?λ0≥10的范圍， Zd的值趨于穩(wěn)定，呈現(xiàn)水平的特性，所以分治點(diǎn)對(duì)分治結(jié)果的影響主要體現(xiàn)在0≤λ0≤10范圍內(nèi)），選取 Zd～λ0（λ0≤12）繪圖，如圖3所示。

由圖3可知，分治點(diǎn)值越大，Zd積分結(jié)果越穩(wěn)定。在分治點(diǎn) λ0≤8的區(qū)域內(nèi)，其對(duì)Zd積分結(jié)果影響很大， λ0越小，影響效果越大。表1、表2和圖3的積分結(jié)果的準(zhǔn)確性是通過(guò)積分結(jié)果漸近誤差的連續(xù)穩(wěn)定性來(lái)保證的，即

圖3 Zd積分值與分治點(diǎn)取值關(guān)系

為了更好地驗(yàn)證分治法解阻抗模型的正確性，本文通過(guò)實(shí)際管道阻抗檢測(cè)值來(lái)驗(yàn)證其一致性。

對(duì)于式（7）所示的算子，在電磁渦流近場(chǎng)的阻抗模型中反映了管道帶來(lái)的耦合影響，對(duì)其可做如下變形，以獲得更加簡(jiǎn)潔的表述：

式中，

首先，運(yùn)用分治法計(jì)算獲得式（3）、式（4）的L值，再通過(guò)管道測(cè)試試驗(yàn)，獲得實(shí)際渦流阻抗的L值，將上述結(jié)果與去耦度ζ做變化曲線進(jìn)行比較，曲線如圖4所示。圖4從電學(xué)試驗(yàn)角度展示了分治算法解阻抗模型的可行性和正確性。由圖4可知運(yùn)用分治算法解電磁渦流近場(chǎng)阻抗模型的結(jié)果與實(shí)際物理檢測(cè)值具有很好的一致性（個(gè)別實(shí)測(cè)異常點(diǎn)除外，如2c=0.153 7 m，ζ=13.1579時(shí)）。另外，由于分治算法的快速、資源占用少的特點(diǎn)，其在解阻抗模型中更具有可操作性。

圖4 分治法L值與實(shí)測(cè)L值比較圖

4 結(jié) 論

通過(guò)對(duì)鐵磁性管道近場(chǎng)渦流傳輸阻抗模型的分析，利用分治法將該阻抗模型的廣義積分區(qū)間分治為小宗量積分區(qū)間和大宗量積分區(qū)間，并在大宗量積分區(qū)間應(yīng)用貝塞爾函數(shù)的漸近性，選定漢克函數(shù)逼近簡(jiǎn)化阻抗函數(shù)，完成復(fù)雜阻抗函數(shù)的解析，同時(shí)，通過(guò)計(jì)算結(jié)果的逼近誤差穩(wěn)定性來(lái)確定結(jié)果的準(zhǔn)確性。電學(xué)對(duì)比實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明，該方法不僅可以快速有效的解析輸出，且與實(shí)際測(cè)試結(jié)果具有很好的一致性，充分證明了該方法的可行性。

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Divide-and-Conquer PAippp e rEodadchy ACpuprrlieendt tToe Ismtpedance Analysis of

WANG Zhi-gang， LUO Qing-wang， and SHI Yi-bing
（School of Automation engineering， University of Electronic Science and Technology of China Chengdu 611731）

This paper proposes a unique analytical method for eddy current impedance model of ferromagnetic pipe. Based on the asymptotic behavior of Bessel function in model under bulk quantity occasion，the method exploits the divide-and-conquer approach in the generalized integral interval to simplify model calculation. The calculation results of the model are compared with the results of practical pipe eddy current test，verifying the correctness and feasibility of calculation on the divide-and-conquer approach. The analytical method has the advantages of conciseness and high precision for impedance model applications under cylindrical coordinate systems.

Bessel function； bulk quantity； divide-and-conquer approach； impedance model；numerical analysis

TE1

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2016.02.011

2014 - 07 - 21；

2015 - 11 - 25

“十二五”國(guó)家科技重大專項(xiàng)（2011ZX05020-006-005）

王志剛（1967 - ），男，副教授，主要從事檢測(cè)技術(shù)方面的研究.