四旋翼飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)的反饋線性化方法研究

國(guó)網(wǎng)亳州供電公司 張博博

深圳市計(jì)量質(zhì)量檢測(cè)研究院 肖 勇

國(guó)網(wǎng)亳州供電公司 胡 帆

四旋翼飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)的反饋線性化方法研究

國(guó)網(wǎng)亳州供電公司 張博博

深圳市計(jì)量質(zhì)量檢測(cè)研究院 肖 勇

國(guó)網(wǎng)亳州供電公司 胡 帆

四旋翼飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)是一個(gè)非線性多輸入多輸出系統(tǒng)，其核心任務(wù)是實(shí)現(xiàn)飛行器姿態(tài)平穩(wěn)控制。針對(duì)飛行器的姿態(tài)控制系統(tǒng)，采用反饋線性化方法，運(yùn)用了一種虛擬增加輸出的方式，進(jìn)行解耦控制率的求解，并將原有非線性姿態(tài)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)。為了檢驗(yàn)所述算法，通過(guò)Matlab軟件設(shè)計(jì)了跟蹤控制器和極點(diǎn)配置控制器進(jìn)行數(shù)字仿真。仿真結(jié)果表明，本文所采用的控制率求解方式正確，其姿態(tài)控制方法能夠有效地實(shí)現(xiàn)飛行器姿態(tài)角穩(wěn)定控制，并對(duì)外部擾動(dòng)有較強(qiáng)的魯棒性。

四旋翼飛行器；姿態(tài)控制；反饋線性化；解耦控制律

0　引言

四旋翼飛行器在新型材料、微慣導(dǎo)（MIMU）、微機(jī)電（MEMS）制作工藝的開(kāi)發(fā)和飛行控制方式的進(jìn)步下得到迅速發(fā)展，由于其可以執(zhí)行在復(fù)雜環(huán)境下的任務(wù)，而在民用及軍事上發(fā)揮著重要的作用。飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)是一個(gè)具有六個(gè)自由度和四個(gè)控制輸入的系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)具有多變量、非線性、欠驅(qū)動(dòng)、強(qiáng)耦合和干擾敏感的復(fù)雜系統(tǒng)，使得飛行控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)變得非常困難。因此，飛行器姿態(tài)控制問(wèn)題在理論和工程應(yīng)用上都是具有重要研究意義。

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)四旋翼飛行器姿態(tài)的控制，一般采用的是如極點(diǎn)配置、LQR、PID等控制方式。這些控制器原理簡(jiǎn)單、算法成熟，但必須基于精確的系統(tǒng)模型進(jìn)行設(shè)計(jì)。當(dāng)控制對(duì)象為飛行器姿態(tài)控制等非線性復(fù)雜系統(tǒng)時(shí)，需要將非線性數(shù)學(xué)模型在平衡點(diǎn)處進(jìn)行線性化得到飛行器的狀態(tài)和輸出方程，此時(shí)如果系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)或者外部環(huán)境參數(shù)的復(fù)雜化，如執(zhí)行任務(wù)角度過(guò)大將會(huì)引起與控制模型間的失配，影響控制效果和精度。

本文以四旋翼飛行器姿態(tài)控制問(wèn)題為應(yīng)用背景，本文采用反饋線性化方法，將非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性通過(guò)代數(shù)變換成線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，從而可以應(yīng)用熟知的線性控制方法。與其它線性控制器不同，這種方法必須進(jìn)行嚴(yán)格地狀態(tài)變換與反饋來(lái)實(shí)現(xiàn)，而不是借助于動(dòng)態(tài)特性的線性近似。最后，通過(guò)Matlab仿真軟件設(shè)計(jì)了跟蹤控制器和極點(diǎn)配置控制器，驗(yàn)證了姿態(tài)控制系統(tǒng)的控制效果及其可行性。

1　四旋翼飛行器動(dòng)力學(xué)建模

以固高科技公司生產(chǎn)的四旋翼飛行器進(jìn)行姿態(tài)控制動(dòng)力學(xué)模型設(shè)計(jì)，其物理結(jié)構(gòu)如圖1所示。

為了便于飛行器動(dòng)力學(xué)分析及建模，文中對(duì)控制對(duì)象做出以下假設(shè)：

（1）假設(shè)系統(tǒng)為剛體，左右部分完全對(duì)稱(chēng)，質(zhì)心在幾何中心O；

（2）忽略伺服電機(jī)達(dá)到給定轉(zhuǎn)速的時(shí)間；

（3）假設(shè)螺旋槳在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中固定不可形變。

圖1　四旋翼飛行器物理結(jié)構(gòu)圖

針對(duì)飛行器所受關(guān)鍵力和力矩，忽略系統(tǒng)的摩擦力、電機(jī)阻尼轉(zhuǎn)矩，其運(yùn)動(dòng)方程可以根據(jù)牛頓-歐拉方程建立，得出四旋翼飛行器非線性動(dòng)力學(xué)模型如下：

式中：

其中，左右側(cè)電機(jī)于X軸之間的夾角為60°，L為支撐點(diǎn)O到各個(gè)旋翼的長(zhǎng)度。vf、Ff為前向電機(jī)電壓及產(chǎn)生的升力，vl、Fl為左側(cè)電機(jī)電壓及產(chǎn)生的升力，vr、Fr為右側(cè)電機(jī)電壓及產(chǎn)生的升力，vs、Fs為尾部電機(jī)電壓及產(chǎn)生的力，Jθ、Jδ、Jφ分別為三個(gè)姿態(tài)角的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，k為電壓升力比。

俯仰角θ：飛行器與OXY平面的夾角；

橫滾角δ：飛行器與OYZ平面的夾角；

偏航角φ：飛行器與OXZ平面的夾角；

聯(lián)立式（1），式（2）整理得到微分方程組如式（3）：

2　飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)反饋線性化

2.1飛行器姿態(tài)控制非線性系統(tǒng)

多輸入多輸出非線性系統(tǒng)具有下列形式：

式中x為n×1的狀態(tài)矢量，u為m×1的輸入矢量（分量為ui），y為m×1的輸出矢量（分量為yi），f與g為兩個(gè)平滑矢量場(chǎng)，G為n×m矩陣，其列為矢量場(chǎng)gi。

令式（3）中：

則：

假定ri是使至少一個(gè)輸入在中出現(xiàn)的最小整數(shù)，則：

2.2反饋線性化

由式（6）可以得到：

由于四旋翼飛行器姿態(tài)控制為四輸入三輸出非線性系統(tǒng)，即實(shí)際只有三個(gè)姿態(tài)角輸出指標(biāo)，此時(shí)解耦矩陣E（x）不可逆，我們將不能求解解耦控制律。為此重新定義系統(tǒng)輸出為三個(gè)姿態(tài)角并虛擬增加了一個(gè)高度h。

令s為極小，則：

此時(shí)：

其中：

則輸入變換：

其中：

由于s為極小，故可以舍去式（8）中第一列和虛擬增加的高度h，則解耦控制律為：

其中等效輸入：

因?yàn)橄到y(tǒng)是可狀態(tài)反饋線性化的，根據(jù)反饋線性化原理可知，存在一個(gè)微分同胚φ:Rn→R，以及一個(gè)如式（9）所示的解耦控制律，使得它的新輸入及新的狀態(tài)變量滿足線性定常關(guān)系：

其中：

3　反饋線性化控制器設(shè)計(jì)

3.1跟蹤控制器

經(jīng)過(guò)反饋線性化后，原有的四旋翼飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)被轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)。我們通過(guò)對(duì)線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)跟蹤控制器，目標(biāo)是為了使輸出跟蹤期望軌跡，同時(shí)保持所有狀態(tài)是有界的，其中期望軌跡及其足夠高階的時(shí)間導(dǎo)數(shù)都假定為已知且有界。

由式（9）可知，解耦控制律抵消了式（4）的非線性部分，從而得到了一個(gè)輸出與新輸入之間的簡(jiǎn)單關(guān)系：

3.2極點(diǎn)配置控制器

我們針對(duì)反饋線性化后的系統(tǒng) （11） ，由于n維多輸入系統(tǒng)能實(shí)現(xiàn)任意極點(diǎn)配置的充分必要條件是被控系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控。

計(jì)算可知：

即系統(tǒng)完全能控，我們根據(jù)兩個(gè)時(shí)間域性能指標(biāo)：

超調(diào)量：

調(diào)節(jié)時(shí)間：

誤差范圍為5%。

可以得出四旋翼飛行器反饋線性化后的姿態(tài)控制系統(tǒng)的兩個(gè)主導(dǎo)極點(diǎn)為：

對(duì)于其他4個(gè)非主導(dǎo)極點(diǎn)，在左半s平面遠(yuǎn)離主導(dǎo)極點(diǎn)對(duì)的區(qū)域內(nèi)選取從而使指數(shù)穩(wěn)定的動(dòng)態(tài)特性，一般其區(qū)域右端離虛軸的距離至少等于主導(dǎo)極點(diǎn)對(duì)虛軸距離的3到6倍，現(xiàn)取為：

采用上述控制后，系統(tǒng)通過(guò)極點(diǎn)配置環(huán)實(shí)現(xiàn)輸入-狀態(tài)線性化，線性化環(huán)實(shí)現(xiàn)閉環(huán)動(dòng)態(tài)特性穩(wěn)定，框圖如圖2所示。

圖2　輸入-狀態(tài)線性化

表1　四旋翼飛行器物理參數(shù)

圖3　姿態(tài)角跟蹤控制曲線

圖4　極點(diǎn)配置控制器姿態(tài)仿真曲線

4　實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為驗(yàn)證本文姿態(tài)控制方法的正確性，現(xiàn)做如下仿真實(shí)驗(yàn)。其中，仿真實(shí)驗(yàn)所用四旋翼飛行器物理參數(shù)如表1所示。

考慮四旋翼飛行器的姿態(tài)角度跟蹤性能，將跟蹤控制器的控制參數(shù)設(shè)置為k1=16，k2=8，選取四旋翼飛行器的俯仰角作為跟蹤控制對(duì)象，給定曲線為正弦信號(hào)，其跟蹤曲線如圖3所示，其中，橫坐標(biāo)軸為T(mén)/s，縱坐標(biāo)軸為pitch/°。從圖3中可以看出，系統(tǒng)在跟蹤控制影響下，調(diào)節(jié)時(shí)間約為2s，其跟蹤誤差在5%以內(nèi)，體現(xiàn)了良好的控制效果及穩(wěn)態(tài)性能。

由圖4所示極點(diǎn)配置控制器姿態(tài)仿真曲線，設(shè)置各個(gè)姿態(tài)角初始值為（15，8，-6），目標(biāo)姿態(tài)角為（0，0，0），可以看出系統(tǒng)在經(jīng)過(guò)2.5s后能夠逐漸趨于穩(wěn)定，我們?cè)?s處增加了1°左右的干擾量，系統(tǒng)仍然能夠克服干擾，保持良好的穩(wěn)態(tài)特性，驗(yàn)證了本文所設(shè)計(jì)的反饋線性化極點(diǎn)配置姿態(tài)控制器良好的控制性能及對(duì)外干擾的魯棒性。

5　結(jié)語(yǔ)

針對(duì)四旋翼飛行器姿態(tài)控制，本文根據(jù)反饋線性化理論，提出一種新的解耦矩陣求解方式完成系統(tǒng)的輸入輸出及輸入狀態(tài)反饋線性化，并將反饋線性化后的系統(tǒng)通過(guò)跟蹤控制及狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置理論設(shè)計(jì)了姿態(tài)控制器，驗(yàn)證了該求解方法的有效性及控制算法的穩(wěn)定性和魯棒性。

［1］OLFATI-SABER R.Nonlinear control of underactuated mechanical systems with application to robotics and aerospace vehicles［D］. MIT，2001.

［2］柯藝杰，周江華，王生.四旋翼無(wú)人機(jī)反饋線性化多指標(biāo)控制設(shè)計(jì)［J］.飛行力學(xué)，2013，31（6）：516-520.

［3］程英容，張奕群.基于四元數(shù)反饋線性化的飛行器姿態(tài)控制方法研究［J］.航天控制，2007，25（5）：13-16.

［4］姚郁，賀風(fēng)華.非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)——微分幾何、自適應(yīng)及魯棒控制［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2006.

［5］Erginer B，Erdinc A.Design and implementation of a hybrid fuzzy logic controller for a quadrotor VTOL vehicle［J］.International Journal of Control，Automation and Systems，2012，10（1）：61-70.

［6］Guiberme V ，Manuel G，F(xiàn)rancisco R.An integral predictive/ nonlinear H∞Hcontrol structure for a quadrotor helicopter［J］. Automatica，2010，46（1）：29-39.

［7］閆超勤，徐文龍，王效杰.非線性反饋線性化方法在輪式移動(dòng)機(jī)器人的應(yīng)用［J］.電子科技，2005，1：2-5.

［8］王正林，王勝開(kāi)，陳國(guó)順.Matlab/Simulink與控制系統(tǒng)仿真［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2005.

［9］王慶林.非線性控制理論過(guò)基礎(chǔ)［M］.北京：北京理工大學(xué)出版社，2002.

［10］固高公司.固高教學(xué)產(chǎn)品 M at lab 實(shí)時(shí)控制軟件使用手冊(cè)［M］.深圳：固高公司，2004.

張博博（1989—），男，河南三門(mén)峽人，碩士，現(xiàn)供職于國(guó)網(wǎng)亳州供電公司，研究方向：智能電網(wǎng)技術(shù)。

肖勇（1992—），男，廣東梅州人，碩士，現(xiàn)供職于深圳市計(jì)量質(zhì)量檢測(cè)研究院，研究方向：控制科學(xué)與控制工程。

胡帆（1989—），男，湖北咸寧人，學(xué)士，現(xiàn)供職于國(guó)網(wǎng)亳州供電公司，研究方向：電氣工程及其自動(dòng)化。