趙麗潔, 杜永峰,2, 李萬潤(rùn),2, 朱前坤,2

(1.蘭州理工大學(xué)防震減災(zāi)研究所,甘肅 蘭州 730050;2.蘭州理工大學(xué)西部土木工程防災(zāi)減災(zāi)教育部工程研究中心,甘肅 蘭州 730050)

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小波多分辨率分析時(shí)變系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別算法的魯棒性研究

趙麗潔1, 杜永峰1,2, 李萬潤(rùn)1,2, 朱前坤1,2

(1.蘭州理工大學(xué)防震減災(zāi)研究所,甘肅 蘭州 730050;2.蘭州理工大學(xué)西部土木工程防災(zāi)減災(zāi)教育部工程研究中心,甘肅 蘭州 730050)

針對(duì)多自由度時(shí)變系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別問題,基于Daubechies小波多分辨率展開的時(shí)變參數(shù)辨識(shí)方法分析影響參數(shù)識(shí)別魯棒性的各個(gè)因素。通過數(shù)值分析針對(duì)突變、線性慢變以及諧波快變的時(shí)變參數(shù)進(jìn)行識(shí)別,研究結(jié)果表明:當(dāng)基函數(shù)dbN一定時(shí),在預(yù)先確立的分解尺度范圍內(nèi),識(shí)別精度隨分解尺度的增加而增加;待識(shí)別參數(shù)的頻率特性對(duì)分解尺度的選擇有很大影響,快時(shí)變參數(shù)比慢時(shí)變參數(shù)對(duì)分解尺度更為敏感;基函數(shù)dbN并不是影響識(shí)別精度的主要因素;在分解尺度相同的情況下,可以通過提高采樣頻率增加快時(shí)變參數(shù)識(shí)別精度。

時(shí)變系統(tǒng); 參數(shù)識(shí)別; 小波多分辨率分析; 最優(yōu)分解尺度; 算法魯棒性

0 引言

時(shí)變參數(shù)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題,無論是正問題還是反問題一直都是研究的重要科學(xué)問題,也是實(shí)際工程問題中必須解決的關(guān)鍵問題[1]。隨著工程科學(xué)朝高速、高精度及智能化方向發(fā)展,工程結(jié)構(gòu)參數(shù)時(shí)域變化特點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響逐漸增大[2]。實(shí)際工程結(jié)構(gòu)在服役期限內(nèi)受到工作荷載或極端荷載作用時(shí),其損傷不可避免且不斷累積,本質(zhì)上屬于時(shí)變和非線性的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)[3-4]。時(shí)變物理參數(shù)的識(shí)別屬于力學(xué)反問題研究范疇,時(shí)變參數(shù)識(shí)別問題主要是借鑒了控制理論、系統(tǒng)工程以及信號(hào)處理等領(lǐng)域的研究成果,逐漸形成各類方法的識(shí)別體系。研究人員一般從以下三種思路去考慮:一類是基于在線或遞推技術(shù)的研究方法,常采用最小二乘類估計(jì)算法以及各種卡爾曼類估計(jì)算法,在此基礎(chǔ)上引入常遺忘因子、變遺忘因子以及各種自適應(yīng)因子矩陣來增強(qiáng)識(shí)別時(shí)變參數(shù)的時(shí)域跟蹤能力[5-6];一類是子空間類方法,先后發(fā)展了基于集總數(shù)據(jù)的子空間方法和遞推子空間方法,基本思想是通過跟蹤系統(tǒng)矩陣的特征子空間來識(shí)別系統(tǒng)的時(shí)變參數(shù)[7];一類是基于信號(hào)的時(shí)頻分析技術(shù),從信號(hào)處理技術(shù)角度考慮,主要有HHT和小波變換等方法[8-11]。由于時(shí)變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)響應(yīng)信號(hào)表現(xiàn)出非穩(wěn)態(tài)特性,HHT和小波變換在處理非線性、非平穩(wěn)信號(hào)方面具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。小波變換通過伸縮平移能夠分析任意頻率范圍內(nèi)的信號(hào),具有良好的捕捉信號(hào)全局以及局部特性的能力。本文主要針對(duì)小波識(shí)別方法,即將每一個(gè)待識(shí)別參數(shù)在小波尺度函數(shù)上和小波函數(shù)上進(jìn)行多分辨率展開,將時(shí)變系數(shù)轉(zhuǎn)化成采用一系列小波系數(shù)表達(dá)的時(shí)不變系數(shù)的辨識(shí)問題[12]。

小波函數(shù)相比諧波、多項(xiàng)式等基函數(shù)更適于描述某些具有快變特征的參數(shù)。根據(jù)以上研究成果分析可知,基于小波理論對(duì)時(shí)變參數(shù)辨識(shí)逐漸形成基本理論體系。識(shí)別算法的魯棒性是將其應(yīng)用于實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行系統(tǒng)識(shí)別的關(guān)鍵[13],但針對(duì)小波識(shí)別方法中影響參數(shù)識(shí)別魯棒性的各個(gè)因素,如分解尺度的選擇、小波基函數(shù)選擇、抗噪聲干擾能力,以及如何提高辨識(shí)精度等關(guān)鍵問題卻鮮有報(bào)道。本文在已有研究的基礎(chǔ)上,在Matlab環(huán)境下通過數(shù)值分析,針對(duì)突變、線性慢變以及諧波快變參數(shù)進(jìn)行識(shí)別,為該識(shí)別方法在參數(shù)選取上給出一個(gè)定量、定性的評(píng)判規(guī)則,以期為應(yīng)用于工程實(shí)際做出一些理論指導(dǎo)。

1 理論背景

1.1 Daubechies小波

Daubechies小波是法國(guó)學(xué)者Ingrid Daubechies提出構(gòu)造的一系列二進(jìn)制小波函數(shù)的總稱,簡(jiǎn)寫成dbN,N是小波的階數(shù)。小波函數(shù)φ(t)和相應(yīng)的尺度函數(shù)φ(t)的支撐區(qū)為2N-1,φ(t)的消失矩為N。dbN時(shí)域上是有限支撐的,即φ(t)長(zhǎng)度有限,其高階原點(diǎn)矩∫tpφ(t)dt=0,p=0～N;N值愈大,φ(t)的長(zhǎng)度就越長(zhǎng);在頻域上Ψ(ω),在ω=0處有N階零點(diǎn);φ(t)和它的整數(shù)位移正交歸一,∫φ(t)φ(t-k)dt=δk;dbN小波具有較好的正則性,其中消失矩越高光滑性就越好,頻域的局部化能力就越強(qiáng),頻帶的劃分效果越好。正是由于具有以上特點(diǎn),Daubechies小波被Mallat應(yīng)用到多分辨率分析框架體系中。dbN小波不具有對(duì)稱性,且沒有明確的解析表達(dá)式。圖1為N=3、4時(shí)的db3小波函數(shù)與db4小波函數(shù)及對(duì)應(yīng)的尺度函數(shù)曲線

1.2 小波多分辨率分析(WMRA)

基于Mallat多分辨率分析思想,把平方可積的函數(shù)f(t)∈L2(R)看成是某一逐級(jí)逼近的極限情況,也就是用不同分辨率基函數(shù)逐級(jí)逼近待分析函數(shù)f(t)[14]。

…,V0=V1⊕W1, V1=V2⊕W2, …, Vj=

Vj+1⊕Wj+1,…,

式中:Vj為尺度空間;Wj為小波空間;j∈Z,且j是從-∞到+∞的整數(shù),j值愈大空間愈大。

對(duì)于一個(gè)能量有限且隨時(shí)間變化的時(shí)間序列f(t),通過小波多分辨率可以近似表示為[14]:

(n=0,1,…,Nt-1)

(1)

圖1 不同小波基函數(shù)Fig.1 Different wavelet basis function

其中:φj0,k(2j0t-k)和φj,k(2jt-k)分別是尺度函數(shù)φ(t)和母小波函數(shù)φ(t)的平移和伸縮的函數(shù)簇;cj0,k和dj,k分別是在尺度j0和j上的展開系數(shù)。式(1)中第一項(xiàng)給出了f(t)的低頻分量或近似表達(dá);第二項(xiàng)給出了對(duì)于不同分辨率尺度j的高頻分量或細(xì)節(jié)表達(dá)。在式(1)中,確定對(duì)于不同分解尺度上展開系數(shù)cj0,k、dj,k取值個(gè)數(shù),首先確定k0,Kj的取值范圍,其與點(diǎn)數(shù)Nt、尺度函數(shù)支撐長(zhǎng)度有關(guān)。消失矩為N尺度函數(shù)φ(t),φj,k(t)=2j/2φ(2jt-k)的支撐長(zhǎng)度為[2-jk,2-j(k+2N-1)]。為保證平移伸縮之后φi,k(t)能夠完全覆蓋整個(gè)信號(hào)的長(zhǎng)度,應(yīng)保證最后一個(gè)基函數(shù)的初始時(shí)間大于信號(hào)的終止時(shí)間,且第一個(gè)基函數(shù)的終止時(shí)間小于信號(hào)的開始時(shí)刻。根據(jù)這個(gè)原則,k的取值范圍應(yīng)為k0=2-2N,Kj0=0,Kj=int(2jNt)-1。式(1)的離散形式矩陣表達(dá)式為:

F≈W(J)ξ(J)

(2)

2 識(shí)別方法

考慮一個(gè)多自由度體系的時(shí)變運(yùn)動(dòng)方程:

(3)

(4)式中:θ(t)為結(jié)構(gòu)時(shí)變參數(shù)向量表達(dá)形式;恢復(fù)力向量R表達(dá)形式為R=[r1-r2,r2-r3,…,ri-ri+1,…,rn-1-rn]

(5)式中:ri(t)為i-1與i層之間的的恢復(fù)力,具體可以表達(dá)為:

(6)

R(t)=τ(t)θ(t)

(7)

由式(4)、(7)推知得:

(8)

y(t)=R(t)+e(t)=τ(t)θ(t)+e(t)

(9)

e(t)為測(cè)量噪聲,寫成矩陣的形式:

Y=ΓΘ+ε

(10)

式(10)可以看作一元線性回歸模型。其中,測(cè)量輸出向量Y=[Y1,Y2,…,Yn]T,而

Θ=[Θ1,Θ2,…,Θn]T;

Θi=[θi(0),θi(1),…,θi(Nt-1)]T

i從1到n,E為響應(yīng)的測(cè)量噪聲向量。根據(jù)多分辨率建模的思想,將時(shí)變參數(shù)矩陣Θ采用小波多分辨率展開寫成矩陣形式:

Θ≈WΞ

(11)

W=diag[w1,w2,…,wn]是相應(yīng)的小波展開的重構(gòu)矩陣。ξi,wi分別為第i層時(shí)變參數(shù)的小波展開系數(shù)向量和小波基函數(shù)重構(gòu)矩陣。將式(11)代入式(10)可以得到

Y=QΞ+ε

(12)

其中:Q=ΓW包含結(jié)構(gòu)響應(yīng)Γ和在不同分辨率下小波函數(shù)的采樣值W。由式(12)可知,小波系數(shù)展開Ξ可以通過線性最小二乘偽逆解得到。

Ξ≈Q+Y

(13)

其中:Q+表示Q的偽逆,將Ξ回代到式(11)得到結(jié)構(gòu)的時(shí)變物理參數(shù)。因此,采用多分辨率分析可以將結(jié)構(gòu)的時(shí)變參數(shù)識(shí)別問題轉(zhuǎn)化為一元回歸模型中的時(shí)不變小波系數(shù)ξc、ξd的辨識(shí)問題。

3 數(shù)值分析

如圖2所示,一個(gè)兩自由度彈簧-質(zhì)量-阻尼體系,M1=1 kg,M2=1 kg,k1=4 000 N/m,k2=4 000 N/m,c1=0.8 N·s/m,c2=0.8 N·s/m,假設(shè)振動(dòng)過程中質(zhì)量保持不變,分別考慮各參數(shù)線性慢變、突變工況來模擬參數(shù)變化,第一層結(jié)構(gòu)的剛度參數(shù)k1在3 ～8 s退化25%;相對(duì)應(yīng)的阻尼參數(shù)c1分別在3～8 s增加25%;k2、c2在10 s時(shí)相應(yīng)退化了12.5%、25%。采樣頻率fs=50 Hz,點(diǎn)數(shù)Nt=1 001,以高斯白噪聲作為輸入激勵(lì),采用四階Runge-Kutta法對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行迭代響應(yīng)求解。為討論不同因素對(duì)參數(shù)識(shí)別精度的影響,定義參數(shù)識(shí)別的平均絕對(duì)誤差:

(14)

圖2 兩自由度彈簧-質(zhì)量-阻尼體系模型Fig.2 A 2DOF spring-mass-damping model

3.1 分解尺度的選取

根據(jù)識(shí)別原理,對(duì)待時(shí)變參數(shù)進(jìn)行小波展開之前,首先確定分解層數(shù)的選取范圍[Pmin,Pmax]。長(zhǎng)度為Nt的信號(hào),由小波分解理論可知,P=log2Nt為信號(hào)的完全分解層數(shù)。由式(13)使方程有最小二乘偽逆解的最大的小波重構(gòu)層數(shù)Pmin為

Pmin=ceil(1+lnq)

(15)

式中:q為每層識(shí)別參數(shù)的個(gè)數(shù)。對(duì)于Pmax的選擇,參考文獻(xiàn)[15]有:

(16)

圖3為不同分解尺度下剛度、阻尼識(shí)別值與理論值的識(shí)別效果圖,在預(yù)先確立的分解尺度范圍內(nèi)都能夠準(zhǔn)確地跟蹤參數(shù)的變化趨勢(shì)。由圖4可知:(1)不管是阻尼時(shí)變參數(shù)還是剛度時(shí)變參數(shù),相對(duì)誤差均隨分解尺度的增加而降低,識(shí)別精度越來越高。當(dāng)分解尺度增加到一定程度時(shí),反而MAPE增加,對(duì)于阻尼參數(shù)來說小波系數(shù)太多可能導(dǎo)致信號(hào)的過度擬合現(xiàn)象,阻尼識(shí)別時(shí)會(huì)出現(xiàn)震蕩。(2)圖4(a)中剛度的識(shí)別精度要比圖4(b)阻尼的識(shí)別精度高,由于阻尼和剛度相差幾個(gè)數(shù)量級(jí),同時(shí)識(shí)別阻尼的精度稍差一些。(3)線性慢時(shí)變參數(shù)工況比突變工況時(shí)變精度高,突變參數(shù)相對(duì)于線性慢變參數(shù)對(duì)分解尺度的選擇更加敏感。慢時(shí)變參數(shù)對(duì)分解尺度的選擇范圍更廣,如圖4(a)、(b)中所示J=-3～-7均能滿足精度要求。通過大量的試算發(fā)現(xiàn),待時(shí)變參數(shù)的頻率特性對(duì)分解尺度的選擇有很大的影響。

圖3 不同分解尺度時(shí)變參數(shù)識(shí)別值與理論比較Fig.3 Comparison between identified values and theoretical values of time-varying parameters in different decomposition scales

圖4 不同分解尺度下識(shí)別結(jié)果MAPE值Fig.4 MAPE of identification results in different decomposition scales

3.2 驗(yàn)證對(duì)噪聲的敏感性

考慮到實(shí)際測(cè)量過程中輸出響應(yīng)不可避免地存在噪聲影響,為驗(yàn)證該方法對(duì)噪聲的抗干擾能力,以第一層的時(shí)變參數(shù)k1(t),c1(t)為研究對(duì)象,分別向輸出響應(yīng)數(shù)據(jù)中添加不同信噪比的高斯白噪聲模擬實(shí)測(cè)響應(yīng)。高斯白噪聲的特點(diǎn)是其頻率成分均勻分布在每一個(gè)頻段,因此每個(gè)展開小波系數(shù)中不僅攜帶了有用頻率信息,而且攜帶了噪聲頻率信息。為了消除噪聲的干擾,在保證時(shí)變參數(shù)的頻段范圍保留的情況下,盡可能用少的系數(shù)去表達(dá)重構(gòu)時(shí)變參數(shù),因此采用J=-5分解尺度來討論其抗噪性能。

圖5 不同信噪比的識(shí)別誤差Fig.5 Error of identification results with different SNR

圖5所示，隨著SNR的減少識(shí)別誤差越來越大。相對(duì)于阻尼來說,剛度的識(shí)別抗干擾能力更強(qiáng)一些,阻尼本身識(shí)別能力就稍差一些,再加之噪聲的影響,掩蓋了真實(shí)的阻尼值。如表1所列,當(dāng)SNR=50dB時(shí),阻尼的識(shí)別誤差只能控制在10%以內(nèi);剛度的識(shí)別精度非常高,當(dāng)SNR=30dB,誤差仍然在1%以內(nèi)。由此說明,在未經(jīng)過任何去噪處理的情況下,采用該方法時(shí)時(shí)變剛度參數(shù)的抗噪性能很好,而時(shí)變阻尼參數(shù)對(duì)噪聲很敏感,識(shí)別效果較差。這是由于在一般的實(shí)際工程中,剛度遠(yuǎn)大于阻尼,剛度變化時(shí)的高頻能量泄露及噪聲導(dǎo)致的剛度引起的恢復(fù)力的變化比阻尼突變時(shí)高頻能量泄露及噪聲引起的阻尼力變化要大,因此時(shí)變剛度識(shí)別的相對(duì)誤差要比時(shí)變阻尼的相對(duì)誤差要小的多。

表1 不同信噪比的識(shí)別MAPE值

3.3 dbN基函數(shù)的選取

1.1節(jié)中討論的Daubechies系列小波基具有緊支撐、正交歸一以及較好的正則性等優(yōu)點(diǎn),不同的N值對(duì)應(yīng)不同dbN系列的小波基函數(shù)。以下討論階數(shù)基函數(shù)的選取、分解尺度與階數(shù)N對(duì)識(shí)別精度的關(guān)系。

從圖6中可以看出,當(dāng)固定某一分解尺度時(shí),不同階數(shù)的小波識(shí)別精度有一定的影響,但影響不是很大。J=-6～-3的大部分的尺度范圍內(nèi),阻尼識(shí)別相對(duì)誤差值幾乎都集中在0～0.005[圖6(a)],識(shí)別精度相差不大,而剛度的識(shí)別誤差更是如此,如圖(b)所示;分解尺度與階數(shù)N的存在一定聯(lián)系,為了保證識(shí)別精度,N的階數(shù)可以選擇的較小一些或當(dāng)分解尺度較小時(shí),可以采用較高的階數(shù)N。另外,小波基函數(shù)的選擇并不是影響識(shí)別精度的主要因素,不同dbN仍然遵循隨著分解尺度的增加識(shí)別精度越來越高的整體趨勢(shì)。

3.4 采樣頻率的影響

圖6 識(shí)別誤差與不同分解尺度、不同dbN之間的關(guān)系Fig.6 Error of identification results with different J and dbN

由1.2節(jié)小波多分辨率分析理論和分解尺度的選取原則式(16)、(17)可知,分解層數(shù)p確定時(shí)(即分解尺度J確定),小于p層的小波系數(shù)將被忽略,剩下部分系數(shù)重構(gòu)得到信號(hào)的最高頻率為:

(17)其中:fmax為原時(shí)變參數(shù)的最高頻率。在分解層數(shù)p確定時(shí),如果時(shí)變參數(shù)的頻率成分相對(duì)較高,可以通過提高采樣頻率來彌補(bǔ)小于p層被忽略的小波系數(shù)所占的高頻成分,以提高時(shí)變參數(shù)的識(shí)別精度。如算例1所示,第二層的k2(t)為:

其余參數(shù)同算例1相同,假設(shè)都采用相同的分解尺度J=-6,采樣頻率fs分別為25 Hz、50 Hz時(shí)進(jìn)行識(shí)別。

由圖7可知,當(dāng)采樣頻率fs=25 Hz,采用J=-6進(jìn)行分解時(shí),根據(jù)多分辨率分析理論,包含0.39～12.5的頻段范圍內(nèi)的信息的小波系數(shù)被忽略,k2(t)中諧波震蕩的0.5 Hz高頻成分并沒有識(shí)別出來;當(dāng)fs=50 Hz時(shí),包含0.78～12.5頻率成分小波系數(shù)被忽略,去掉該部分系數(shù)并不影響參數(shù)的識(shí)別精度,0.5 Hz的頻率成分很準(zhǔn)確地識(shí)別出來,與理論值相接近。

圖7 不同采樣頻率識(shí)別k2(t)的結(jié)果Fig.7 Identification results of k2(t) at different fs

4 結(jié)論

本文通過數(shù)值分析針對(duì)突變、線性慢變以及諧波快變的時(shí)變參數(shù)進(jìn)行識(shí)別,分析了基于Daubechies小波多分辨率展開的時(shí)變參數(shù)辨識(shí)方法,以及影響參數(shù)識(shí)別魯棒性的各個(gè)因素。

(1) 在預(yù)先確立的分解尺度范圍內(nèi)都能夠準(zhǔn)確地跟蹤參數(shù)的變化趨勢(shì),識(shí)別精度隨著分解尺度的增加而增加;剛度參數(shù)的識(shí)別精度要比阻尼參數(shù)的識(shí)別精度高。

(2) 待時(shí)變參數(shù)的頻率特性對(duì)分解尺度的選擇有很大影響,線性慢時(shí)變參數(shù)工況比突變工況時(shí)變精度高,突變參數(shù)相對(duì)于線性慢變參數(shù)對(duì)分解尺度的選擇更加敏感。

(3) 在未經(jīng)過任何去噪處理的情況下,采用該方法時(shí)時(shí)變剛度參數(shù)的抗噪性能很好,而時(shí)變阻尼參數(shù)對(duì)噪聲很敏感,識(shí)別效果較差些。

(4) 對(duì)某一待識(shí)別時(shí)變參數(shù),在相同的分解尺度條件下,情況允許的條件可以提高采樣頻率以提高參數(shù)識(shí)別精度。

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Robustness of a Parametric Identification Algorithm for Time-varying Systems Based on Wavelet Multi-resolution Analysis

ZHAO Li-jie1, DU Yong-feng1,2, LI Wan-run1,2, ZHU Qian-kun1,2

(1.InstituteofEarthquakeProtectionandDisasterMitigation,LanzhouUniversityofTechnology,Lanzhou730050,Gansu,China; 2.WesternCenterofDisasterMitigationinCivilEngineeringofMinistryofEducation,LanzhouUniversityofTechnology,Lanzhou73005,Gansu,China)

Research,based on Daubechies wavelet multi-resolution analysis,was carried out to solve parameter identification problems in multiple degrees of freedom time-varying systems.In order to improve identification efficiency and accuracy,numerical experiments,based on the above method,were conducted to study the various factors that affect performance.The results show that when the basic function dbNwas fixed in the preset decomposition scale,identification accuracy increased with an increase in the decomposition scale.The frequency component of the time-varying parameters had great influence on the choice of decomposition scale,and the fast time-varying parameters were more sensitive than the slow.The choice of the basic function dbNaffects the identification accuracy,but is not a key factor; an increase in sampling rate can improve the identification accuracy of fast time-varying parameters under the same decomposition scale.

time-varying system; parameter identification; wavelet multi-resolution analysis; optimal decomposition scale; robustness

2015-06-22

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51178211,51578274);甘肅省青年科技基金計(jì)劃(148RJYA004)

趙麗潔(1988-),女,博士生,主要從事結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)研究。E-mail:ljzhaocz@126.com。

杜永峰(1962-),男,博士,教授,博導(dǎo),主要從事結(jié)構(gòu)減震控制、結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)研究。

TB12; TU352.1+2

A

1000-0844(2016)05-0720-08

10.3969/j.issn.1000-0844.2016.05.0720