劉瑞帆, 于云峰, 閆斌斌

(西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院, 陜西 西安 710072)

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基于改進(jìn)hp自適應(yīng)偽譜法的高超聲速飛行器上升段軌跡規(guī)劃

劉瑞帆, 于云峰, 閆斌斌

(西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院, 陜西 西安 710072)

針對(duì)高超聲速飛行器的上升段軌跡優(yōu)化問題,提出了一種改進(jìn)的hp自適應(yīng)Radau偽譜法。該算法將軌跡劃分為多個(gè)子區(qū)間,采用雙層優(yōu)化策略迭代調(diào)整子區(qū)間個(gè)數(shù)和區(qū)間內(nèi)的配點(diǎn)數(shù)。首先,以微分-代數(shù)約束在采樣點(diǎn)處的相對(duì)誤差作為解的誤差評(píng)估準(zhǔn)則;在需要提高精度的區(qū)間,將相對(duì)誤差作為迭代判據(jù),若通過相對(duì)誤差求得的多項(xiàng)式階數(shù)小于允許的最大階數(shù),增加區(qū)間內(nèi)的配點(diǎn)數(shù)(p法);否則,細(xì)化時(shí)間區(qū)間(h法)來提高求解精度。仿真結(jié)果表明,相較于h方法和p方法,文中的算法在求解最優(yōu)問題時(shí)配點(diǎn)總數(shù)更少,求解效率更高。

上升段;軌跡優(yōu)化;hp自適應(yīng);偽譜法；高超聲速飛行器

飛行器軌跡優(yōu)化是指在特定的約束條件下,尋找飛行器從初始點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)滿足某種性能指標(biāo)最優(yōu)的運(yùn)動(dòng)軌跡。在數(shù)學(xué)本質(zhì)上,飛行器軌跡優(yōu)化可以抽象為在包含微分方程、代數(shù)方程和不等式等約束下求解泛函極值的開環(huán)最優(yōu)控制問題。一般將軌跡優(yōu)化方法分為直接法和間接法,間接法基于Pontryagin極大值原理將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)換為Hamiltonian邊值問題(HBVP),其解的精度高,滿足一階最優(yōu)必要條件,但HBVP問題的收斂域小,需要估計(jì)協(xié)態(tài)變量的初值,且難以求解存在路徑約束的最優(yōu)控制問題[1-3];直接法無需求解最優(yōu)必要條件,而是將連續(xù)的最優(yōu)控制問題離散并參數(shù)化,用數(shù)值方法對(duì)性能指標(biāo)尋優(yōu),其解的收斂半徑大,近年來得到廣泛應(yīng)用[4-7]。作為直接法中的一個(gè)分支,全局偽譜法發(fā)展極為迅速,宗群等[7]將Gauss偽譜法與序列二次規(guī)劃算法相結(jié)合,對(duì)存在邊值及加速度約束的軌跡優(yōu)化問題進(jìn)行了求解。相比于傳統(tǒng)的間接法,全局偽譜法收斂速度快,然而在求解非光滑問題時(shí),其收斂速度變慢且無法捕捉狀態(tài)突變點(diǎn)導(dǎo)致求解精度下降,運(yùn)用效果不理想[8]。Jiang Zhao等[9]通過分段優(yōu)化以改善軌跡的非光滑特性,然而在解出最優(yōu)軌跡之前難以確定要分多少段以及在哪分段。趙吉松等[10-11]基于局部配點(diǎn)法提出自適應(yīng)網(wǎng)格細(xì)化算法,在非光滑區(qū)域加密網(wǎng)格以提高求解精度,能夠有效控制問題規(guī)模,但失去了全局快速收斂的優(yōu)勢。Darby等[12-13]首次提出hp自適應(yīng)偽譜法并將其應(yīng)用到最優(yōu)控制問題上,該方法汲取了全局偽譜法和網(wǎng)格細(xì)分法的優(yōu)點(diǎn),采用雙層優(yōu)化策略,具有更合理的配點(diǎn)分布,從而提高了算法的優(yōu)化效率。文獻(xiàn)[14-15]將hp自適應(yīng)偽譜法分別應(yīng)用于滑翔彈道快速優(yōu)化問題和再入軌跡優(yōu)化問題。

本文基于Radau偽譜法提出了一種改進(jìn)的hp自適應(yīng)偽譜法,并將該算法應(yīng)用于高超聲速飛行器的最省燃料爬升問題。結(jié)果表明，與目前已有的偽譜法相比，改進(jìn)的hp自適應(yīng)偽譜法能夠以較少的時(shí)間代價(jià)獲得較高精度的解。

1 上升段軌跡優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

高超聲速飛行器上升段軌跡優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型包括動(dòng)力學(xué)模型、推力模型和氣動(dòng)力模型,以及飛行器爬升過程中必須滿足的路徑約束條件。

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

僅考慮飛行器在縱向平面內(nèi)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng),忽略地球曲率和自轉(zhuǎn)的影響,得到高超聲速飛行器上升段的動(dòng)力學(xué)方程如下

(1)

式中,[V,θ,x,y,m]T為系統(tǒng)的狀態(tài)變量,分別表示飛行器的速度、航跡傾角、航程、飛行高度和質(zhì)量;P為發(fā)動(dòng)機(jī)推力,D為阻力,L為升力,α為攻角,Isp為燃料比沖,μ為地球引力參數(shù),Re為地球半徑。

1.2 推力模型

本文采用渦輪沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)與超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)相結(jié)合的推力模型。當(dāng)馬赫數(shù)小于4時(shí),渦輪沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)提供推力;當(dāng)馬赫數(shù)大于4時(shí),超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)提供推力。推力系數(shù)和特征沖量的計(jì)算公式如下[16]:

1) 推力系數(shù)Cp為

(2)

推力P為

(3)

2) 特征沖量Isp為

(4)

式中,h為飛行高度,q為動(dòng)壓,Ae為進(jìn)氣口面積,M為飛行馬赫數(shù)。

1.3 氣動(dòng)力模型

飛行器飛行過程中受到升力L和阻力D的作用,計(jì)算公式如下

(5)

式中,Sref為飛行器參考面積,ρ為大氣密度,計(jì)算公式為ρ=ρ0e-βh,其中ρ0為海平面大氣密度,β為密度系數(shù)常數(shù),h為飛行器高度。升力系數(shù)CL和阻力系數(shù)CD由攻角α和馬赫數(shù)Ma表示

(6)

式中的系數(shù)CLi和CDi基于通用航空飛行器數(shù)據(jù)[17]。

1.4 約束條件

1.4.1 熱流率約束

爬升過程中,為了滿足嚴(yán)苛的熱防護(hù)條件,必須對(duì)熱流率Qd添加如下約束

(7)

式中,KQ為熱流率標(biāo)準(zhǔn)化常數(shù)。

1.4.2 動(dòng)壓約束

動(dòng)壓的上限由飛行器執(zhí)行機(jī)構(gòu)的鉸鏈力矩確定,下限值則是由超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)條件所限制。動(dòng)壓q的路徑約束可表示為

(8)

1.4.3 過載約束

為保證飛行器的結(jié)構(gòu)不被破壞,需對(duì)過載進(jìn)行約束,即

(9)

式中,g0為海平面重力加速度。

1.4.4 控制量和狀態(tài)量約束

受機(jī)動(dòng)性能等因素的影響,飛行器在上升段飛行過程中,要求滿足一定的控制約束和狀態(tài)約束。因此建立如下約束條件

(10)

1.4.5 終端約束

飛行器巡航段所需要的初始高度、速度和彈道傾角確定了其爬升段的終端約束,即

(11)

1.5 目標(biāo)函數(shù)

飛行器爬升過程中節(jié)省的燃料作為巡航段的燃油增加,可以大大增加巡航段的飛行航程。據(jù)此,選取上升段燃料最省為優(yōu)化目標(biāo),即

(12)

1.6 多區(qū)間軌跡優(yōu)化問題描述

基于高超聲速飛行器的動(dòng)力學(xué)模型,最省燃料軌跡優(yōu)化問題的本質(zhì)為尋找最優(yōu)控制量α使得目標(biāo)函數(shù)J最小,同時(shí)滿足多種約束條件((7)～(11)式)。為表述方便,將該問題描述為一般形式的Bolza型最優(yōu)控制問題:定義狀態(tài)變量x=[h,V,θ,m]T、控制變量u=α,使代價(jià)函數(shù)最小化

(13)

約束條件為

(14)

多區(qū)間最優(yōu)控制問題是指將上述Bolza型問題的時(shí)間區(qū)間[t0,tf]劃分為K個(gè)子區(qū)間,用t0

(15)

將時(shí)間區(qū)間t∈[tk-1,tk]變換為τ=[-1,1]。

2 Radau偽譜法

在RPM中,連續(xù)Bolza問題的狀態(tài)變量近似為

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

3 改進(jìn)的hp自適應(yīng)偽譜法

3.1 誤差評(píng)估準(zhǔn)則

在數(shù)值求解過程中,若使數(shù)值方法的解能夠精確地近似原問題的確切解,則需要在任意點(diǎn)處滿足微分-代數(shù)約束方程。因此,以微分-代數(shù)約束方程在配點(diǎn)間的滿足程度作為解的近似誤差評(píng)估準(zhǔn)則。

(21)

(22)

(23)

(24)

3.2 多項(xiàng)式階數(shù)的估計(jì)

(25)

為保證求得的配點(diǎn)數(shù)為整數(shù),對(duì)(25)式右邊項(xiàng)向上取整,即

(26)

3.3 hp自適應(yīng)迭代策略

(27)

每個(gè)區(qū)間內(nèi)的配點(diǎn)數(shù)均設(shè)為配點(diǎn)數(shù)初始值Nmin。

可以看出,本文所提出的hp迭代策略優(yōu)先使用p法來提高精度,只有當(dāng)配點(diǎn)數(shù)超過所設(shè)定的上限值時(shí)才進(jìn)行區(qū)間劃分,劃分后每個(gè)區(qū)間內(nèi)繼續(xù)采用p法,以此規(guī)律不斷迭代直到滿足解的精度要求。

基于以上的迭代策略,hp自適應(yīng)算法流程總結(jié)如下:

①初始化。令迭代次數(shù)M=0,設(shè)定區(qū)間的初始劃分以及區(qū)間內(nèi)配點(diǎn)數(shù)上下限Nmin,Nmax;

②將最優(yōu)控制問題離散化,轉(zhuǎn)化為NLP問題進(jìn)行求解,并按照3.1節(jié)內(nèi)容計(jì)算解的相對(duì)最大誤差emax;

③若所有區(qū)間的emax均小于ε或M>Mmax,停止迭代;否則,繼續(xù)④;

④在emax>ε的區(qū)間內(nèi)采用3.3節(jié)的自適應(yīng)策略更新網(wǎng)格,直到所有的網(wǎng)格完成更新;

⑤令M=M+1,轉(zhuǎn)向步驟②進(jìn)行下一次迭代。

4 仿真分析

本文以某高超聲速飛行器為例,飛行器初始質(zhì)量為3 600 kg,氣動(dòng)參考面積為0.6 m2,給定初始高度y0=17 km,初始速度v0=1 100 m/s,初始彈道傾角θ0=4°,終端高度yf=27 km,終端速度vf=1 870 m/s,終端航跡傾角θf=0°。爬升過程中狀態(tài)變量、控制變量和路徑約束的邊界限制如下

表1 約束邊界設(shè)置

優(yōu)化計(jì)算過程中軟件環(huán)境為:Windows7 32位操作系統(tǒng)和MATLAB R2013a;硬件環(huán)境為:Intel Core i5-2450處理器,4G內(nèi)存。在精度要求為10-5時(shí),求得的爬升段最小燃料消耗為165.56 kg,整個(gè)計(jì)算過程用時(shí)7.069 8 s,優(yōu)化結(jié)果如圖1～圖4中a)圖的圓點(diǎn)所示。

為驗(yàn)證解的最優(yōu)性,將最優(yōu)控制量通過三次樣條插值代入到動(dòng)力學(xué)方程中,求得飛行器的實(shí)際飛行狀態(tài),計(jì)算結(jié)果圖1～圖4中a)圖的實(shí)線所示。離散點(diǎn)處的狀態(tài)誤差如圖中星型線所示。圖中可以看出兩者的相對(duì)誤差在10-4～10-6之間,解的最優(yōu)性得到驗(yàn)證。

圖1 高度及高度誤差曲線 圖2 速度及速度誤差曲線

圖3 航跡傾角及航跡角誤差曲線 圖4 質(zhì)量及質(zhì)量誤差曲線

在精度要求為ε的情況下,采用3種不同的偽譜方法對(duì)同一航跡優(yōu)化問題進(jìn)行求解,優(yōu)化結(jié)果如表2所示。

表2 不同偽譜法的優(yōu)化比較

表中,p代表全局Radau偽譜法,h代表分段定階Radau偽譜法,hp代表改進(jìn)的hp自適應(yīng)Radau偽譜法。分別表示初始子區(qū)間個(gè)數(shù)和區(qū)間內(nèi)的初始配點(diǎn)數(shù)。K0、N0分別表示優(yōu)化完成時(shí)的最大微分-代數(shù)約束的誤差、計(jì)算時(shí)間區(qū)間個(gè)數(shù)、整個(gè)時(shí)間區(qū)間的配點(diǎn)總數(shù)、迭代次數(shù)以及目標(biāo)函數(shù)。需要注意的是在采用全局偽譜法優(yōu)化時(shí),由于求解問題的不光滑性,精度要求較高時(shí),過多的配點(diǎn)導(dǎo)致優(yōu)化時(shí)間過長,無法得到優(yōu)化結(jié)果。

分析表中數(shù)據(jù),我們可以得出如下結(jié)論:①精度要求較低時(shí),3種方法均可以優(yōu)化出結(jié)果,且在優(yōu)化速度和配點(diǎn)總數(shù)上無明顯差異;②的精度要求下,hp偽譜法逐漸地顯現(xiàn)出其優(yōu)勢,不論是優(yōu)化速度還是配點(diǎn)總數(shù)均優(yōu)于其他2種方法;③隨著精度要求的提高,p方法僅通過增加配點(diǎn)數(shù)無法得到最優(yōu)解,而h方法和hp方法成功地克服了不光滑帶來的問題,得到最優(yōu)解。兩者相對(duì)而言,hp偽譜法在配點(diǎn)總數(shù),子區(qū)間劃分和優(yōu)化速度上均優(yōu)于h方法。

圖5 不同偽譜法的配點(diǎn)分布

圖5給出了10-3精度下不同偽譜法的配點(diǎn)分布(圖中縱坐標(biāo)無實(shí)際物理意義,僅為圖示方便,直線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別表示p偽譜法、h偽譜法和hp偽譜法的配點(diǎn)位置),從圖中可以看出:①p方法為全局偽譜法,配點(diǎn)分布具有兩端密、中間疏的特點(diǎn);②h方法通過細(xì)化區(qū)間來提高精度,每個(gè)區(qū)間內(nèi)配點(diǎn)相同,圖中可以看出區(qū)間的劃分;③hp方法不具備統(tǒng)一的配點(diǎn)分布標(biāo)準(zhǔn),相比于h方法,區(qū)間劃分較少。

本文中所采用的hp自適應(yīng)策略為:設(shè)定區(qū)間配點(diǎn)數(shù)上限,當(dāng)配點(diǎn)數(shù)未達(dá)到上限時(shí),通過增加區(qū)間內(nèi)配點(diǎn)數(shù)(p法)提高精度,當(dāng)配點(diǎn)數(shù)達(dá)到上限仍未滿足求解精度時(shí),再利用細(xì)化時(shí)間區(qū)間(h法)來提高精度。文獻(xiàn)[12]提出另一種自適應(yīng)策略:通過比較相對(duì)曲率rk與曲率閾值rmax的大小關(guān)系來決定采取細(xì)分時(shí)間區(qū)間(h法)還是增加區(qū)間內(nèi)的配點(diǎn)數(shù)(p法)來提高算法精度。表3為這兩種細(xì)化策略在不同的精度要求下的優(yōu)化結(jié)果比較,其中hp1表示本文細(xì)化策略,hp2為文獻(xiàn)[12]中細(xì)化策略。

從表3中可以看出,精度要求較低時(shí),hp2方法所需的配點(diǎn)總數(shù)小于hp1方法,計(jì)算效率也高于hp1;精度要求提高到10-5時(shí),hp2方法逐漸失去了優(yōu)勢;精度為10-6時(shí),hp1方法在計(jì)算效率上明顯優(yōu)于hp2方法。分析其可能的原因,文獻(xiàn)[12]中hp偽譜法在初始迭代中,NLP問題的解與原問題的解存在較大的誤差,此時(shí)根據(jù)曲率進(jìn)行分段可能導(dǎo)致分段過多且分段點(diǎn)不準(zhǔn)確,且這種情況隨著精度要求的提高表現(xiàn)得更為突出,而本文中所采用的hp偽譜法優(yōu)先采用p法來提高精度,在一定程度上可以消除該問題對(duì)求解效率的影響。

表3 不同hp自適應(yīng)策略的優(yōu)化對(duì)比

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于hp自適應(yīng)Radau偽譜法的hp自適應(yīng)網(wǎng)格算法,并將其應(yīng)用于高超聲速飛行器上升段的軌跡優(yōu)化問題。仿真結(jié)果表明:①與全局偽譜法和固定階偽譜法相比,hp偽譜法充分結(jié)合了p法的快速收斂性和p法的計(jì)算稀疏性,具有更合理的配點(diǎn)分布,能夠以較少的時(shí)間代價(jià)獲得更高精度的解;②與以曲率為迭代判據(jù)的hp偽譜法相比,本文所提出的偽譜法優(yōu)先采用p方法,在一定程度上能夠避免分段過多且不準(zhǔn)確的問題,更適合求解高精度的最優(yōu)控制問題,具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。

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Ascent Phase Trajectory Optimization for Hypersonic Vehicle Based on hp-Adaptive Pseudospectral Method

Liu Ruifan, Yu Yunfeng,Yan Binbin

(School of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China)

An improved hp-adaptive pseudospectral method is developed in the present paper for solving hypersonic vehicle trajectory optimization in ascent phase. The method adopts double-layer optimization strategy to adjust both the mesh spacing and the degree of the polynomial on each interval. First, a relative error estimate is derived based on the residual of the differential-algebraic constraints at sample points. The derived relative error estimate is then used to predict the polynomial degree within a mesh interval. If the polynomial degree estimate remains below a maximum allowable degree, the degree of polynomial is increased to degree estimate. Otherwise, the mesh interval is divided into subinterval. Simulation results show the proposed method is more efficient than either h method or p method.

non-smooth; ascent phase; hp-adaptive; pseudospectral method; double-layer optimization

2016-04-02

國家自然科學(xué)基金(61104195、61503302)與西北工業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)研究基金(GKEY1003)資助

劉瑞帆(1995—)，女，西北工業(yè)大學(xué)碩士研究生，主要從事高超聲速飛行器制導(dǎo)研究。

V412.4

A

1000-2758(2016)05-0790-08