周森鑫 ，韓江洪 ，張耀輝 ，李超

(1.合肥工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，安徽 合肥 230009;2.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 蚌埠233030)

通信網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可信性測度模型

周森鑫1，2，韓江洪1，張耀輝2，李超2

(1.合肥工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，安徽 合肥 230009;2.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 蚌埠233030)

針對通信網(wǎng)絡(luò)的安全性、可控性和可生存性的測度問題，采用連續(xù)時(shí)間多態(tài)有獎(jiǎng)馬爾可夫方法建立網(wǎng)絡(luò)模型，定量分析其性能并構(gòu)建可信性測度模型。提出了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)方程方法解決傳統(tǒng)狀態(tài)分析法中的“狀態(tài)爆炸”問題。運(yùn)用通用生成函數(shù)方法優(yōu)化狀態(tài)轉(zhuǎn)換概率求解步驟，降低計(jì)算復(fù)雜度。實(shí)例仿真實(shí)驗(yàn)表明，計(jì)算模型正確、可行。

工業(yè)控制網(wǎng)絡(luò);可信網(wǎng)絡(luò);網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)函數(shù);通用生成函數(shù);有獎(jiǎng)馬爾可夫鏈

1 引言

在傳統(tǒng)的可靠性分析中，人們大多會把系統(tǒng)中元件的狀態(tài)分為二元狀態(tài)，即完全工作狀態(tài)和完全失效狀態(tài)。但現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中元件的狀態(tài)不是只有兩個(gè)狀態(tài)，還有許多中間狀態(tài)，這樣的系統(tǒng)被稱為多狀態(tài)系統(tǒng)。多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠性理論被提出之后，受到國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，許多學(xué)者把多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性理論運(yùn)用到諸如空調(diào)控制維護(hù)系統(tǒng)、工業(yè)系統(tǒng)壽命預(yù)估、發(fā)電系統(tǒng)等方面［1］。張小玲等［2］提出了一種基于通用生成函數(shù)的可靠性分析方法，這種方法首先用通用生成函數(shù)對離散型隨機(jī)變量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后用極大熵方法求極限狀態(tài)函數(shù)的概率密度函數(shù)。最終基于通用生成函數(shù)的可靠性分析方法對負(fù)載進(jìn)行分析，得出該方法既不需要求性能函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，也不需要求最大可能點(diǎn)，適合于求解混合離散變量和高度非線性問題。江逸楠等［3］對網(wǎng)絡(luò)可靠性評估方法進(jìn)行了整理和綜述，分析了二態(tài)、故障統(tǒng)計(jì)獨(dú)立假設(shè)下新的精確算法，二態(tài)、故障統(tǒng)計(jì)獨(dú)立假設(shè)下新的近似方法，考慮多態(tài)、共因故障的方法;并分析了網(wǎng)絡(luò)可靠性在當(dāng)時(shí)的問題。章筠［4］針對拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)固定的多源多宿多態(tài)計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)，提出了一種可靠度最大化的網(wǎng)絡(luò)傳輸線配置方法，在滿足費(fèi)用約束的情況下，極大化網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)傳輸?shù)目煽慷?。提出了一個(gè)基于最小路集的單條備用路徑算法來評估單條工作路徑失效情況下的網(wǎng)絡(luò)可靠度。任博等［5］提出一種基于通用生成μ函數(shù)的液壓系統(tǒng)可靠性分析新方法，并對某液壓系統(tǒng)可靠性進(jìn)行分析。和傳統(tǒng)的蒙特卡洛仿真方法進(jìn)行對比，避免了傳統(tǒng)蒙特卡洛仿真方法擬合部件級不確定性概率分布的誤差。柳劍［6］將復(fù)雜系統(tǒng)脆性理論與多狀態(tài)制造系統(tǒng)理論相結(jié)合，提出一種基于脆性理論的多狀態(tài)制造系統(tǒng)可靠性分析方法。分別定義了多狀態(tài)制造系統(tǒng)及其設(shè)備單元的生成函數(shù)，對多狀態(tài)制造系統(tǒng)的工作性能狀態(tài)與實(shí)際穩(wěn)態(tài)可靠度等指標(biāo)進(jìn)行了分析。李明程、何平［7］為解決傳統(tǒng)通用生成函數(shù)不適用于多狀態(tài)的瞬態(tài)模型的問題，提出了一種結(jié)合隨機(jī)過程和通用生成函數(shù)的方法，使用Lz變換的方法進(jìn)行實(shí)例分析。

本文借鑒上述研究成果，提出了一種基于多態(tài)有獎(jiǎng)馬爾可夫通信網(wǎng)絡(luò)可信性的測量方法。用狀態(tài)分析法分析通信網(wǎng)絡(luò)不同層次的系統(tǒng)狀態(tài)，運(yùn)用有獎(jiǎng)多態(tài)理論分別構(gòu)建通信系統(tǒng)的安全性、可控性和可生存性模型。采用Howard微分方程組定量計(jì)算不同層次系統(tǒng)的安全性、可控性和可生存性量值。針對通信系統(tǒng)的硬件和軟件組合的復(fù)雜性，運(yùn)用通用生成函數(shù)理論提出通信網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)方程計(jì)算方法，計(jì)算整體及不同層級的系統(tǒng)的可信度。由于改進(jìn)了傳統(tǒng)可靠性理論中的二元狀態(tài)理念，認(rèn)為不同層次系統(tǒng)有多種狀態(tài)更符合通信系統(tǒng)的本質(zhì)特征。根據(jù)通信系統(tǒng)的歷史數(shù)據(jù)借助大數(shù)據(jù)平臺計(jì)算出其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，可精確實(shí)時(shí)計(jì)算通信網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的可信度，為強(qiáng)化通信網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的安全性提供理論依據(jù)。

2 有獎(jiǎng)多態(tài)馬爾可夫通信網(wǎng)絡(luò)可信度計(jì)算

2.1 網(wǎng)絡(luò)模型建立

通信網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)是由計(jì)算機(jī)系統(tǒng)和網(wǎng)絡(luò)傳輸設(shè)備等若干個(gè)軟硬件組件組成的非線性復(fù)雜系統(tǒng)。研究其可信需構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)模型，用相關(guān)的隨機(jī)過程理論定量計(jì)算其安全性、可控性和可生存性［8］。常用的方法是用狀態(tài)分析法將網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)按照網(wǎng)絡(luò)組件二元理論的標(biāo)準(zhǔn)建立系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)換隨機(jī)過程。

2.2 計(jì)算方法

為提高模型的理論和應(yīng)用價(jià)值，需突破以往二態(tài)可靠性理論對系統(tǒng)和其組成單元的狀態(tài)數(shù)量的限制。充分考慮網(wǎng)絡(luò)的可控性和可生存性研究的有效方法，構(gòu)建多態(tài)有獎(jiǎng)馬爾可夫可信通信網(wǎng)絡(luò)模型。具體技術(shù)路線是運(yùn)用結(jié)構(gòu)函數(shù)刻畫網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特征，理清網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的核心功能，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)的安全關(guān)鍵核心態(tài)，并以此為網(wǎng)絡(luò)可信基?；谛阅軈?shù)對系統(tǒng)和其組成單元的狀態(tài)劃分為多態(tài)，運(yùn)用多態(tài)理論和有獎(jiǎng)連續(xù)時(shí)間馬爾可夫理論定量研究系統(tǒng)的安全性、可控性和可生存性［9-13］。歸一處理后得出可信度，根據(jù)可信度的量化值將網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)劃分為若干個(gè)可信等級。技術(shù)路線如圖1所示。

圖1 技術(shù)路線

3 多態(tài)理論與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)函數(shù)

3.1 多態(tài)理論

傳統(tǒng)可靠性理論中，系統(tǒng)被假設(shè)為二元系統(tǒng)。對復(fù)雜系統(tǒng)過于簡單，不能真實(shí)地反映實(shí)際情況。近來年，多狀態(tài)可靠性理論的研究已成為可靠性領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題。多態(tài)系統(tǒng)主要分為兩種:多工作狀態(tài)系統(tǒng)和多性能水平系統(tǒng)。多工作狀態(tài)系統(tǒng)是指系統(tǒng)除了“正常工作”和“完全失效”兩種狀態(tài)外，還具有多種工作狀態(tài)，如傳統(tǒng)可靠性領(lǐng)域的k/n(G)系統(tǒng);多性能水平系統(tǒng)是指系統(tǒng)能夠在多種性能水平下運(yùn)行。對于可信通信網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)同時(shí)具有兩種系統(tǒng)特征，多工作狀態(tài)系統(tǒng)對應(yīng)于系統(tǒng)的可控性，多性能水平系統(tǒng)對應(yīng)于系統(tǒng)的可生存性。

設(shè)多態(tài)系統(tǒng)有 M 個(gè)狀態(tài)，其狀態(tài)空間表示為｛1，2，3，…，M｝，其中 M＞2，M 是正常態(tài)，1表示失敗態(tài);當(dāng)M=2時(shí)，為傳統(tǒng)的二態(tài)系統(tǒng)。對于多工作狀態(tài)系統(tǒng)，用狀態(tài)空間和狀態(tài)概率描述其特性，其中狀態(tài)概率表示系統(tǒng)處于各種狀態(tài)的概率;對于多性能水平系統(tǒng)，用狀態(tài)性能和狀態(tài)概率描述其特性，其中狀態(tài)性能表示系統(tǒng)處于各種狀態(tài)時(shí)的系統(tǒng)性能水平。多態(tài)系統(tǒng)可靠性分析方法主要有4種:布爾模型擴(kuò)展方法、隨機(jī)過程方法 (主要是Markov過程方法)、Monte Carlo仿真方法和通用生成函數(shù)(universal generating function，UGF)方法。由于傳統(tǒng)可靠性理論中部件和系統(tǒng)只有兩種狀態(tài)，而多態(tài)系統(tǒng)中部件和系統(tǒng)具有多種狀態(tài)，因此，在最初分析多態(tài)系統(tǒng)可靠性時(shí)，嘗試對布爾模型進(jìn)行擴(kuò)展，以滿足分析多態(tài)系統(tǒng)可靠性的需要。布爾模型擴(kuò)展方法主要包括多態(tài)故障樹、多態(tài)路集和割集、多值邏輯理論、決策圖等方法;隨機(jī)過程中的Markov過程方法在多態(tài)系統(tǒng)可靠性分析中的應(yīng)用相對較多，Markov過程方法的優(yōu)點(diǎn)是能夠獲得系統(tǒng)可靠度與時(shí)間的關(guān)系，且理論成熟。布爾模型擴(kuò)展方法、隨機(jī)過程方法和Monte Carlo仿真方法由于計(jì)算復(fù)雜，主要適用于規(guī)模較小的多態(tài)系統(tǒng);而通用生成函數(shù)方法計(jì)算速度快，且便于數(shù)值實(shí)現(xiàn)［14，15］。

3.2 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)函數(shù)

通信網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)是由計(jì)算機(jī)硬件、軟件和網(wǎng)絡(luò)傳輸設(shè)備組成的復(fù)雜系統(tǒng)，涉及硬件、軟件和網(wǎng)絡(luò)協(xié)議。需用層次分析法從應(yīng)用層自頂向下分別建立子系統(tǒng)及其結(jié)構(gòu)函數(shù)，利用遞歸求解方法得出網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的可信度。將網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)組件的性能空間映射到系統(tǒng)性能空間的變換f(G1(t)，…，Gn(t)):Ln→M，叫做網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)函數(shù)。也可以把結(jié)構(gòu)函數(shù)表示為G(t)=f(G1(t)，…，Gn(t))。如從應(yīng)用層分析網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)時(shí)，可將網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)劃分為應(yīng)用軟件系統(tǒng)、操作系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)傳輸、硬件等子系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)函數(shù)為串行結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)函數(shù)分為串行、并行、橋式、表格和k/n(G)類型，常用的有串行、并行和 k/n(G)3種。示例如圖1～圖3所示。

圖2的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)為:

圖3的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)為:

圖2 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)函數(shù)示例1

圖3 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)函數(shù)示例2

k/n(G)的結(jié)構(gòu)函數(shù)如下:

k/n(G)系統(tǒng)需根據(jù)具體情況進(jìn)行分析。

3.3 通用生成函數(shù)

通用生成函數(shù)(UGF)是一種簡潔、高效的離散隨機(jī)變量組合運(yùn)算工具。其基本思想是將離散隨機(jī)變量表示為多項(xiàng)式形式，根據(jù)離散隨機(jī)變量的運(yùn)算法則定義多項(xiàng)式的組合算子，通過遞歸運(yùn)算得到最終結(jié)果的離散隨機(jī)變量的多項(xiàng)式形式。通用生成函數(shù)法是一種基于 Z變換和組合算子的運(yùn)算方法。通用生成函數(shù)依賴于簡單直觀的遞歸方程，并且提供了系統(tǒng)狀態(tài)枚舉的系統(tǒng)方法，可以替換極其復(fù)雜的組合運(yùn)算。

設(shè)離散型隨機(jī)變量 x的所有取值X=(X1，X2，…，Xk)與其相對應(yīng)的概率值為p=(p1，p2，…，pk)，則x的生成函數(shù)為:

根據(jù)離散型隨機(jī)變量x1，x2，…，xn中的Z變換多項(xiàng)式可確定任意函數(shù) f(x1，x2，…，xn)的概率密度函數(shù)(PDF)。如隨機(jī)變量 函數(shù) Y=f(x1，x2，…，xn)，通 用 生 成 運(yùn) 算 符 為 Ωf，隨 機(jī) 變 量 Y的通用生成函數(shù)定義為:

其中，piji是離散隨機(jī)變量 xi取值為 Xiji的概率［16］。

3.4 連續(xù)時(shí)間有獎(jiǎng)馬爾可夫鏈

設(shè)隨機(jī)過程｛X(t)，t≥0｝，狀態(tài)空間 I=｛in，n＞0｝，若對任意

則稱｛X(t)，t≥0｝為連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈。系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率是在初始時(shí)刻s處在狀態(tài)i，經(jīng)過時(shí)間t后轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率，可表示為:

如果系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率pi，j(s，s+t)和s無關(guān)，隨機(jī)過程｛X(t)，t≥0｝稱為連續(xù)時(shí)間的齊次馬爾可夫鏈，并滿足以下連續(xù)性的條件:

對于任意 t≥0，有:

其中，pi(t)是｛X(t)，t≥0｝的絕對分布，pi(0)是｛X(t)，t≥0｝的初始分布，使用全概率公式可以證明出:

因此，連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈的絕對分布完全由其隨機(jī)過程初始狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率函數(shù)決定。有獎(jiǎng)馬爾可夫鏈?zhǔn)窃谶B續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈的基礎(chǔ)上，在每個(gè)狀態(tài)上分配一個(gè)單位時(shí)間獎(jiǎng)勵(lì)值，具體的物理意義可以是網(wǎng)絡(luò)性能參數(shù)。假設(shè)系統(tǒng)在狀態(tài)i上以每單位時(shí)間rii的速率獲得獎(jiǎng)勵(lì)，其次假設(shè)系統(tǒng)從狀態(tài)i轉(zhuǎn)移至狀態(tài)j(i≠j)，獲得的獎(jiǎng)勵(lì)值為rij。

需要求解的是在給定初始條件下，經(jīng)過時(shí)間t，系統(tǒng)的預(yù)期收益，即獎(jiǎng)勵(lì)率的時(shí)間累積。設(shè)vi(t)為系統(tǒng)在初始狀態(tài)i下，經(jīng)過時(shí)間t所獲得的預(yù)期總獎(jiǎng)勵(lì)，根據(jù)遞推公式就可以求出系統(tǒng)在時(shí)間t+dt內(nèi)，獲得的預(yù)期總獎(jiǎng)勵(lì)Vi(t+dt)。其中dt表示時(shí)間區(qū)間。

在時(shí)間dt內(nèi)，系統(tǒng)可能保持狀態(tài)i或者轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j。如果經(jīng)過時(shí)間dt，系統(tǒng)仍處于狀態(tài)i，那么總收益為riidt與Vi(t)之和，并且經(jīng)過時(shí)間dt處于狀態(tài)i的概率為1減去系統(tǒng)在時(shí)間dt發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率，也就是另一方面，系統(tǒng)在時(shí)間dt內(nèi)有aijdt的概率轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j(j≠i)。在這種情況下，系統(tǒng)將獲得的獎(jiǎng)勵(lì)值為rij與vj(t)之和。

或者表示為:

這里只考慮一次積分dt。最后，通過公式變換，可得到:

如果dt趨向于0，可得到Howard微分方程組為:

其中，i=1，2，…，N。

3.5 系統(tǒng)、子系統(tǒng)(元件)可信值的計(jì)算

網(wǎng)絡(luò)通信系統(tǒng)根據(jù)安全需求目標(biāo)的不同，可信計(jì)算量值的網(wǎng)絡(luò)性能參數(shù)也不同。例如，在串行系統(tǒng)中對核心設(shè)備可生存性進(jìn)行冗余設(shè)計(jì)時(shí)，關(guān)心的是子系統(tǒng)的可靠性。本文基于特定時(shí)間內(nèi)可用性、失敗次數(shù)、平均失效時(shí)間和可靠性4個(gè)性能參數(shù)進(jìn)行可信值計(jì)算。

3.5.1 基于可用性可信值的計(jì)算

基于可用性可信值的計(jì)算方法是指系統(tǒng)可工作在多種不同性能狀態(tài)，根據(jù)性能不同劃分為可接收態(tài)和不可接收態(tài)。設(shè)G(t)是需求性能指標(biāo)，W(t)是實(shí)際工作指標(biāo)，函數(shù)Φ(G(t)，W(t))＞0 時(shí)，系統(tǒng)為可接收狀態(tài);當(dāng)Φ(G(t)，W(t))＜0時(shí)，系統(tǒng)為不可接收狀態(tài)。假設(shè)A(t)是t＞0時(shí)系統(tǒng)為可接收狀態(tài)的概率，表示為:

系統(tǒng)的平均可用性A (T)是系統(tǒng)處在可接收狀態(tài)［0，t］期間可用性的時(shí)間平均值，表示為:

為了計(jì)算系統(tǒng)的A (T)，獎(jiǎng)勵(lì)矩陣R的獎(jiǎng)勵(lì)值按下列規(guī)則確定:所有可接收態(tài)的獎(jiǎng)勵(lì)值為1;所有不可接收態(tài)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移獎(jiǎng)勵(lì)值為0。

設(shè)狀態(tài)K為初始狀態(tài)(可接收狀態(tài))，求解Howard微分方程組，得到VK(T)。系統(tǒng)平均可用性為:

3.5.2 基于失敗次數(shù)可信值的計(jì)算

基于失敗次數(shù)的可信值是指系統(tǒng)在一段時(shí)間 ［0，t］內(nèi)的平均失敗次數(shù)。設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為正常態(tài)K，Nf(t)為系統(tǒng)在時(shí)間［0，t］內(nèi)的平均失敗次數(shù)，Nf(t)可視為［0，t］內(nèi)系統(tǒng)狀態(tài)由可接收態(tài)到不可接收態(tài)的次數(shù)。獎(jiǎng)勵(lì)矩陣R的獎(jiǎng)勵(lì)值按下列規(guī)則確定:系統(tǒng)從可接收態(tài)到不可接收態(tài)的獎(jiǎng)勵(lì)值為1;其他的獎(jiǎng)勵(lì)值為0。

通過Howard微分方程組求解VK(T)，可以得到在時(shí)間［0，t］內(nèi)系統(tǒng)進(jìn)入不可接收狀態(tài)的平均次數(shù)［17］。

3.5.3 基于平均失效時(shí)間和可靠性可信值的計(jì)算

平均失效時(shí)間(mean time to failure，MTTF)是系統(tǒng)第一次進(jìn)入不可接收態(tài)的平均時(shí)間。為了計(jì)算MTTF，定義從不可接收態(tài)返回的所有過渡態(tài)都被禁止，不可接收態(tài)被視為吸收狀態(tài)。獎(jiǎng)勵(lì)矩陣R的獎(jiǎng)勵(lì)值按下列規(guī)則確定:所有可接收態(tài)的獎(jiǎng)勵(lì)值定義為1;不可接收態(tài)和轉(zhuǎn)換的獎(jiǎng)勵(lì)值定義為0。

設(shè)初始狀態(tài)為正常態(tài)K，通過Howard微分方程組求解 VK(T)，可以得到MTTF。

可靠性是指系統(tǒng)、子系統(tǒng)(元件)在［0，T］內(nèi)正常工作的概率。計(jì)算可靠性時(shí)同樣定義不可接收態(tài)返回的所有過渡態(tài)都被禁止，不可接收態(tài)被視為吸收狀態(tài)。獎(jiǎng)勵(lì)矩陣R的獎(jiǎng)勵(lì)值按下列規(guī)則確定:所有過渡到吸收態(tài)的獎(jiǎng)勵(lì)值定義為1;其他的獎(jiǎng)勵(lì)值為0。

設(shè)初始狀態(tài)為正常態(tài)K，通過Howard微分方程組求解VK(T)，可以得到可靠性函數(shù)R(T):

4 算例分析與實(shí)驗(yàn)仿真

4.1 實(shí)驗(yàn)仿真環(huán)境

SHARPE(層次自動化的可靠性和性能評估)是美國杜克大學(xué)Trivedi教授及其科研團(tuán)隊(duì)開發(fā)的一種層次法定量計(jì)算可靠性、可生存性和可用性等系統(tǒng)性能的軟件仿真環(huán)境。它是多態(tài)有獎(jiǎng)馬爾可夫鏈應(yīng)用建模技術(shù)的很好的工具，并支持多態(tài)理論模型。支持系統(tǒng)組件行為和功能對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的影響，整個(gè)系統(tǒng)的行為作為一個(gè)時(shí)間的函數(shù)。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可以被指定，如故障樹、任務(wù)圖、馬爾可夫鏈和有獎(jiǎng)馬爾可夫鏈。Howard微分方程組的求解可用Maple或MATLAB軟件編程實(shí)現(xiàn)。

4.2 算例分析

設(shè)某網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中有3個(gè)通信服務(wù)器組成的數(shù)據(jù)傳輸子系統(tǒng)，任務(wù)是將以太網(wǎng)1的數(shù)據(jù)傳輸給以太網(wǎng)2，其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 算例系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

數(shù)據(jù)可以通過服務(wù)器A從服務(wù)器B傳輸?shù)椒?wù)器C或直接從服務(wù)器A傳輸?shù)椒?wù)器C。服務(wù)器之間的數(shù)據(jù)傳輸時(shí)間(即通道性能率，以ms為單位)取決于相應(yīng)的通信信道。其中A到B組成數(shù)據(jù)傳輸通道A，B到C組成數(shù)據(jù)傳輸通道B，A到C組成數(shù)據(jù)傳輸通道C。數(shù)據(jù)傳輸通道A和B是二元狀態(tài)，處于完全故障狀態(tài)時(shí)數(shù)據(jù)不能傳輸，在這種情況下，數(shù)據(jù)傳輸時(shí)間定義為∞;處于完全運(yùn)行狀態(tài)時(shí)，傳輸數(shù)據(jù)的時(shí)間分別為1.5 ms和2 ms，分別表示為:G1(t)=｛∞，1.5｝，G2(t)=｛∞，2｝。數(shù)據(jù)傳輸通道 C 有 3 種狀態(tài):完全故障狀態(tài)、部分故障狀態(tài)(數(shù)據(jù)傳輸時(shí)間為4 ms)和正常工作狀態(tài)(數(shù)據(jù)傳輸時(shí)間為1.8 ms)，表示為G3(t)=｛∞，1.8，4｝。子系統(tǒng)性能定義為數(shù)據(jù)從服務(wù)器A傳輸?shù)椒?wù)器C的總時(shí)間。

當(dāng)通過服務(wù)器B傳輸數(shù)據(jù)時(shí)，數(shù)據(jù)傳輸?shù)目倳r(shí)間等于數(shù)據(jù)從服務(wù)器A到服務(wù)器B所用時(shí)間G1(t)和從服務(wù)器B到服務(wù)器C所用時(shí)間G2(t)的總和。當(dāng)數(shù)據(jù)直接從服務(wù)器A傳輸?shù)椒?wù)器C時(shí)，傳輸時(shí)間是G3(t)。數(shù)據(jù)傳輸通道A和B是傳統(tǒng)的二元狀態(tài)，而數(shù)據(jù)傳輸通道C是三元態(tài)(即多態(tài))。該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)由3個(gè)數(shù)據(jù)傳輸通道組件組成，數(shù)據(jù)傳輸通道A和B先構(gòu)成串行結(jié)構(gòu)再和C組成并行結(jié)構(gòu)。其結(jié)構(gòu)函數(shù)為［18］:

按傳統(tǒng)的狀態(tài)分析法，以組件性能參數(shù)為指標(biāo)劃分系統(tǒng)狀態(tài)，得出系統(tǒng)狀態(tài)圖如圖5所示。

圖5 系統(tǒng)狀態(tài)分析圖

其中，狀態(tài)10、11和 12為不可接收態(tài)，狀態(tài) 4、5和 6是性能中間態(tài)，其他為性能良好態(tài)。由此可見，隨著組件個(gè)數(shù)和性能等級的增加，狀態(tài)數(shù)會指數(shù)級增加，從而產(chǎn)生“狀態(tài)爆炸”問題。根據(jù)結(jié)構(gòu)方程和生成函數(shù)可將圖5化簡為4個(gè)狀態(tài)。狀態(tài)1為子系統(tǒng)數(shù)據(jù)傳輸時(shí)間為1.8 ms，狀態(tài)2為子系統(tǒng)數(shù)據(jù)傳輸時(shí)間為3.5 ms，狀態(tài)3為子系統(tǒng)數(shù)據(jù)傳輸時(shí)間為4 ms，狀態(tài)4為子系統(tǒng)數(shù)據(jù)傳輸時(shí)間為∞?；喓蟮臓顟B(tài)及其轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖6所示。

圖6 多態(tài)系統(tǒng)分析

參數(shù)λ和μ為狀態(tài)轉(zhuǎn)移率，通過歷史數(shù)據(jù)可收集到。子系統(tǒng)的3個(gè)數(shù)據(jù)傳輸通道(組件)狀態(tài)的初始概率分布pi和網(wǎng)絡(luò)性能參數(shù)xi的值見表1。

表1 系統(tǒng)的狀態(tài)概率密度的隨機(jī)變量

概率密度函數(shù)可由如下通用生成函數(shù)確定:

因?yàn)樗蟮氖顷P(guān)于速度的最小值，可以得出:

假設(shè)一個(gè)G4(t)，定義G4(t)值如下:

可以通過通用生成函數(shù)得到系統(tǒng)概率密度函數(shù)的分布Y:

因此子系統(tǒng)的初始概率密度分布和數(shù)據(jù)傳輸性能為:

求解子系統(tǒng)可信動態(tài)模型可構(gòu)建馬爾可夫鏈，即求解由3個(gè)數(shù)據(jù)傳輸通道構(gòu)成的子系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)傳輸性能與時(shí)間的函數(shù)。假設(shè)通過歷史數(shù)據(jù)處理得到各狀態(tài)轉(zhuǎn)移率矩陣如下:

其中，c1=-(λ12+λ13+λ14)，c2=-(μ21+λ23+λ24)，c3=-(μ31+μ32+λ34)，c4=-(μ41+μ42+μ43)。

由柯爾莫哥洛夫向后方程:

可求出轉(zhuǎn)移概率矩陣P(t)。由轉(zhuǎn)移概率矩陣P(t)和初始狀態(tài)概率分布，可計(jì)算子系統(tǒng)的動態(tài)狀態(tài)分布。動態(tài)狀態(tài)分布表明，系統(tǒng)的實(shí)際工作性能并不能確定其完成任務(wù)的能力(即可信)。為了計(jì)算可信性能還要考察完成任務(wù)的能 力［19］。

假設(shè)子系統(tǒng)的數(shù)據(jù)傳輸時(shí)延性能指標(biāo)為W1=2 ms，W2=3.9 ms，W3=4.5 ms。不考慮斷路情況，子系統(tǒng)的實(shí)際數(shù)據(jù)傳輸時(shí)延性能為 G1=1.8 ms，G2=3.5 ms，G3=4 ms。子系統(tǒng)實(shí)際性能是多狀態(tài)連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈，子系統(tǒng)的數(shù)據(jù)傳輸時(shí)延性能指標(biāo)也是多狀態(tài)連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈。它們的狀態(tài)轉(zhuǎn)換分別如圖7、圖8所示。

圖7 數(shù)據(jù)傳輸能力狀態(tài)

圖8 數(shù)據(jù)傳輸指標(biāo)狀態(tài)

因?yàn)樾阅苤笜?biāo)具有實(shí)時(shí)性，選擇可信函數(shù)Φ(G(t)，W(t))＜0，即實(shí)際傳輸時(shí)延要小于指標(biāo)時(shí)延。結(jié)合性能指標(biāo)的系統(tǒng)狀態(tài)及其轉(zhuǎn)移情況如圖9所示。

圖9中狀態(tài)2、3、6為不可接收態(tài)，其余為可接收態(tài)。系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣C為:

其中:

假設(shè)通過歷史數(shù)據(jù)收集，數(shù)據(jù)傳輸實(shí)際能力轉(zhuǎn)移率矩陣A和數(shù)據(jù)傳輸指標(biāo)轉(zhuǎn)移率矩陣B數(shù)值如下。

圖9 結(jié)合性能指標(biāo)數(shù)據(jù)傳輸狀態(tài)圖

根據(jù)矩陣A和矩陣B可求得結(jié)合性能指標(biāo)數(shù)據(jù)傳輸狀態(tài)圖的轉(zhuǎn)移率矩陣C。

按照計(jì)算可用性獎(jiǎng)勵(lì)矩陣設(shè)置方法，設(shè)置獎(jiǎng)勵(lì)矩陣R。

將矩陣C和R代入Howard微分方程組式(16)，假設(shè)狀態(tài)1為初始狀態(tài)，求解方程組可得V1(t)/t，即數(shù)據(jù)傳輸通道的平均可用性。分別按照平均失效時(shí)間、［0，t］內(nèi)失敗次數(shù)和可靠性的相關(guān)原則設(shè)置相應(yīng)獎(jiǎng)勵(lì)矩陣，可得到相應(yīng)的Howard微分方程組。假設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為狀態(tài)1，求解微分方程組求得V1(t)，可分別得到系統(tǒng)的平均失效時(shí)間、［0，t］內(nèi)失敗次數(shù)和可靠性?？捎眯訦oward微分方程組如下:

圖10 系統(tǒng)平均可用性

其他Howard微分方程組不再贅述，編程通過MATLAB軟件求解，系統(tǒng)平均可用性如圖10所示。

仿真結(jié)果和計(jì)算結(jié)果完全一致。由圖10中可以看出，當(dāng)時(shí)間大于1時(shí)可用性恒等于7，因此系統(tǒng)可生成性大于7。系統(tǒng)的安全性和可控性由狀態(tài)轉(zhuǎn)移率確定，如安全性主要反映在從可接收態(tài)轉(zhuǎn)移到不可接收態(tài)的轉(zhuǎn)移率的大小，而可控性反映在從正常工作態(tài)到不可接收態(tài)的轉(zhuǎn)移路徑及其轉(zhuǎn)移率的大小。其他性能參數(shù)與時(shí)間關(guān)系如圖11～圖13所示。

圖11 系統(tǒng)失敗次數(shù)

圖12 系統(tǒng)平均失效時(shí)間

圖13 系統(tǒng)可靠性

5 結(jié)束語

沿著“可信≈安全+可靠”思想將通信網(wǎng)絡(luò)的可信屬性分為安全性、可生存性和可控性。按照自頂向下逐漸求精的原則建立系統(tǒng)狀態(tài)模型，由元件(子系統(tǒng))的可用性、可靠性和可生存性等性能參數(shù)，利用通用生成函數(shù)計(jì)算系統(tǒng)的概率分布，通過結(jié)構(gòu)方程約簡系統(tǒng)狀態(tài)，避免“狀態(tài)爆炸”問題。上述算法遞歸調(diào)用可求出不同層級的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)性能參數(shù)，即系統(tǒng)實(shí)際性能。網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)實(shí)際性能是多狀態(tài)連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈，而網(wǎng)絡(luò)需求性能指標(biāo)也是多狀態(tài)連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈，通過可信目標(biāo)函數(shù)如 Φ(G(t)，W(t))＞0劃分可接收態(tài)和不可接收態(tài)，根據(jù)網(wǎng)絡(luò)需求情況分別設(shè)立獎(jiǎng)勵(lì)矩陣，建立多態(tài)有獎(jiǎng)馬爾可夫通信網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可信模型。該模型能定量動態(tài)表達(dá)通信網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)完成任務(wù)的能力，然后根據(jù)所得量值按照可信標(biāo)準(zhǔn)將網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)劃分為不同 的 可 信 等 級［20］。

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Trusted measure model for the communication network system

ZHOU Senxin1，2，HAN Jianghong1，ZHANG Yaohui2，LI Chao2
1.School of Computer and Information，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China 2.School of Management Science and Engineering，Anhui University of Finance&Economics，Bengbu 233030，China

The trusted measure model for communication was proposed by computing its value of security，control and survivability with continuous-time reward Markov method.The “state bomb” problem in traditional state analysis method was solved by the way of structural equation solution.The generic function optimization algorithm was used to reduce computational complexity.Simulation experiments show that the model is correct and feasible.

industrial control network，trusted network，network structure function，universal generating function，reward markov chain

TP302.7

A

10.11959/j.issn.1000-0801.2016010

2015-10-15;

2015-12-15

周森鑫(1965-)，男，博士，安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)教授、碩士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、計(jì)算機(jī)控制、可信計(jì)算、數(shù)據(jù)挖掘。

韓江洪(1954-)，男，合肥工業(yè)大學(xué)教授、博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、計(jì)算機(jī)控制、并行與分布式系統(tǒng)等。

張耀輝(1988-)，男，安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院碩士生，主要研究方向?yàn)閿?shù)據(jù)挖掘、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)。

李超(1989-)，男，安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院碩士生，主要研究方向?yàn)閿?shù)據(jù)挖掘、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)。