大學(xué)物理中矢量積分的計(jì)算方法

陳春彩，余小剛，楊 芳

（閩南理工學(xué)院基礎(chǔ)部，福建石獅362700）

大學(xué)物理中矢量積分的計(jì)算方法

陳春彩，余小剛，楊 芳

（閩南理工學(xué)院基礎(chǔ)部，福建石獅362700）

矢量積分在大學(xué)物理中有著非常廣泛的應(yīng)用。在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生普遍難以掌握矢量積分的計(jì)算。因此，本文歸納總結(jié)了大學(xué)物理中常見的矢量積分的種類，并給出了矢量積分計(jì)算的一般方法，有助于學(xué)生更好的理解和掌握矢量積分的計(jì)算方法。

大學(xué)物理；矢量積分；標(biāo)量積分；計(jì)算方法

在大學(xué)物理的學(xué)習(xí)中，矢量積分隨處可見。從質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)到質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)，從剛體力學(xué)到電磁學(xué)，都離不開矢量積分的應(yīng)用。但在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，只是注重介紹矢量的點(diǎn)乘、叉乘和混合乘法計(jì)算，而沒有明確積分的物理意義和矢量的微積分運(yùn)算，所以在大學(xué)物理的學(xué)習(xí)中，很多學(xué)生難以掌握矢量積分的意義，并且對(duì)矢量積分的計(jì)算有所畏懼，隨之也就覺得物理很難學(xué)了。因此，掌握矢量積分的計(jì)算，有利于大學(xué)物理課程的學(xué)習(xí)[1-2]。

1 矢量積分的分類

大學(xué)物理中常見的矢量積分主要可以分為以下四類：

(1)一般矢量積分：被積函數(shù)是矢量，而被積表達(dá)式是矢量和標(biāo)量的乘積，積分計(jì)算所得結(jié)果是矢?運(yùn)動(dòng)方程沖量，電場(chǎng)強(qiáng)度等。這類矢量積分常見于運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)以及電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算中，也是最簡(jiǎn)單的一種矢量積分。

(2)矢量點(diǎn)乘積分：被積函數(shù)是矢量，且被積表達(dá)式是兩個(gè)矢量的點(diǎn)乘，積分計(jì)算所得結(jié)果是標(biāo)量的積分運(yùn)算。例如變力做功W=∫lF·dr,電勢(shì)V= ∫lE·dl,電通量φe=∫SE·dS,磁通量φm= ∫SB·dS等。這類矢量積分主要用于計(jì)算變力做功，電勢(shì)，電通量，磁通量的求解等問題中。

(3)矢量叉乘積分：被積函數(shù)是矢量，且被積表達(dá)式是兩個(gè)矢量的叉乘，積分計(jì)算所得結(jié)果是矢量的積分運(yùn)算。例如磁感應(yīng)強(qiáng)度安培力

(4)矢量混合乘法積分：被積表達(dá)式是矢量點(diǎn)乘和叉乘的混合運(yùn)算。例如動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)ε= ∫l(υ×B)·dl。

2 矢量積分的計(jì)算方法

在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生普遍難以掌握矢量積分計(jì)算的主要原因是沒有掌握矢量積分計(jì)算的根本原則。矢量積分計(jì)算的根本原則是將矢量積分轉(zhuǎn)化為標(biāo)量積分，而把矢量積分化成標(biāo)量積分的方法主要有兩種：

方法一：根據(jù)矢量的計(jì)算法則直接將矢量積分化成標(biāo)量積分進(jìn)行計(jì)算；

方法二：將被積分函數(shù)進(jìn)行正交分解，然后在兩個(gè)正交的方向上分別進(jìn)行標(biāo)量積分計(jì)算，最后將兩個(gè)正交方向上的標(biāo)量積分結(jié)果進(jìn)行矢量合成。

矢量既有大小又有方向。一組矢量累積求和時(shí)，如果所有矢量的方向都相同，則可以直接對(duì)改組矢量的大小進(jìn)行累積求和，方向取共同方向；如果所有矢量的方向不全相同，則可將該組所有的矢量進(jìn)行正交分解，然后在兩個(gè)正交的方向上分別進(jìn)行標(biāo)量累積求和，最后對(duì)兩個(gè)正交方向上的結(jié)果進(jìn)行矢量疊加。積分的本質(zhì)是微元的累積求和，矢量積分的實(shí)質(zhì)就是矢量微元的累積求和。因此，進(jìn)行矢量積分時(shí)，可參照以下步驟：

(1)判斷矢量微元的方向是否一致；

(2)如果矢量微元的方向一致，則選用方法一進(jìn)行計(jì)算；

(3)如果矢量微元的方向不一致，則選用方法二進(jìn)行計(jì)算。

判斷矢量微元方向是否一致，可以在幾個(gè)不同的位置取幾個(gè)不同的微元，然后對(duì)被積表達(dá)式的方向進(jìn)行判斷。若方向一致，則可說明矢量微元的方向一致；若方向不全相同，則可說明矢量微元的方向不全相同。

3 矢量積分應(yīng)用舉例

【例題1】一質(zhì)點(diǎn)的恒定加速度a=6ti+4j。t=0時(shí)其速度為零。求該質(zhì)點(diǎn)任意時(shí)刻的速度。

這類矢量積分是最簡(jiǎn)單的一類，其被積函數(shù)已經(jīng)是正交分解的形式，因此可以選用方法一直接進(jìn)行積分計(jì)算，也可以選用方法二，先分別在x、y方向上積分后再寫成矢量的形式，即：

【例題2】如圖1所示，正電荷q均勻地分布在半徑為R的圓環(huán)上。計(jì)算在環(huán)的軸線上任意一點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度。

圖1 帶電圓環(huán)軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度

解析：選取如圖所示微元dl，電荷元dq=λdl，其中電荷的線密度

其中r2=x2+R2，單位方向矢量er的方向沿r指向P點(diǎn)。

首先根據(jù)步驟(1)判斷矢量微元的方向是否統(tǒng)一：分別在不同的兩點(diǎn)A、B選擇線元。如圖1所示，選擇不同的線元后得到的矢量微元dE的方向是不同的。因此，可以判斷矢量微元的方向不統(tǒng)一；然后根據(jù)步驟(3)選擇方法二進(jìn)行正交分解后再分別積分計(jì)算：如圖1所示，正交分解：dE=dE⊥e⊥+dExi

方向：沿x軸正方向。

【例題3】質(zhì)量為m的物理在質(zhì)量為M物體的引力作用下從A點(diǎn)沿如圖所示軌跡運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，求該引力所做的功。

圖2 引力從A到B做功

解析：物體m所受到的引力為：

如圖2所示，引力所做的功：

首先根據(jù)步驟(1)判斷矢量微元的方向是否統(tǒng)一：由圖可知，在任意兩個(gè)不同的地方分別取位移元dr后，引力F和位移元dr之間的夾角θ不相等，由此可知，根據(jù)步驟(3)選擇方法二進(jìn)行正交分解后再分別積分計(jì)算比較簡(jiǎn)便。

正交分解：dW=dWτ+dWr

【例題4】無限長(zhǎng)直導(dǎo)線通有電流I1，在同一平面內(nèi)有長(zhǎng)為L(zhǎng)的直導(dǎo)線通有電流I2，如圖3所示。長(zhǎng)為L(zhǎng)的直導(dǎo)線與x軸的夾角為α，其下端距無限長(zhǎng)直導(dǎo)線r，求長(zhǎng)為L(zhǎng)的直導(dǎo)線所受的安培力。

圖3 長(zhǎng)直導(dǎo)線所受的安培力

解析：在長(zhǎng)為L(zhǎng)的直導(dǎo)線上距

下端為l處任選一電流元I2dl。

I1在該電流元處激發(fā)的磁場(chǎng)為：

方向垂直紙面向里。

則直導(dǎo)線所受到的安培力為：

首先根據(jù)步驟(1)判斷矢量微元的方向是否統(tǒng)一：分別在不同的兩點(diǎn)A、B選擇線元。如圖3所示，選擇不同的線元后得到的矢量微元的方向是相同的，都垂直于L向上。因此，可以判斷矢量微元統(tǒng)一；然后根據(jù)步驟(2)選擇方法一將矢量積分化成標(biāo)量積分進(jìn)行計(jì)算：

方向：垂直于L向上。

【例題5】求無限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線的磁場(chǎng)中任意點(diǎn)P的磁感強(qiáng)度，已知點(diǎn)P與導(dǎo)線的距離為r0，導(dǎo)線中的電流為I。

圖4 無限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線的磁感強(qiáng)度

解析：建立如圖4所示坐標(biāo)系，在導(dǎo)線上距原點(diǎn)O為y處任選一電流元Idy,根據(jù)比-薩定律，其在P點(diǎn)磁感強(qiáng)為：

首先根據(jù)步驟(1)判斷矢量微元的方向是否統(tǒng)一：分別在不同的兩點(diǎn)A、O選擇線元。如圖4所示，選擇不同的線元后得到的矢量微元dB的方向都是相同的，方向沿Z軸負(fù)方向。因此，可以判斷矢量微元的方向統(tǒng)一；

然后根據(jù)步驟(2)選擇方法一根據(jù)矢量計(jì)算法則直接將矢量積分化成標(biāo)量積分進(jìn)行計(jì)算：

由圖可知，在不同的位置選擇線元，位置矢量的大小和夾角θ都不相同，所以此處的r和θ都是變量。且根據(jù)幾何知識(shí)可得：

4 總結(jié)

矢量微積分在大學(xué)物理中有著非常廣泛的應(yīng)用，因此正確解答矢量積分運(yùn)算是學(xué)好大學(xué)物理的基礎(chǔ)。矢量積分計(jì)算的關(guān)鍵是將矢量積分轉(zhuǎn)化為標(biāo)量積分。本文的主要特色有兩點(diǎn)：

第一，對(duì)大學(xué)物理中常見的矢量積分進(jìn)行了分類，便于學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握；

第二，給出了將矢量積分轉(zhuǎn)化為標(biāo)量積分的通用方法和基本步驟，并借助五個(gè)典型的例題詳細(xì)介紹了該方法的具體應(yīng)用。相對(duì)于其他矢量積分的方法[2-6]來說，本文給出的方法緊扣矢量積分計(jì)算的關(guān)鍵因素，淺顯易懂，計(jì)算過程簡(jiǎn)單快捷，且通用性更強(qiáng)。經(jīng)過教學(xué)實(shí)踐證明，學(xué)生更容易理解并掌握這種矢量積分的方法。

[1]馬新澤.淺析大學(xué)物理中的微積分教學(xué)[J].昌吉學(xué)院學(xué)報(bào),2009（2）：111-114.

[2]秦朝峰.電磁學(xué)中矢量點(diǎn)叉積的積分運(yùn)算[J].物理通報(bào),2014（1）：23-26.

[3]馬文蔚,周雨青.物理學(xué)教程(第二版)上冊(cè)[M].北京：高等教育出版社,2006：57-59.

[4]馬文蔚,周雨青.物理學(xué)教程(第二版)下冊(cè)[M].北京：高等教育出版社,2006：81-83.

[5]漆安慎,杜嬋英.普通物理學(xué)教程：力學(xué)[M].北京：高等教育出版社,1997：114-122.

[6]梁燦彬.普通物理學(xué)教程：電磁學(xué)(第二版)[M].北京：高等教育出版社,2004：227-243.

〔責(zé)任編輯 高彩云〕

Calculation Methods of Vector Integral in College Physics

CHEN Chun-cai,YU Xiao-gang,YANG Fang
（Department of Basic Science,Minnan University of Science and Technology,Shishi Fujian,362700）

There is widespread application of the vector integral in college physics.During the teaching practice,it found that the calculation of vector integral is difficult to be grasped by students.Therefore,the common types of vector integral of the college physics are summarized in this paper.And this paper has also given the general method of vector integral,which can help students to understand and grasp the calculation method of vector integral.

college physics;vector integral;scalar integral;calculation method

O411.1

A

1674-0874(2016)03-0033-03

2016-01-20

閩南理工學(xué)院教學(xué)改革與研究項(xiàng)目資助[2015B24]

陳春彩（1986-）,女，福建泉州人，碩士，講師，研究方向：大學(xué)物理教育。