明晰內(nèi)涵領(lǐng)悟本質(zhì)——以一道中考數(shù)學(xué)試題的證明及其本質(zhì)的挖掘?yàn)槔?/h1>
2016-11-24 10:06:23北京教育學(xué)院朝陽(yáng)分院白雪峰
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年14期
☉北京教育學(xué)院朝陽(yáng)分院 白雪峰
明晰內(nèi)涵領(lǐng)悟本質(zhì)——以一道中考數(shù)學(xué)試題的證明及其本質(zhì)的挖掘?yàn)槔?/p>
☉北京教育學(xué)院朝陽(yáng)分院白雪峰
學(xué)生的幾何素養(yǎng)是指學(xué)生在解決具有一定背景的問(wèn)題的過(guò)程中，面對(duì)不同形式的幾何對(duì)象，以及在使用適當(dāng)?shù)膸缀沃R(shí)和技能進(jìn)行探究過(guò)程中所表現(xiàn)出的幾何思維水平、幾何推理能力和應(yīng)用能力.［1］幾何推理能力在國(guó)際數(shù)學(xué)教育界被一致視為基礎(chǔ)且重要的能力之一，在平面幾何教學(xué)中，教師要特別重視幾何直觀和多樣表征對(duì)于學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的影響，關(guān)注圖形直觀對(duì)于學(xué)生理解幾何推理過(guò)程的重要價(jià)值，從而不斷發(fā)展學(xué)生的幾何推理能力.［2］
下面筆者以2014年北京市中考數(shù)學(xué)第24題的證明及其本質(zhì)的挖掘?yàn)槔?，談?wù)勍ㄟ^(guò)改變問(wèn)題已知條件，探求幾何圖形本質(zhì)，拓寬幾何思維空間，引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)問(wèn)題的證明和拓展過(guò)程，明晰幾何問(wèn)題內(nèi)涵，領(lǐng)悟幾何問(wèn)題本質(zhì)，以此發(fā)揮幾何教學(xué)育人功能的實(shí)踐與思考.［3］
一、原中考試題的解答及其分析
在正方形ABCD外側(cè)作直線AP，點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)為E，連接BE、DE，其中DE交直線AP于點(diǎn)F.
（1）依題意補(bǔ)全圖1；
（2）若∠PAB=20°，求∠ADF的度數(shù)；
（3）如圖2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示線段AB、FE、FD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.
圖1
圖2
本題的（1）和（2），利用軸對(duì)稱圖形、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，是比較容易得到答案的，這兩問(wèn)的主要目的是讓考生認(rèn)識(shí)和熟悉試題的已知條件、圖形特征，并為解決（3）鋪路.本題重點(diǎn)是（3），需要先猜想出結(jié)論，然后還要證明結(jié)論的正確性，這也是本題的難點(diǎn)所在.直接解決（3），并挖掘圖形和問(wèn)題的本質(zhì)特征，將問(wèn)題進(jìn)行變化和一般化推廣.
解：（1）和（2）略.
（3）猜想：FE2+FD2=2AB2.
證明：如圖3，連接AE、BF和BD.
由軸對(duì)稱性質(zhì)可得：
FE=BF，AB=AE=AD，∠ABF=∠AEF=∠ADF.
所以A、F、B、D四點(diǎn)共圓.
在正方形ABCD中，
在Rt△BFD中，
由勾股定理得BF2+FD2=BD2.
所以FE2+FD2=2AB2.
圖3
圖4
點(diǎn)評(píng)反思：回顧（3）的證明過(guò)程，不難發(fā)現(xiàn)本問(wèn)的結(jié)論只與正方形ABCD中的等腰直角△BAD有關(guān)，而與等腰直角△BDC無(wú)關(guān)，因此，可以去掉等腰直角△BDC，從而可以將圖3變成圖4.
筆者認(rèn)為，在平時(shí)的幾何教學(xué)中，教師還要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，將上述問(wèn)題的已知條件弱化，其結(jié)論是否還能成立或結(jié)論會(huì)發(fā)生怎樣的變化？
事實(shí)上，通過(guò)研究不難發(fā)現(xiàn)，我們可以將本問(wèn)題變化到更一般的情形，即將已知條件中的△BAD為等腰直角三角形改變?yōu)椤鰾AD為等腰三角形，原問(wèn)題的結(jié)論只會(huì)發(fā)生細(xì)微變化，同樣也是一個(gè)比較漂亮的結(jié)論.
二、原中考試題的變化
下面，我們先將等腰直角三角形變化為一個(gè)特殊的等腰三角形，即等邊三角形，然后將其變化到一般的等腰三角形的情形.
變化問(wèn)題1：
已知：在等邊△ABD的外側(cè)作直線AP，點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)為E，連接BE，DE，其中DE交直線AP于點(diǎn)F.求證：FE2+FD2=AB2+FE·FD.
圖5
證明：如圖5，連接FB、AE.由軸對(duì)稱性質(zhì)可得：
FE=FB，AB=AE=AD，
∠ABF=∠AEF=∠ADF.
所以A、F、B、D四點(diǎn)共圓.
在等邊△ABD中，∠BAD=60°，
AB=BD.
所以∠BFD=∠BAD=60°.
過(guò)點(diǎn)B作BG⊥FD于G.
在Rt△BGF中，∠BFG=60°，∠FBG=30°.
在Rt△BGD中，由勾股定理得：
當(dāng)△ABD為一般的等腰三角形時(shí)，則有下面的問(wèn)題.
變化問(wèn)題2：
已知：在等腰△ABD（AB=AD）外側(cè)作直線AP，點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)為E，連接BE、DE，其中DE交直線AP于點(diǎn)F.
求證：FE2+FD2=BD2+2FE·FD·cos∠BAD.
（為使結(jié)論簡(jiǎn)明，我們就不用AB表示BD了.）
證明：如圖6，連接FB、AE.
由軸對(duì)稱性質(zhì)可得：
FE=BF，AB=AE=AD，∠ABF=∠AEF=∠ADF.
所以A、B、D、F四點(diǎn)共圓.
所以∠BFD=∠BAD.
在△FBD中，由余弦定理得；
BD2=BF2+FD2-2BF·FD· cos∠BFD.
所以FE2+FD2=BD2+2FE·FD· cos∠BAD.
當(dāng)∠BAD=60°時(shí)，F(xiàn)E2+FD2=BD2+FE·FD；
當(dāng)∠BAD=90°時(shí)，F(xiàn)E2+FD2=BD2=2AB2；
當(dāng)∠BAD=120°時(shí)，F(xiàn)E2+FD2=BD2-FE·FD；
……
圖6
從以上的特殊情況可以知道，原中考試題是上述特殊情況之一.
反思上述問(wèn)題已知條件的改變過(guò)程可以看到，從正方形到等腰直角三角形，再到等邊三角形，最后變化為等腰三角形，所得結(jié)論也隨之更加一般化，但問(wèn)題論證的基本過(guò)程和基本方法是一致的，其中的不變之處就是A、B、D、F四點(diǎn)共圓，只要能抓住這一問(wèn)題解決的根本，也就掌握了本問(wèn)題的實(shí)質(zhì).
初中平面幾何中的推理證明既是教學(xué)中的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，筆者認(rèn)為，在平面幾何學(xué)習(xí)中，學(xué)生最重要的任務(wù)是學(xué)會(huì)用科學(xué)、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言正確地表達(dá)邏輯思維過(guò)程.因此，在課堂教學(xué)中，教師要通過(guò)精良的幾何問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)圖形直觀發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的幾何特征，正確運(yùn)用圖形記號(hào)、數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言和邏輯推理的方法表達(dá)平面幾何中的演繹推理過(guò)程.［4］從而指導(dǎo)學(xué)生掌握邏輯推理證明的方法，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維能力，改變學(xué)生單純模仿教科書上幾何推理證明的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，提高數(shù)學(xué)學(xué)科的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).
1.蘇洪雨.學(xué)生幾何素養(yǎng)的內(nèi)涵與評(píng)價(jià)研究［D］.上海：華東師范大學(xué)，2009.
2.綦春霞，王瑞霖.中英學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的差異分析［J］.上海教育科研，2012（6）.
3.白雪峰，王敬如.追根溯源揭示本質(zhì)——一道有背景的中考試題的證明和拓展［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2015（5）.
4.劉京莉.學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)幾何邏輯思維過(guò)程［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2007（5）.Z
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一、原中考試題的解答及其分析
在正方形ABCD外側(cè)作直線AP，點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)為E，連接BE、DE，其中DE交直線AP于點(diǎn)F.
（1）依題意補(bǔ)全圖1；
（2）若∠PAB=20°，求∠ADF的度數(shù)；
（3）如圖2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示線段AB、FE、FD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.
圖1
圖2
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解：（1）和（2）略.
（3）猜想：FE2+FD2=2AB2.
證明：如圖3，連接AE、BF和BD.
由軸對(duì)稱性質(zhì)可得：
FE=BF，AB=AE=AD，∠ABF=∠AEF=∠ADF.
所以A、F、B、D四點(diǎn)共圓.
在正方形ABCD中，
在Rt△BFD中，
由勾股定理得BF2+FD2=BD2.
所以FE2+FD2=2AB2.
圖3
圖4
點(diǎn)評(píng)反思：回顧（3）的證明過(guò)程，不難發(fā)現(xiàn)本問(wèn)的結(jié)論只與正方形ABCD中的等腰直角△BAD有關(guān)，而與等腰直角△BDC無(wú)關(guān)，因此，可以去掉等腰直角△BDC，從而可以將圖3變成圖4.
筆者認(rèn)為，在平時(shí)的幾何教學(xué)中，教師還要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，將上述問(wèn)題的已知條件弱化，其結(jié)論是否還能成立或結(jié)論會(huì)發(fā)生怎樣的變化？
事實(shí)上，通過(guò)研究不難發(fā)現(xiàn)，我們可以將本問(wèn)題變化到更一般的情形，即將已知條件中的△BAD為等腰直角三角形改變?yōu)椤鰾AD為等腰三角形，原問(wèn)題的結(jié)論只會(huì)發(fā)生細(xì)微變化，同樣也是一個(gè)比較漂亮的結(jié)論.
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圖5
證明：如圖5，連接FB、AE.由軸對(duì)稱性質(zhì)可得：
FE=FB，AB=AE=AD，
∠ABF=∠AEF=∠ADF.
所以A、F、B、D四點(diǎn)共圓.
在等邊△ABD中，∠BAD=60°，
AB=BD.
所以∠BFD=∠BAD=60°.
過(guò)點(diǎn)B作BG⊥FD于G.
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變化問(wèn)題2：
已知：在等腰△ABD（AB=AD）外側(cè)作直線AP，點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)為E，連接BE、DE，其中DE交直線AP于點(diǎn)F.
求證：FE2+FD2=BD2+2FE·FD·cos∠BAD.
（為使結(jié)論簡(jiǎn)明，我們就不用AB表示BD了.）
證明：如圖6，連接FB、AE.
由軸對(duì)稱性質(zhì)可得：
FE=BF，AB=AE=AD，∠ABF=∠AEF=∠ADF.
所以A、B、D、F四點(diǎn)共圓.
所以∠BFD=∠BAD.
在△FBD中，由余弦定理得；
BD2=BF2+FD2-2BF·FD· cos∠BFD.
所以FE2+FD2=BD2+2FE·FD· cos∠BAD.
當(dāng)∠BAD=60°時(shí)，F(xiàn)E2+FD2=BD2+FE·FD；
當(dāng)∠BAD=90°時(shí)，F(xiàn)E2+FD2=BD2=2AB2；
當(dāng)∠BAD=120°時(shí)，F(xiàn)E2+FD2=BD2-FE·FD；
……
圖6
從以上的特殊情況可以知道，原中考試題是上述特殊情況之一.
反思上述問(wèn)題已知條件的改變過(guò)程可以看到，從正方形到等腰直角三角形，再到等邊三角形，最后變化為等腰三角形，所得結(jié)論也隨之更加一般化，但問(wèn)題論證的基本過(guò)程和基本方法是一致的，其中的不變之處就是A、B、D、F四點(diǎn)共圓，只要能抓住這一問(wèn)題解決的根本，也就掌握了本問(wèn)題的實(shí)質(zhì).
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1.蘇洪雨.學(xué)生幾何素養(yǎng)的內(nèi)涵與評(píng)價(jià)研究［D］.上海：華東師范大學(xué)，2009.
2.綦春霞，王瑞霖.中英學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的差異分析［J］.上海教育科研，2012（6）.
3.白雪峰，王敬如.追根溯源揭示本質(zhì)——一道有背景的中考試題的證明和拓展［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2015（5）.
4.劉京莉.學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)幾何邏輯思維過(guò)程［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2007（5）.Z
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