南昌大學(xué)附屬中學(xué) (330047)
周開財(cái)
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例析運(yùn)用洛必達(dá)法則求解二道導(dǎo)數(shù)壓軸題
南昌大學(xué)附屬中學(xué) (330047)
周開財(cái)
(1)證明:當(dāng)λ=0時(shí),f(x)≥0;
(2)若當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥0,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
解法一:(1)當(dāng)λ=0時(shí),f(x)=x+e-x-1,則f′(x)=1-e-x.令f′(x)=0,解得x=0.當(dāng)x<0時(shí),f′(x)<0,∴f(x)在(-∞,0)上是減函數(shù);當(dāng)x>0時(shí),f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
故f(x)在x=0處取得最小值f(0)=0,即f(x)≥0.
(2)由已知x≥0,∴e-x-1≤0.
以上在處理第(2)問時(shí)對(duì)參數(shù)λ的范圍分類討論較難想到,現(xiàn)利用洛必達(dá)法則處理如下:
解法二:(2)由已知x≥0.
②當(dāng)λ=0時(shí),f(x)=x+e-x-1,由(1)知f(x)≥0,符合題意.
例2 設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a∈R.
(1)討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說明理由;
(2)若?x>0,f(x)≥0成立,求a的取值范圍.
③當(dāng)a<0時(shí),Δ>0.由g(-1)=1>0可得x1<-1,當(dāng)x∈(-1,x2)時(shí),g(x)>0,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(x2,+∞)時(shí),g(x)<0,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.故函數(shù)f(x)有一個(gè)極值點(diǎn).
綜上所述,a的取值范圍是0≤a≤1.
以上在處理第(2)問時(shí)較難想到,現(xiàn)利用洛必達(dá)法則處理如下:
解法二:(2)由題意?x>0,f(x)≥0成立,即a(x-x2)≤ln(x+1)恒成立.
①當(dāng)x=1時(shí),x-x2=0,原不等式為0≤ln2恒成立;
綜上所述,a的取值范圍是0≤a≤1.
一般地,此類含參的函數(shù)綜合問題往往從三個(gè)角度求解:一是直接求解,通過對(duì)參數(shù)的討論來研究函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)一步確定參數(shù)的取值范圍;二是憑借函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù)的取值范圍,然后對(duì)參數(shù)取值范圍以外的部分進(jìn)行分析驗(yàn)證其不符合題意,即可確定所求;三是分離參數(shù),求相應(yīng)函數(shù)的最值或取值范圍,當(dāng)函數(shù)的最值不好求解時(shí),用洛必達(dá)法則往往能化難為易,使問題得到解決.