巧用K字型，品基本圖形在相似中的妙用

施長(zhǎng)燕

【內(nèi)容摘要】文章通過(guò)對(duì)幾何解題中一些“似曾相識(shí)”的圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)靥釤?，就?huì)發(fā)現(xiàn)一些經(jīng)驗(yàn)型的“基本圖形”，再運(yùn)用這樣的“基本圖形”去解題。這樣學(xué)生不僅可以迅速地抓住問(wèn)題的本質(zhì)，思考問(wèn)題的時(shí)間也大大縮短，解題效率得到提高。文章以K字型為例，來(lái)說(shuō)明它在相似解題中的運(yùn)用，為我們學(xué)生的解題拓展了思路，更容易看清事物的本質(zhì)，從而有效的進(jìn)行解題，同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)基本圖形在相似中的妙用。

【關(guān)鍵詞】K字型相似 基本圖形 構(gòu)造 妙用

從教至今，我們的學(xué)生學(xué)習(xí)幾何時(shí)遇到相似有關(guān)的內(nèi)容往往愁眉不展，而近年的中考綜合題中總會(huì)穿插著相似的應(yīng)用，所以相似這塊的內(nèi)容要求學(xué)生熟練掌握。

在幾何解題中對(duì)一些“似曾相識(shí)”的圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)靥釤挘蜁?huì)發(fā)現(xiàn)一些經(jīng)驗(yàn)型的“基本圖形”，再運(yùn)用這樣的“基本圖形”去解題。這樣學(xué)生可以迅速地抓住問(wèn)題的本質(zhì)，思考問(wèn)題的時(shí)間也大大縮短，解題效率得到提高。而相似中的基本圖形有A字型，X字型，K字型等。一旦學(xué)生學(xué)會(huì)關(guān)注這些基本圖形，并讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用基本圖形解題，那對(duì)于復(fù)雜的幾何圖形可以分解出基本圖形個(gè)個(gè)擊破，解題往往變得得心應(yīng)手！在這些基本圖形的應(yīng)用中“K字型”的應(yīng)用比較廣泛，下面我將結(jié)合自己多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)追溯“K字型”的起源，談?wù)勂湓谙嗨浦械膽?yīng)用。

一、追溯K字型的根源

1.初見(jiàn)K字型

回顧勾股定理中的“總統(tǒng)證法”，將兩個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的直角梯形，以下是“總統(tǒng)”證法的用圖：

在勾股定理的“總統(tǒng)證法”中我們發(fā)現(xiàn)一直線上出現(xiàn)三個(gè)直角，這就是我們第一次接觸“K字型”這個(gè)基本圖形。數(shù)學(xué)中的基本圖形分為兩種：課本中的概念、公式和定理所對(duì)應(yīng)的圖形叫做理論型基本圖形；重要的例題和習(xí)題所對(duì)應(yīng)的圖形叫做經(jīng)驗(yàn)型基本圖形，K字型屬于經(jīng)驗(yàn)型基本圖形。初見(jiàn)“K字型”我們可以感受到幾何學(xué)習(xí)中內(nèi)藏奧秘，需要我們?nèi)ヌ綄?、解答，那么這個(gè)基本圖形究竟如何應(yīng)用呢？

2.K字型常見(jiàn)形式的探討

（1）K字型的特殊形式（一線三直角）

我們從勾股定理的證明開(kāi)始，我們發(fā)現(xiàn)如果一條直線上出現(xiàn)三個(gè)直角就會(huì)出現(xiàn)基本圖形——K字型，在這個(gè)基本圖形中我們發(fā)現(xiàn)存在著相似，因此在教學(xué)中我們要引導(dǎo)學(xué)生來(lái)進(jìn)行證明。

條件：B，C，E三點(diǎn)共線，∠B= ∠ACD=∠E=90°

結(jié)論：△ABC∽△CED

證明：∵∠B=∠ACD=∠CED=90°

∵∠ACE=∠B+∠A=∠ACD+∠DCE

∴∠A=∠DCE

∴△ABC∽△CED

通過(guò)證明歸納得到：如果出現(xiàn)一條直線上出現(xiàn)三個(gè)直角簡(jiǎn)稱“一線三直角”這個(gè)特殊的K字型，得到一組相似，這個(gè)結(jié)論在解題中可以拿來(lái)靈活應(yīng)用。

（2）K字型的一般形式（一線三等角）

如果把一直線上的三個(gè)直角換成三個(gè)相等的角，同樣K字型還是存在，那么換成三個(gè)相等的角之后K字型的相似是否依然存在呢？我們繼續(xù)探討。

條件：B，D，C三點(diǎn)共線，∠B= ∠EDF=∠C=α

結(jié)論：△BDE∽△CFD

證明：∵∠B=∠EDF=∠C=α

∵∠EDC=∠B+∠E=∠EDF+∠FDC

∴∠E=∠FDC

∴△BDE∽△CFD

通過(guò)上面的證明我們同樣發(fā)現(xiàn)一直線上三個(gè)角相等簡(jiǎn)稱（一線三等角）會(huì)出現(xiàn)K字型這個(gè)基本圖形，同樣存在K字型的相似。

從K字型的出現(xiàn)到常見(jiàn)形式的探討，我們發(fā)現(xiàn)“一線三等角”的K字型中存在著相似，這幫助我們學(xué)生拓展解題思路，看清事物本質(zhì)，從而有效地進(jìn)行解題。下面繼續(xù)結(jié)合典型的例子，體會(huì)K字型在相似中的妙用。

二、品味K字型在相似中的妙用

在討論完K字型的基本應(yīng)用后，在學(xué)習(xí)相似中我們要幫助學(xué)生深入挖掘K字型這個(gè)基本圖形，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，使學(xué)生肯質(zhì)疑、善思考，從而幫助學(xué)生提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。接下來(lái)為了把K字型融會(huì)貫通地使用，我打算從找出K字型、構(gòu)造K字型兩方面來(lái)品味相似中基本圖形應(yīng)用的精彩。

1.善于觀察，巧用K字型

K字型這一基本圖形往往隱藏于復(fù)雜的幾何圖形中，對(duì)于復(fù)雜的幾何圖形首先我們要學(xué)會(huì)分解，把它從圖形中找出，根據(jù)它的特征進(jìn)行相似中應(yīng)用，從而提高學(xué)生的幾何解題能力。在尋找是否存在K字型的過(guò)程中，可以根據(jù)K字型的特征嘗試著尋找一直線上是否存在三等角（或三直角）。K字型相似三角形往往是以等腰三角形、矩形為背景，下面我將結(jié)合具體的例子來(lái)體會(huì)如何順利找出K字型，并巧妙的運(yùn)用K字型進(jìn)行精彩的解題。

【例1】三角形中的K字型

如圖1，等邊△ABC中，邊長(zhǎng)為6，D是BC上動(dòng)點(diǎn)，∠EDF=60°。求證：△BDE∽△CFD

【思路分析】由題意得∠B=∠C= ∠EDF=60°并且頂點(diǎn)B、D、C在直線BC上，這屬于典型的K字型相似，得出△BDE與△CFD相似。

圖1

點(diǎn)評(píng)：該題中學(xué)生可以輕松找出K字型，讓學(xué)生覺(jué)得找出K字型不是一件難事，有助于學(xué)生樹(shù)立學(xué)習(xí)的信心。在輕松找出三角形中K字型，我們來(lái)觀察如何找出矩形和等腰梯形中的K字型。

【例2】矩形中的K字型

已知一個(gè)矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（11，0），點(diǎn)B（0，6），點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、P折疊該紙片，得點(diǎn)B′和折痕OP。設(shè)BP=t。

（Ⅰ）如圖2，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線PB′上，得點(diǎn)C′和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，當(dāng)點(diǎn)C′恰好落在邊OA上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）。

圖2

【思路分析】

（1）對(duì)于題中（Ⅰ）發(fā)現(xiàn)通過(guò)兩次翻折得出∠OPQ=90°，繼而發(fā)現(xiàn)K 字型相似的存在，由∠OBP=∠OPQ= ∠PCQ=90°易證得△OBP∽△PCQ。

（2）問(wèn)題（Ⅱ）由K字型的啟示首先過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于E，構(gòu)造新的K字型易證得△PC′E∽△C′QA：

點(diǎn)評(píng)：該題由于矩形的特殊性，可以利用一線三直角的K字型進(jìn)行解決，在（Ⅰ）中我們成功的找到了K字型，但（Ⅱ）的解題中我們是構(gòu)造了K字型，那如何構(gòu)造K字型下面將繼續(xù)探討。

通過(guò)上面的探討發(fā)現(xiàn)任何一個(gè)復(fù)雜的幾何圖形都是由若干個(gè)基本圖形組合而成的，將一個(gè)復(fù)雜圖形中的基本圖形“離析”出來(lái)，是解決問(wèn)題必須具備的重要能力之一，而這種“離析”是在真正理解基本圖形上才能進(jìn)行的。在挖掘題中多個(gè)隱含的基本圖形時(shí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和圖形感知也將得到發(fā)展。

2.勇于構(gòu)造，活用K字型

當(dāng)通過(guò)觀察找不出K字型如上面例2中的（Ⅱ）需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出K字型使問(wèn)題得以解決。在下面結(jié)合具體例子討論幾種常見(jiàn)的構(gòu)造方法。

【例3】如圖3，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在線段BC上任取一點(diǎn)E，連接DE，作EF⊥DE，交直線AB于點(diǎn)F。若點(diǎn)F在線段AB上，且AF=CE，求CE的長(zhǎng)。

【思路分析】在本題中出現(xiàn)了一直線上兩直角的K字型的不完整圖形，因此我們可以用作高的方法構(gòu)造K字型，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H，再通過(guò)證明△BEF∽ △HDE加以解決；

圖3

點(diǎn)評(píng)：以上例題是我們熟知K字型的基礎(chǔ)上，利用作高來(lái)構(gòu)造K字型，運(yùn)用相似的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行順利的解題。

通過(guò)上面探討可以幫助學(xué)生歸納在運(yùn)用K字型這個(gè)基本圖形時(shí)分以下兩種情況：

（1）題目具備K字型的所有特征，可以直接通過(guò)這個(gè)基本圖形的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用；

（2）題目具備K字型的部分特征，可以添加適當(dāng)?shù)妮o助線或稍作變形構(gòu)造出基本圖形。

總之，復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組合而成的，如果解題中通過(guò)觀察、分析，快速地從復(fù)雜圖形中分離出基本圖形，，定能將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，事半功倍。通過(guò)對(duì)K字型基本圖形的多種應(yīng)用，可以獲得常用的解題思路，從而進(jìn)行有效的解題。

三、體驗(yàn)無(wú)處不在的K字型，感受一法解多題

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求，隨著學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累和研究能力的發(fā)展，教師應(yīng)逐步提高學(xué)生探究性水平的層次，為學(xué)生完善學(xué)習(xí)方式提供有利的條件。在品味完K字型在相似中的妙用，我們要會(huì)進(jìn)行知識(shí)的遷移，結(jié)合下面精選的2題來(lái)體驗(yàn)無(wú)處不在的K字型從而提高學(xué)生的幾何解題能力。

題1：如圖正五邊形ABCDE，B'是邊BC上任意一點(diǎn)，以AB'為邊（在BC的上方）向外作正五邊形AB'C'D'E'，連接CC'，則∠B'CC'=_____°。

題2：如圖，已知直線l1∥l2∥l3∥l4，相鄰兩條平行直線間的距離都是2，線段AB的兩端點(diǎn)分別在直線l1、l3上并與l2相交于點(diǎn)E，若以線段AB為一邊作正方形ABCD，C、D兩點(diǎn)恰好分別在直線l2、l4上，則sinα=_____。

以上2題表面不同，但本質(zhì)相同，都可以通過(guò)發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造出K字型的基本圖形，達(dá)到運(yùn)用基本圖形解決問(wèn)題的目的。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在幾何方面的學(xué)習(xí)要求學(xué)生“能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關(guān)系，利用直觀來(lái)進(jìn)行思考”。當(dāng)學(xué)生成功掌握了K字型這個(gè)基本圖形所隱含的基本性質(zhì)和基本結(jié)論，在解題時(shí)只要根據(jù)試題特征，巧妙構(gòu)造基本圖形，運(yùn)用其知識(shí)和方法，為解題思路的探求提供思維方向。在平時(shí)教學(xué)中要注重滲透基本圖形的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生成功地從復(fù)雜圖形中分解出基本圖形，并靈活地運(yùn)用基本圖形解決有關(guān)問(wèn)題。

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（作者單位：江蘇常熟市濱江實(shí)驗(yàn)中學(xué)）