白敏茹+黃孝龍+顧廣澤+趙雪瑩

摘 要：針對醫(yī)學(xué)圖像和視頻圖像的恢復(fù)問題，基于張量表示，研究有限樣本下的低秩張量數(shù)據(jù)恢復(fù)問題，在張量奇異值分解（t-SVD）理論的基礎(chǔ)上，提出了張量秩校正模型和兩階段張量秩校正方法，第一階段是用張量核范數(shù)最小化模型求得預(yù)估解，第二階段，根據(jù)預(yù)估解，求解張量秩校正模型，獲得更高精度的解.構(gòu)建了求解張量秩校正模型和張量核范數(shù)最小化模型的張量近似點算法，使得可以在實數(shù)域上對張量直接進(jìn)行計算，并且從理論上證明了該算法的收斂性.通過對醫(yī)學(xué)圖像和視頻圖像的數(shù)值仿真實驗，驗證了本文所提出模型和方法的有效性，實驗結(jié)果顯示，張量秩校正模型和方法能夠取得更高的恢復(fù)精度.

關(guān)鍵詞：圖像恢復(fù)；張量奇異值分解；張量秩校正；張量近似點算法

中圖分類號：TP751 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1674-2974（2016）10-0148-07

Abstract：Tensor-based restoration of medical images and video images was studied with limited samples. On the basis of the theory of tensor singular value decomposition （t-SVD）， a tensor rank-correction model （CRTNN） was proposed to correct the tensor nuclear norm minimization model （TNN）. A two-stage rank correction method is given as follows： the first stage is used to generate a pre-estimator by solving the TNN model， and the second stage is to solve the CRTNN model to generate a high-accuracy recovery by the pre-estimator. A tensor proximal point algorithm was proposed to solve the CRTNN model and the TNN model， making it possible to calculate tensor directly in the real field. The convergence of the algorithm was proved in theory. Numerical experiments of medical images and video images verify the efficiency of the proposed model and method. The experiment results show that tensor rank-correction model and method can achieve higher-accuracy recovery.

Key words：image restoration；t-SVD； tensor rank-correction model； tensor proximal point algorithm

隨著電子技術(shù)和成像技術(shù)的發(fā)展，從醫(yī)學(xué)圖像到遙感圖像，從導(dǎo)彈精確制導(dǎo)，到人臉識別及指紋識別再到具有視覺功能的智能機器人，人類活動的方方面面都會產(chǎn)生或涉及到大量的高維圖像.高維圖像已經(jīng)成為一種重要的多媒體形式，廣泛存在于人們的日常生活中.圖像在形成，傳輸和記錄的過程中受多種因素的影響，圖像的質(zhì)量會有所下降，典型表現(xiàn)為色彩模糊和有噪聲干擾等.這一降質(zhì)的過程被稱為圖像的退化.圖像恢復(fù)的目的就是盡可能地恢復(fù)退化了的高維圖像的本來面目.

傳統(tǒng)的圖像處理方法是基于向量和矩陣的表示形式，往往破壞了這些數(shù)據(jù)的原始空間結(jié)構(gòu)，在分析過程中不能夠很好地刻畫這些數(shù)據(jù)的本質(zhì)和充分挖掘其內(nèi)部特性.張量作為向量和矩陣表示的高階推廣，能夠更好地表達(dá)高階數(shù)據(jù)復(fù)雜的本質(zhì)結(jié)構(gòu)，已被廣泛應(yīng)用于計算機視覺與圖像、人臉識別、醫(yī)學(xué)圖像和統(tǒng)計信號處理等研究領(lǐng)域中[1-6].

高維圖像數(shù)據(jù)往往具有低維屬性，張量完備化問題就是利用張量數(shù)據(jù)的低秩結(jié)構(gòu)，是一種在有限樣本或測量數(shù)據(jù)下最小化張量的秩的優(yōu)化問題.最小化張量的秩是NP難問題，通常的處理方法有：1）將張量轉(zhuǎn)化成矩陣，然后求解矩陣完備化問題[7]；2）用特殊的張量分解方法來分解張量，如CANDECOMP/PARA-FAC（CP）分解，Tucker分解等方法.

由于矩陣的核范數(shù)是矩陣秩的緊的凸逼近，因此對矩陣完備化問題的求解一般是將其轉(zhuǎn)化為矩陣核范數(shù)最小化問題求解.對矩陣核范數(shù)最小化問題的求解有近似點算法（PPA）[8]，交替方向方法（ADM），加速近似梯度方法（APG）[9].雖然低秩矩陣完備化問題得到很好發(fā)展，但張量完備化問題研究還很不完善.不同于矩陣秩只有一種定義，張量秩有多種定義.傳統(tǒng)上主要有兩種張量秩的定義，CP秩和Tucker秩，它們分別是基于CP分解和 Tucker分解的.將張量展開成矩陣，利用展開矩陣性質(zhì)近似逼近張量的秩，是常用的處理方法.例如：Gandy[2]等用各片分別展開矩陣的核范數(shù)的和作為張量秩的近似逼近；Liu[5]等進(jìn)一步將各片分別展開矩陣的核范數(shù)通過加權(quán)來近似張量的秩，并提出了HaLTRC算法求解該松弛模型（TSN）.然而這兩種逼近方法并不是張量秩函數(shù)的最緊的凸逼近[7].

Kilmer等[10]基于快速傅里葉變換可以將塊循環(huán)矩陣對角化的思想，提出了張量奇異值分解（T-SVD）方法，使得張量可以在傅里葉變換下實現(xiàn)快速分解.基于T-SVD， Semerci等[6]提出張量核范數(shù)概念，對于3階張量，利用張量核范數(shù)近似逼近張量的秩，建立了張量核范數(shù)最小化模型（TNN），構(gòu)建了交替方向方法（ADMM）求解該模型，并應(yīng)用于多線性數(shù)據(jù)的圖像壓縮和恢復(fù)，通過對比，TNN逼近比TSN逼近效果更好.但是該文沒有給出ADMM方法的收斂性結(jié)果，文中的ADMM算法一部分在實數(shù)域上計算，一部分在復(fù)數(shù)域上計算.與以往模型不一樣，TNN模型的目標(biāo)變量是定義在復(fù)數(shù)域即傅里葉域內(nèi)的矩陣，約束變量是定義在實數(shù)域的.因此，根據(jù)這個問題的特點，設(shè)計更加有效的具有收斂性的優(yōu)化算法，是亟需解決的一個問題.另外，文獻(xiàn)[11]指出，矩陣核范數(shù)在某些情況下不是矩陣秩的最緊凸逼近，如對角元素被高度樣本化，則矩陣核范數(shù)最小化模型求解低秩恢復(fù)問題的能力就會高度弱化，而矩陣核范數(shù)是張量核范數(shù)（TNN）的二階形式.本文針對以上兩個問題開展研究，主要貢獻(xiàn)有兩個：一是提出了張量秩校正模型（CRTNN）和兩階段張量秩校正方法，二是構(gòu)建了張量近似點算法，用于求解CRTNN模型和TNN模型，從理論上證明了該算法的收斂性.仿真實驗驗證了本文所提出模型和方法的有效性.結(jié)果顯示，在醫(yī)學(xué)圖像以及視頻圖像的恢復(fù)問題中，張量秩校正方法能夠取得更高的恢復(fù)精度.

圖1為醫(yī)學(xué)圖像和視頻圖像原始圖像.圖2，圖3分別為醫(yī)學(xué)圖像和視頻圖像在樣本率為20%（即有效信息只有20%）的情況時用TSN模型，TNN模型，CRTNN模型視覺恢復(fù)效果對比，從圖2，圖3的PSNR值對比和視覺恢復(fù)效果對比中，可以發(fā)現(xiàn)本文提出的CRTNN模型能得到更好的恢復(fù)效果.

圖4分別為醫(yī)學(xué)圖像和視頻圖像在TSN模型，TNN模型，CRTNN模型下對不同樣本率得到的相對誤差曲線對比.從中可以明顯看出：本文提出的張量秩校正方法對不同的樣本率得到的恢復(fù)圖像的相對誤差曲線都是最低的，表明本文提出的CRTNN模型能夠取得更高精度的恢復(fù)效果.

5 結(jié) 論

針對高維圖像恢復(fù)問題，本文提出了張量秩校正模型和兩階段張量秩校正方法，并提出了求解張量秩校正模型的張量近似點算法，從理論上分析了該算法的收斂性.仿真結(jié)果驗證了本文所提出模型和方法的有效性，結(jié)果表明，張量秩校正方法模型能夠取得更高的恢復(fù)精度.能否將該模型和算法推廣到四階及以上的圖像恢復(fù)問題？這個問題值得進(jìn)一步研究.

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