直擊中考題 尋寶大揭秘

謝燕

中考是對(duì)同學(xué)們?nèi)瓿踔袑W(xué)習(xí)的大檢閱，一道道中考題既是同學(xué)們要攀登和戰(zhàn)勝的一座座山峰，也是我們學(xué)習(xí)的一座座寶藏，讓我們一起通過(guò)中考題來(lái)探尋學(xué)習(xí)和解題的奧秘吧！

例1 （2016·江蘇南京）如圖1，AB、CD相交于點(diǎn)O，OC=2，OD=3，AC∥BD.EF是△ODB的中位線，且EF=2，則AC的長(zhǎng)為 .

【解析】因?yàn)镋F是△ODB的中位線，EF=2，

所以DB=4，又AC∥BD，

所以[ACDB]=[OCOD]=[23]，

所以AC=[83].

本題是三角形的中位線和三角形相似的小綜合題，只要牢固掌握基本圖形、基本知識(shí)就可迎刃而解.運(yùn)用相似求線段長(zhǎng)度是中考中常見(jiàn)的題型.

例2 （2016·江蘇無(wú)錫）如圖2，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，點(diǎn)C從A點(diǎn)出發(fā)，在邊AO上以2cm/s的速度向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，在邊BO上以1.5cm/s的速度向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過(guò)OC的中點(diǎn)E作CD的垂線EF，則當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)了 s時(shí)，以C點(diǎn)為圓心，1.5cm為半徑的圓與直線EF相切.

【解析】當(dāng)以點(diǎn)C為圓心，1.5cm為半徑的圓與直線EF相切時(shí)，CF=1.5，

∵AC=2t，BD=[32]t，

∴OC=8-2t，

OD=6-[32]t，

∵點(diǎn)E是OC的中點(diǎn)，

∴CE=[12]OC=4-t，

一種方法是通過(guò)證明△EFC∽△DOC，得到[EFOD]=[CFOC].

∴EF=[3OD2OC]=[36-32t2（8-2t）]=[98].

由勾股定理可知CE2=CF2+EF2，

∴（4-t）2=[32]2+[98]2，

解得t=[178]或t=[478]，

∵0≤t≤4，∴t=[178].

也可以通過(guò)證明△EFC∽△BOA，得到[CFCE]=[AOAB]，即[1.54-t]=[810]，解得t=[178].

本題綜合考查了相似三角形判定、性質(zhì)和切線的性質(zhì)，是動(dòng)態(tài)問(wèn)題，先要通過(guò)設(shè)未知數(shù)t，用t表示線段長(zhǎng)度，然后利用勾股定理或相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例建立關(guān)于t的方程，從而得解.

例3 （2016·江蘇蘇州）如圖3，AB是⊙O的直徑，D、E為⊙O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使得CD=BD，連接AC交⊙O于點(diǎn)F，連接AE、DE、DF.

（1）證明：∠E=∠C；

（2）設(shè)DE交AB于點(diǎn)G，若DF=4，cosB=[23]，E是[AB]的中點(diǎn)，求EG·ED的值.

【解析】（1）證明：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵CD=BD，∴AD垂直平分BC.

∴AB=AC，∴∠B=∠C.

又∵∠B=∠E，∴∠E=∠C.

（方法不唯一，也可連接BF進(jìn)行證明）

（2）連接OE.

∵∠CFD=∠E=∠C，

∴FD=CD=BD=4.

在Rt△ABD中，cosB=[23]，BD=4，

∴AB=6.

∵E是[AB]的中點(diǎn)，AB是⊙O的直徑，

∴∠AOE=90°.

∵AO=OE=3，∴AE=[32].

∵E是[AB]的中點(diǎn)，∴∠ADE=∠EAB，

∴△AEG∽△DEA，∴[AEEG]=[DEAE].

即EG·ED=AE2=18.

本題是圓和相似的綜合題，關(guān)鍵考查圓中弧、弦、角的轉(zhuǎn)化，由于相似是求乘積比較常用的方法，所以在圓中尋找或構(gòu)造與EG、ED相關(guān)的相似三角形是求解本題的關(guān)鍵.

通過(guò)對(duì)中考題研究可以發(fā)現(xiàn)，相似的主要作用是求比值、求乘積、求線段長(zhǎng)以及求與線段長(zhǎng)相關(guān)的量（比如時(shí)間）等.每一道中考題都是學(xué)習(xí)的寶藏，先探究，再回顧，將解題經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化為解題技能，相信努力的你會(huì)越來(lái)越優(yōu)秀.

（作者單位：江蘇省常熟市第一中學(xué)）