電氣化鐵道牽引供電系統(tǒng)加窗插值法的諧波分析

陳佳興，楊劍鋒

(蘭州交通大學(xué)自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，蘭州 730070)

?

電氣化鐵道牽引供電系統(tǒng)加窗插值法的諧波分析

陳佳興，楊劍鋒

(蘭州交通大學(xué)自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，蘭州 730070)

傳統(tǒng)電氣化鐵道牽引供電系統(tǒng)的諧波分析方法受頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)的影響，不能準(zhǔn)確地得到諧波相關(guān)參數(shù)。為此，提出一種采用加六項(xiàng)優(yōu)化余弦組合自卷積窗和四譜線(xiàn)插值結(jié)合的新算法對(duì)諧波進(jìn)行分析。首先采用復(fù)調(diào)制細(xì)化法分析信號(hào)中基波頻率附近的諧波成份，剩余信號(hào)加窗處理，利用離散傅里葉變換找出諧波頻點(diǎn)附近相應(yīng)離散頻譜的4根峰值譜線(xiàn)，利用插值算法對(duì)電氣化鐵道牽引供電系統(tǒng)中諧波相關(guān)參數(shù)頻率、幅值及相位進(jìn)行加權(quán)修正并推導(dǎo)出計(jì)算公式，從而進(jìn)一步提高分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。

電氣化鐵道；諧波分析；余弦組合自卷積窗；四譜線(xiàn)插值；離散傅里葉變換；復(fù)調(diào)制細(xì)化法

隨著我國(guó)電氣化鐵道的迅猛發(fā)展，電氣化鐵道作為高壓?jiǎn)蜗喾蔷€(xiàn)性負(fù)載，是引起電力系統(tǒng)諧波的主要污染源之一，使電能質(zhì)量日益惡化，影響系統(tǒng)安全運(yùn)行[1-5]，準(zhǔn)確地檢測(cè)與分析出電氣化鐵道牽引供電系統(tǒng)中諧波參數(shù)和諧波實(shí)際運(yùn)行情況顯得尤為重要。而現(xiàn)有的分析方法受頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)的影響，使分析出的結(jié)果不準(zhǔn)確[6-10]。頻譜泄露主要利用加窗函數(shù)來(lái)減小影響，而柵欄效應(yīng)主要利用數(shù)學(xué)插值法來(lái)減小誤差[11-13]。

據(jù)此，為進(jìn)一步減小誤差，提高檢測(cè)和分析的準(zhǔn)確性，提出了一種采用加六項(xiàng)優(yōu)化余弦組合自卷積窗和四譜線(xiàn)插值結(jié)合的新算法對(duì)諧波進(jìn)行分析。首先采用復(fù)調(diào)制細(xì)化法(zoomed FFT， ZFFT)對(duì)信號(hào)中頻率間隔較近的諧波成份進(jìn)行分析，然后將剩余信號(hào)加六項(xiàng)優(yōu)化余弦組合自卷積窗處理，并對(duì)加窗后的信號(hào)進(jìn)行離散傅里葉變換得到離散頻譜，找出相應(yīng)的峰值譜線(xiàn)，最后利用四譜線(xiàn)插值算法對(duì)諧波相關(guān)參數(shù)進(jìn)行加權(quán)修正，從而獲得較為準(zhǔn)確的諧波參數(shù)，由此可以進(jìn)一步的提高檢測(cè)諧波頻率、幅值和相位的準(zhǔn)確度，使其具有較好的實(shí)用價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值[14，15]。

1 窗函數(shù)的選擇

余弦組合窗函數(shù)表示為

(1)

一般情況下N?1，可得優(yōu)化余弦組合窗的離散傅里葉變換(DFT)簡(jiǎn)化表達(dá)式為

(2)

優(yōu)化余弦組合自卷積窗定義為若干個(gè)相同的余弦組合窗進(jìn)行時(shí)域卷積運(yùn)算，即

(3)

式中，p為自卷積余弦組合窗的個(gè)數(shù)，稱(chēng)為優(yōu)化余弦組合自卷積窗的階數(shù)。長(zhǎng)度為N的窗經(jīng)過(guò)p-1階自卷積運(yùn)算得到長(zhǎng)度為Nc=pN-p-1的序列，在卷積序列前后補(bǔ)零，即可得到p階優(yōu)化余弦組合自卷積窗，其長(zhǎng)度為Nc=pN。

根據(jù)卷積定理可知，函數(shù)在時(shí)域的卷積相當(dāng)于函數(shù)在頻域的相乘，所以p階優(yōu)化余弦組合自卷積窗的頻域表達(dá)式為

(4)

其中，W(ω)如式(2)所示。

p階優(yōu)化余弦組合自卷積窗主瓣寬度表示為

(5)

旁瓣峰值電平表示為

(6)

旁瓣衰減速率表示為

(7)

所以，2階優(yōu)化余弦組合自卷積窗的頻域表達(dá)式可表示為

(8)

由此可得：MLBW=24π/N，PSL=-196(dB)，DSL=132(dB/oct)

由表1和圖1可以看出，在序列長(zhǎng)度相同時(shí)，雖然此時(shí)6項(xiàng)優(yōu)化余弦組合窗的主瓣較寬，但其旁瓣特性?xún)?yōu)越。當(dāng)p=2時(shí)，6項(xiàng)優(yōu)化余弦組合2階自卷積窗與原始余弦組合窗主瓣寬度相同，但其旁瓣抑制特性更強(qiáng)。因此，在保證采樣長(zhǎng)度的前提下，選擇主瓣較寬的窗函數(shù)，來(lái)得到較好的旁瓣抑制特性。所以本文選擇旁瓣峰值電平最低，最快速下降的6項(xiàng)優(yōu)化余弦組合2階自卷積窗作為窗函數(shù)進(jìn)行加窗計(jì)算，來(lái)抑制諧波間頻譜泄漏的影響。

表1 余弦組合窗函數(shù)的性能參數(shù)比較

圖1 余弦組合自卷積窗函數(shù)時(shí)域和頻域幅度特性曲線(xiàn)

2 復(fù)調(diào)制細(xì)化法原理

復(fù)調(diào)制細(xì)化法的原理如圖2所示。

圖2 復(fù)調(diào)制細(xì)化法原理流程

(1)確定中心頻率和選抽比

設(shè)分析頻帶起始頻率為f1、截止頻率為f2，采樣頻率為fs，當(dāng)在頻帶(f1～f2)范圍內(nèi)作頻率細(xì)化分析時(shí)，則中心頻率fe=(f1+f2)/2。設(shè)復(fù)解析帶通濾波器的帶寬為fs/D，分析頻帶寬度為f2-f1，則選抽比D=fs/(f2-f1)。

(2)構(gòu)建復(fù)解析帶通濾波器

首先構(gòu)建一個(gè)實(shí)低通濾波器hL(n)，其帶寬為fs/2D，幅頻特性如圖3所示，沖擊響應(yīng)函數(shù)為

(9)

然后將該低通濾波器進(jìn)行復(fù)移頻，將通帶的中心頻率由0移至ωe，從而得到帶寬為fs/D的復(fù)解析帶通濾波器h(n)，其沖擊響應(yīng)函數(shù)為

(10)

由此可知，復(fù)解析帶通濾波器的沖擊響應(yīng)函數(shù)為復(fù)數(shù)，其理想幅頻特性如圖4所示。

實(shí)部表達(dá)式為

(11)

虛部表達(dá)式為

(12)

其中，ω0=2π(f1-f2)/2，ωe=2π(f1+f2)/2。

圖3 實(shí)低通濾波器幅頻特性

圖4 復(fù)解析帶通通濾波器幅頻特性

(3)選抽濾波

設(shè)選抽比為D，選抽出N個(gè)點(diǎn)，且只對(duì)選抽的這N個(gè)點(diǎn)進(jìn)行復(fù)解析帶通濾波。經(jīng)選抽濾波后使信號(hào)變成在頻帶(f1～f2)范圍內(nèi)的復(fù)信號(hào)。

(4)復(fù)調(diào)制移頻

(5)FFT分析

不需要作頻率調(diào)整，直接作FFT分析就可以得到N條獨(dú)立的細(xì)化譜線(xiàn)。

3 四譜線(xiàn)插值原理

設(shè)x(t)是由基波、諧波組合而成的復(fù)雜電氣化鐵道供電系統(tǒng)的信號(hào)，以采樣頻率fs對(duì)信號(hào)進(jìn)行等間距采樣，得到的離散時(shí)間信號(hào)為

(13)

式中，m表示諧波次數(shù)；Am和φm表示第m次諧波的幅值和相位；f0表示基波頻率；fs表示采樣頻率。

首先將采樣信號(hào)經(jīng)復(fù)調(diào)制細(xì)化法對(duì)基波附近頻率間隔較近的諧波成份進(jìn)行分析，然后將原信號(hào)減去該諧波信號(hào)，得到剩余信號(hào)的表達(dá)式為

(14)

對(duì)剩余信號(hào)所加的窗函數(shù)表示為w(n)，則對(duì)式(14)加自卷積窗處理，可得到xw(n)=x*(n)w(n)，加窗后信號(hào)的離散傅里葉變換為

(15)

式中，fm為第m次諧波頻率。

忽略式(15)中第2項(xiàng)負(fù)頻點(diǎn)-fm處頻譜峰值的旁瓣影響并進(jìn)行離散化，那么在正頻點(diǎn)fm附近的頻譜函數(shù)DFT表示為

(16)

式中，Δf=fs/N；fm=kmΔf；N為數(shù)據(jù)截?cái)嚅L(zhǎng)度；W(·)為窗函數(shù)頻譜的表達(dá)式。

為了便于分析，本文以某第m次諧波進(jìn)行分析，根據(jù)式(16)，令

(17)

設(shè)峰值頻率kmΔf附近4條譜線(xiàn)的頻率分別為k1Δf、k2Δf、k3Δf、k4Δf，則有k1

假設(shè)

(18)

令r=2y2+y1，s=2y3+y4，則

(19)

其中，y1、y2、y3、y4的值可以通過(guò)傳統(tǒng)的FFT算法獲得，即幅值比β也就可以確定了。當(dāng)N較大時(shí)，式(18)一般可以簡(jiǎn)化為β=g(δ)，其反函數(shù)記為δ=g-1(β)，當(dāng)窗函數(shù)w(n)為實(shí)系數(shù)時(shí)，其幅頻響應(yīng)W(2πf)為偶函數(shù)，所以函數(shù)g(·)及其反函數(shù)g-1(·)都是奇函數(shù)，因而δ=g-1(β)只含有奇次項(xiàng)，其表達(dá)式為

(20)

式中，c1，c3，…，c2λ+1為2λ+1次逼近多項(xiàng)式的奇次項(xiàng)系數(shù)。

求得δ后，可以求出實(shí)際信號(hào)的頻率為

(21)

信號(hào)的幅值和相位也能夠由關(guān)于δ的相應(yīng)修正函數(shù)計(jì)算求出。為了更加準(zhǔn)確地計(jì)算出實(shí)際信號(hào)的幅值和相位，需要將y1、y2、y3、y4進(jìn)行幅值修正，通過(guò)對(duì)這4根譜線(xiàn)的幅值進(jìn)行加權(quán)平均來(lái)計(jì)算出實(shí)際的峰值點(diǎn)的幅值，距離峰值頻率最近的2根譜線(xiàn)所含有的信號(hào)幅值信息量最大，所以計(jì)算時(shí)應(yīng)給予這2根譜線(xiàn)更大的加權(quán)值，經(jīng)過(guò)對(duì)比試驗(yàn)，得出這4根譜線(xiàn)加權(quán)值分別為1，2，2，1。

(22)

對(duì)于一般的實(shí)系數(shù)窗函數(shù)，當(dāng)N較大時(shí)，式(22)可表示為

(23)

其中u(·)為偶函數(shù)，其結(jié)果中不含奇次項(xiàng)，則Am可以表示為

(24)

式中，a0，a2，…，a2l為2l次逼近多項(xiàng)式的偶次冪系數(shù)。

信號(hào)的相位由式(17)可得

(25)

6項(xiàng)優(yōu)化余弦組合窗函數(shù)的DFT表達(dá)式為

(26)

結(jié)合式(8)、式(22)和式(26)可得

(27)

(28)

(29)

將式(27)～式(29)代入式(18)～式(20)和式(22)～式(24)，得到β=g(δ)的逼近式β=G(δ)和Am=N-1(y2+2y1+2y3+y4)u(δ)的逼近式。令δ在(-0.5，0.5)內(nèi)取一組值，對(duì)δ=G-1(β)和u(δ)用Matlab多項(xiàng)式擬合函數(shù)ployfit進(jìn)行擬合，擬合多項(xiàng)式次數(shù)為7次，最后得到δ=G-1(β)和u(δ)的系數(shù)修正公式為

δ=0.642 403 11β+0.053 125 31β3+

(30)

u(δ)=1.524 012 16+0.114 051 32δ2+

(31)

頻率修正公式為

(32)

幅值修正公式為

(33)

相位修正公式為

(34)

4 仿真與驗(yàn)證

仿真信號(hào)采用的模型為

(35)

式中，基波頻率f0為50 Hz；采樣頻率fs為1 600 Hz；采樣點(diǎn)N取1 024。

復(fù)解析帶通濾波器中心頻率fe為50 Hz，選抽比D為100，濾波器半階數(shù)M為100。本文設(shè)置仿真信號(hào)各次諧波成分的幅值及相位如表2所示。

為驗(yàn)證本文提出算法的準(zhǔn)確性和有效性，針對(duì)直接FFT法、雙譜線(xiàn)和三譜線(xiàn)優(yōu)化余弦窗算法在電氣化鐵道的諧波參數(shù)分析。不同加窗插值算法測(cè)量出各次諧波幅值和相位的相對(duì)誤差(%)如表3和表4所示。圖表中采用的算數(shù)符號(hào)a·E-b表示為a×10-b，其中a與b為常數(shù)。

表2 仿真信號(hào)的構(gòu)成

表3 不同加窗插值算法對(duì)應(yīng)的幅值相對(duì)誤差比較 %

表4 不同加窗插值算法對(duì)應(yīng)的相位相對(duì)誤差比較 %

由圖5可以看出，信號(hào)直接采用離散傅里葉變換進(jìn)行分析受頻譜泄露影響嚴(yán)重，圖6說(shuō)明通過(guò)簡(jiǎn)單加窗插值法在存在于基波頻率間隔較近的諧波成分時(shí)不能較為準(zhǔn)確分析出諧波成份，并且基波成份的幅值受臨近諧波能量泄漏的影響明顯增大，同時(shí)出現(xiàn)了原有信號(hào)不存在的頻率為228.9 Hz虛假諧波成份。圖7和圖8為采用6項(xiàng)優(yōu)化余弦組合自卷積窗四譜線(xiàn)插值頻譜細(xì)化法的頻譜分析圖，可以看出較為準(zhǔn)確的分析出諧波成分。

圖5 直接FFT法的頻譜

圖6 加窗插值法的頻譜

圖7 頻率間隔較近的頻譜

圖8 剩余信號(hào)加窗后的頻譜

通過(guò)以上的比較可以看出本文選擇的6項(xiàng)優(yōu)化余弦組合自卷積窗具有比較好的綜合性，另外本文采用的四譜線(xiàn)插值法也提高了修正公式的準(zhǔn)確度，并且能夠分析出頻率間隔較近的諧波成份，因此在對(duì)信號(hào)的各次諧波的幅值和相位的檢測(cè)中都有了明顯的改善，幅值相對(duì)誤差集中在10-6左右，相位相對(duì)誤差集中在10-5左右，相比其他方法提高了1～2個(gè)數(shù)量級(jí)，總體來(lái)說(shuō)本文提出的方法在諧波的檢測(cè)中相比已有方法具有較高的準(zhǔn)確度，能夠獲得準(zhǔn)確的諧波參數(shù)分析的結(jié)果。

5 結(jié)語(yǔ)

為了減小諧波分析時(shí)由于頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)引起的誤差，提出了一種采用加6項(xiàng)優(yōu)化余弦組合自卷積窗和四譜線(xiàn)插值結(jié)合的新算法對(duì)諧波進(jìn)行分析，首先采用復(fù)調(diào)制細(xì)化法對(duì)采樣信號(hào)頻率間隔較近的諧波成份進(jìn)行分析，將剩余信號(hào)加窗處理后經(jīng)離散傅里葉變換找出相應(yīng)的峰值譜線(xiàn)，推導(dǎo)出了基于加窗四譜線(xiàn)插值算法的諧波參數(shù)加權(quán)修正公式。最后本文還與直接FFT算法、雙譜線(xiàn)優(yōu)化余弦窗和三譜線(xiàn)優(yōu)化余弦窗算法在電氣化鐵道牽引供電系統(tǒng)中的諧波進(jìn)行了仿真驗(yàn)證對(duì)比分析。仿真結(jié)果表明：本文提出的算法對(duì)電氣化鐵道牽引供電系統(tǒng)的諧波分析具有更高的準(zhǔn)確性，可以有效地抑制頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)，減小虛假成分的存在，具有較高的實(shí)用和應(yīng)用價(jià)值。

[1] 蔣功連.鐵路牽引供電系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的諧波諧振分析及抑制方案研究[J].鐵道標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)，2014，58(6):129-135.

[2] 李宏剛，趙欣.鐵路客站諧波分析及其治理措施[J].鐵道標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)，2012，58(9):112-126.

[3] 趙聞蕾，鄒積巖，王娟娟.基于小波變換的電氣化鐵道牽引負(fù)荷諧波分析[J].鐵道學(xué)報(bào)，2011，33(6):27-31.

[4] 王碩禾，蔡清亮，薛強(qiáng).基于模態(tài)分析的牽引供電系統(tǒng)諧波諧振過(guò)電壓研究[J].鐵道學(xué)報(bào)，2013，35(7):32-42.

[5] 郝柱，顧偉.基于四譜線(xiàn)插值FFT的電網(wǎng)諧波檢測(cè)方法[J].電力系統(tǒng)保護(hù)與控制，2014，42(19):107-112.

[6] 牛勝鎖，梁志瑞.基于三譜線(xiàn)插值FFT的電力諧波分析算法[J].電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2012，32(16):130-134.

[7] 楊洪耕，惠錦，侯鵬.電力系統(tǒng)諧波和間諧波檢測(cè)方法綜述[J].電力系統(tǒng)及其自動(dòng)化學(xué)報(bào)，2010，22(2):66-69.

[8] 賈清泉，楊曉雯，宋知用.一種電力系統(tǒng)諧波信號(hào)的加窗頻移算法[J].中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2014，34(10):1631-1640.

[9] 季冰，梁志瑞，牛勝鎖.基于最小旁瓣九項(xiàng)余弦組合窗函數(shù)的FFT諧波分析[J].電力科學(xué)與工程，2012，28(10):16-21.

[10]溫和，滕召勝，卿柏元.Hanning自卷積窗及其在諧波分析中的應(yīng)用[J].電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2009，24(2):164-169.

[11]許珉，楊陽(yáng)，章夢(mèng)哲.一種加三項(xiàng)余弦窗的加窗插值FFT算法[J].電力系統(tǒng)保護(hù)與控制，2010，38(17):11-16.

[12]蔡曉峰，張鴻博，魯改鳳.應(yīng)用三譜線(xiàn)插值FFT分析電力諧波的改進(jìn)算法[J].電力系統(tǒng)保護(hù)與控制，2015，43(2):33-38.

[13]曾博，唐求，卿柏元.基于Nuttall自卷積窗的改進(jìn)FFT譜分析方法[J].電工技術(shù)學(xué)報(bào)電氣技術(shù)，2014，29(7)：59-66.

[14]Zhang bing，Hu hong. An improved window and interpolation algorithm using trispectrum for measuring power harmonics based on FFT[J]. First International Conference on Pervasive Computing， Signal Processing and Applications， 2010.

[15]Zhang Junhao， Meng Zhuo. Harmonic estimation using symmetrical interpolation FFT based on triangular self-convolution window[J]. Ieee Transactions On Industrial Informatics， 2015.

Harmonic Analysis of Adding Window Interpolation Method in Electrified Railway Traction Power Supply System

CHEN Jia-xing， YANG Jian-feng

(School of Automation and Electrical Engineering， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China)

The traditional harmonic analysis method is influenced by frequency spectrum leakage and fails to obtain accurately the harmonic related parameters in the electrified railway traction power supply system. This paper proposes an approach for power network harmonic analysis with six optimization cosine combined self-convolution window and four-spectrum-line interpolation. The algorithm is firstly employed to analyze the harmonic components near the fundamental wave frequency with zoom fourier transform， the residual signals are processed with window and the discrete fourier transform is used to find out the corresponding four peak spectral lines of the discrete frequency spectrum near the harmonic frequency. The frequency of the related parameters of the power network harmonic， the amplitude and phase are weighted and corrected by means of interpolation algorithm to deduce calculation formula so as to improve the accuracy of analysis results．

Electrified railway; Harmonic analysis; Cosine self-convolution window; Four-spectrum-line interpolation; FFT; ZFFT

2016-03-30；

2016-05-14

陳佳興(1991—)，男，碩士研究生，從事諧波分析及其檢測(cè)技術(shù)研究，E-mail：935138124@qq.com。

楊劍鋒(1980—)，男，副教授，博士，從事先進(jìn)控制技術(shù)研究。

1004-2954(2016)11-0130-05

U223

A

10.13238/j.issn.1004-2954.2016.11.029