從“兩個數(shù)相除”到“生活中的比”

【摘 要】透過“比的意義”教學(xué)中存在的問題，可以進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)“兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比”這一定義的不合理性。從對這一概念發(fā)生發(fā)展過程的細(xì)致考察，可以澄清它的內(nèi)涵和外延，在教學(xué)上可以從“生活中的比”入手，讓學(xué)生親身經(jīng)歷概念的發(fā)生過程，進(jìn)而更好地把握概念本質(zhì)的教學(xué)過程。

【關(guān)鍵詞】比的意義 配方 生活中的比

近年來，張奠宙先生發(fā)表了一系列關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的研究論文，先生希望一線小學(xué)數(shù)學(xué)教師對他的論點(diǎn)作出回應(yīng)之心拳拳。筆者讀到張先生發(fā)表于《教學(xué)月刊·小學(xué)版》（數(shù)學(xué)）2015年第3期上的《返璞歸真 正本清源——“比”不能等同于除法》一文，不由回憶起多年前修訂原《現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)》教材（即現(xiàn)浙教版新思維小學(xué)《數(shù)學(xué)》教材）的情境，其時也試圖通過研究回答這樣的問題：“兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比”的定義究竟是否合理？數(shù)學(xué)為什么要引入“比”這一概念？等等。并以此為教材編寫和教學(xué)研究提供依據(jù)。研究得到了與張先生類似的結(jié)果，相對而言，我們的研究更多源于教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)的問題，到達(dá)彼岸的過程也要艱難曲折得多。

在傳統(tǒng)“比的意義”的教學(xué)中，我們總覺得有一些不盡如人意的地方。教學(xué)通常都是這樣進(jìn)行的：

【案例一】比的意義

1.教學(xué)兩個同類量的比。

呈現(xiàn)學(xué)習(xí)材料：某班有男生25人，女生20人。

師：要表示男生和女生之間的關(guān)系，可以求男生是女生的幾倍？女生是男生的幾分之幾？

列式計算后，教師說明比較兩個數(shù)量，還有一種表示方法：男生和女生的人數(shù)比是25比20，或女生和男生的人數(shù)比是20比25。

這樣，以前所學(xué)的“幾倍”和“幾分之幾”就可以用“比”統(tǒng)一地加以表示。

2.教學(xué)兩個不同類量的比。

呈現(xiàn)學(xué)習(xí)材料：一輛汽車3小時行駛120千米。

師：路程和時間的關(guān)系可以用速度（每小時行多少千米）來表示。

列式計算后，教師說明還可以用“路程和時間的比是120比3”表示路程和時間的關(guān)系。

3.給出比的定義。

教師先著重說明上面例子都通過兩個數(shù)相除來表示兩個數(shù)量間的關(guān)系，都可以用比來表示，在此基礎(chǔ)上概括出比的意義——兩個數(shù)相除又叫作兩個數(shù)的比。

教師引導(dǎo)學(xué)生比較比與除法的區(qū)別，說明除法是一種求兩個數(shù)相除的商的運(yùn)算，而比則是表示兩者之間的相除關(guān)系。

4.教學(xué)比的各部分名稱和求比值的方法。

5.提供正例和反例（如球賽中的比分）進(jìn)一步加深對概念的理解。

綜觀整個教學(xué)過程，教師提供信息、發(fā)出指令、解釋意義，學(xué)生讀取信息、回應(yīng)教師、建構(gòu)理解，在高效傳授知識的同時，學(xué)生被置于被動應(yīng)答的狀態(tài)，缺乏積極參與、主動探索的熱情。我們不禁要問：這樣的意義接受學(xué)習(xí)，學(xué)生真的感受到學(xué)習(xí)的“意義”了嗎？

答案顯然是否定的。那么，學(xué)習(xí)“比的意義”的意義究竟何在呢？我們覺得關(guān)鍵是要弄清下列問題：（1）為什么要學(xué)習(xí)“比”？——既然兩個數(shù)相除又叫作兩個數(shù)的比，我們已經(jīng)有了兩個數(shù)相除，又何必再去學(xué)“比”呢？如果說是為今后學(xué)習(xí)物理、化學(xué)等學(xué)科知識之所需，那就把這些學(xué)科中“比”的說法改成“相除”的說法也就是了，何苦惹這個麻煩呢？（2）從現(xiàn)在的定義出發(fā)，如何解釋比與除法的區(qū)別？——前者表示一種關(guān)系，而后者是運(yùn)算（事實上，“關(guān)系”的內(nèi)涵比“運(yùn)算”來得更豐富）。既然兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比，比表示的當(dāng)然也就是兩個數(shù)相除，因此，比和除法是同一回事，哪來區(qū)別可言？而在實際教學(xué)中，又必須強(qiáng)調(diào)比與除法的區(qū)別，否則，就無法把化簡比與求比值區(qū)別開來——比化簡后還是一個比，仍然表示兩個數(shù)之間的關(guān)系，而用除法求比值求得的是一個數(shù)值。既然無法從定義解釋兩者的區(qū)別，教師的教學(xué)就只能是灌輸填鴨了。（3）“按比例分配”中的“比”是“比”嗎？——如男、女職工人數(shù)的比是5∶4。容易理解在職工總?cè)藬?shù)中，男職工占5份，女職工占4份（其中隱含著這5份、4份中的每一份都相等的前提），如果根據(jù)比的意義，將題中的5∶4 看成“兩個數(shù)相除”，反而令人費(fèi)解，這合理嗎？[1]

進(jìn)一步的研究得到了與張先生類似的觀點(diǎn)，謹(jǐn)摘要如下：（1）“比”是一種關(guān)系?！氨取辈皇浅ㄟ\(yùn)算，只是在求比值時才要用除法。（2）“比”是為比例做準(zhǔn)備，并可以擴(kuò)展為一種變量之間的正比例函數(shù)關(guān)系。這種比例關(guān)系，其含義遠(yuǎn)超“除法”。（3）“比”原本是同類量的比較關(guān)系，但是也可以推廣到不是同類量的情形。不過，同類量之比是“源”，不同類量之比只是“流”。（4）不同類量的比，不宜作為“比”的主要情境引入。[2]

張先生關(guān)于“源”“流”的說法就是我們當(dāng)時所理解的“狹義的比”和“廣義的比”（引自《簡明數(shù)學(xué)辭典》等），我們認(rèn)識到比的概念經(jīng)歷了從“狹義”到“廣義”的發(fā)展過程，鑒于這一概念的豐富內(nèi)涵，我們進(jìn)一步認(rèn)識到如案例一這樣采用直接告知的辦法可能不是一個明智的教學(xué)選擇，讓學(xué)生充分經(jīng)歷概念的發(fā)生發(fā)展過程，可能更有利于學(xué)生把握概念的本質(zhì)。與張先生提出的關(guān)于教材設(shè)計“四段”論類似（其核心是體現(xiàn)概念發(fā)展的“源”“流”兩階段）——第一段“比較”，突出“比”源于兩個同類量的比較，比較分“差比”和“倍比”，今天要學(xué)的“比”與“倍比”有關(guān)；第二段比的定義，通過實例給出“比”的定義：“兩個同類量a、b，若以a是b的倍數(shù)來比較它們的大小，稱為a比b，記為a：b。數(shù)a÷b=k稱為a與b的比值。比值k就是a除以b的商?！钡谌伪鹊木毩?xí)，通過練習(xí)不斷強(qiáng)調(diào)“比”的意義，突出“除法”之外的特定內(nèi)涵；第四段不同類量之比，通過實例擴(kuò)展定義內(nèi)涵“兩個不同類量a、b，雖然彼此沒有倍數(shù)關(guān)系，如果以b為單位衡量a，即考察a÷b，我們也把它叫作a比b，記為a：b?！盵3]我們編寫了用兩課時教學(xué)“比的意義”的教材：第一課時——教學(xué)狹義的比，建立比與幾倍、幾分之幾之間的聯(lián)系，突出比 “表示兩個數(shù)之間的一種關(guān)系” 的這一特點(diǎn)，這實際上是把張先生的第一段和第二段交換了位置，又融合了第三段。第二課時——教學(xué)廣義的比，借助比與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，建立比與除法之間的聯(lián)系并給出比的定義。不同于張先生明確給出兩個階段的比的定義，我們在比的定義上作了相對模糊的處理（張先生給出的定義對學(xué)生而言可能過于抽象了），把重點(diǎn)放在學(xué)生通過活動對概念的感悟上。

根據(jù)教材，就有了這樣的教學(xué)：

【案例二】生活中的比

1.利用教材，呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)性學(xué)習(xí)材料，在不同的情境中解釋1∶4的意義。

學(xué)生讀信息，了解比的讀法。根據(jù)圖意，從份數(shù)（如桌子數(shù)量1份、椅子數(shù)量4份）、倍數(shù)或分?jǐn)?shù)（如新生兒頭長是身高的）、具體數(shù)量（如1噸棉配4噸麻，2噸棉配8噸麻……）等方面來解釋1∶4的意思，體會當(dāng)兩個數(shù)量變化時，比可以表示兩者間不變的關(guān)系。

2.遷移應(yīng)用，豐富概念例證。

3.概括出“比可以表示兩個數(shù)之間的關(guān)系”這一結(jié)論。介紹比的分?jǐn)?shù)表示以及前項、后項、比號等名稱。

4.突出兩個方面的練習(xí)：一是做幾倍、幾分之幾與比之間的轉(zhuǎn)換練習(xí)；二是做比用以表示兩個變量之間不變關(guān)系的練習(xí)。

相對于案例一，案例二很好地突出了比與除法的區(qū)別。通過呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)性學(xué)習(xí)材料，提出富有挑戰(zhàn)性的“1∶4表示什么意思”這一問題，放手讓學(xué)生通過圖文之間的關(guān)系解讀1∶4的意義，體會比表示兩個變量之間不變關(guān)系的直觀便捷性，突出了比與分?jǐn)?shù)、除法之間的區(qū)別，也改變了案例一中學(xué)生被動應(yīng)答的局面，形成了主動探索的氛圍，這也是我們?yōu)槭裁窗褟埾壬ㄗh中的第一、二段交換位置的原因。通過教學(xué)試圖讓學(xué)生在意義解讀活動中感悟比的意義——當(dāng)兩個數(shù)量變化時，比可以表示兩者之間不變的關(guān)系。這種關(guān)系用比較數(shù)學(xué)化的方式來表述即是：存在兩個數(shù)量（變量）X、Y，當(dāng)X取值為a時，Y有唯一的值b與之對應(yīng)，當(dāng)X取ka時，Y有唯一的值kb與之對應(yīng)，我們把X、Y之間的這種關(guān)系稱為比，用a∶b表示。這是一個相對函數(shù)化了的定義，從中我們可以自然地引出比的基本性質(zhì)，方便地認(rèn)識正比例關(guān)系，較好地兼顧“狹義的比”與“廣義的比”的定義需求——不必像張先生這樣先后給出兩個比的定義。但在教材中沒有給出這樣的定義，而是比較模糊地給出了“兩個數(shù)的比可以表示為兩個數(shù)相除的形式，兩個數(shù)相除也可以表示為兩個數(shù)的比”，作出這樣的處理一方面是因為抽象的數(shù)學(xué)語言本身可能會造成學(xué)生理解上的困難，另一方面也是為了避免教師過于關(guān)注定義的抽象語言教學(xué)反而影響了通過活動引導(dǎo)學(xué)生感悟概念本質(zhì)。當(dāng)然，比的概念如何定義？如何給出定義？給到什么程度？仍是一個非常值得研究的課題。

應(yīng)該看到，案例二的教學(xué)把比作為一種已經(jīng)存在的人類文化直接呈現(xiàn)在學(xué)生面前，并沒有直面“比”的起源，也就事實上回避了“為什么要學(xué)習(xí)比”這一問題，那么，如何解決這一問題呢？

從數(shù)學(xué)史料來看，西方數(shù)學(xué)中“比”的概念的起源是與測量緊密聯(lián)系在一起的，古希臘數(shù)學(xué)家認(rèn)為，任意給出兩條線段，必能找到用以度量這兩條線段并得到整數(shù)結(jié)果的第三條線段，因此，這兩條線段之間的長度關(guān)系必定可以表示為兩個整數(shù)之比。我們看到，這樣給出的“比”的概念事實上已經(jīng)處于較高的抽象水平了。與此不同，我國古代數(shù)學(xué)中“比”的概念還蘊(yùn)含在具體問題中，帶有概念原創(chuàng)時期的特征，如先秦古籍《考工記》中就記載了許多青銅器鑄造的配方，有配方就需要用比例計算。何不從現(xiàn)實生活中的“配方”問題入手，讓學(xué)生親身經(jīng)歷概念的發(fā)生過程，從而更深刻地體會學(xué)習(xí)的必要性呢？于是我們設(shè)計概念的發(fā)生發(fā)展路線為：配方中的比→建立比與分?jǐn)?shù)的關(guān)系→建立比與除法的關(guān)系。

【案例三】生活中的比

1.經(jīng)歷配比活動，探索共變規(guī)律。

教師通過談話引入配制飲料活動：學(xué)生用蘋果汁和蜜糖水配制混合飲料，從三款中選擇一款口味較好的推薦給大家。

反饋時教師選擇“蘋果汁60毫升、蜜糖水20毫升”的一款展開研究，探索口味不變、數(shù)量變化時蘋果汁和蜜糖水?dāng)?shù)量的共變規(guī)律，學(xué)生用翻倍、減半等方法解釋口味不變的原因。

2.探索配方的多種表示方法，掌握用比表示配方的方法和條件。

學(xué)生用已有知識表示配方，如蘋果汁量是蜜糖水量的3倍，蜜糖水量是蘋果汁量的，蘋果汁量占總量的，蜜糖水量占總量的。進(jìn)而，學(xué)生根據(jù)生活中見過的配方，給出新的表示方法：蘋果汁與蜜糖水的數(shù)量比是3比1或蜜糖水與蘋果汁的數(shù)量比是1比3，表示蘋果汁3份，配蜜糖水1份，并舉例說明，如蘋果汁150毫升——3份，每份50毫升，蜜糖水1份——50毫升。體會用比表示配方的直觀便捷性。

3.介紹比的表示方法與各部分名稱。請學(xué)生用比來表示他們配的三款飲料的配方。

4.遷移應(yīng)用，用多種方法解釋比所表示的意思。

呈現(xiàn)材料（見案例二中三個1∶4的例子），學(xué)生從多種角度解釋比的意思。教學(xué)中進(jìn)一步滲透函數(shù)思想，體會值域和定義域。

5.解決問題，聯(lián)系實際。

6.進(jìn)一步的拓展。

如火藥是中國古代四大發(fā)明之一，是我國人民對人類文明的偉大貢獻(xiàn)。配制黑色火藥的原料是火硝、硫黃和木炭，它們的質(zhì)量比是15∶2∶3。15∶2∶3表示什么意思？等等。

案例三的教學(xué)力圖把數(shù)學(xué)本身的發(fā)生發(fā)展動力轉(zhuǎn)化為學(xué)生的學(xué)習(xí)動力，通過讓學(xué)生親歷“比”的“再創(chuàng)造”過程，較好地解決了“為什么要學(xué)習(xí)比”這一問題?；凇霸賱?chuàng)造”的教學(xué)有利于提高學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的質(zhì)量，通過在配方活動中嵌入學(xué)生的生活經(jīng)驗和個人喜好——根據(jù)口味選擇和調(diào)整配方，賦予學(xué)習(xí)以豐富的情感體驗和個人意義?；凇霸賱?chuàng)造”的教學(xué)突出了知識的現(xiàn)實性、應(yīng)用性和整體性，體現(xiàn)了活動的實踐性、探索性和綜合性，通過師生共同演繹創(chuàng)造者的思維過程，學(xué)習(xí)創(chuàng)造者的思維方法，讓學(xué)生在活動中學(xué)會創(chuàng)造，在實踐中鍛煉成長。

參考文獻(xiàn)：

[1]任敏龍.比的意義教學(xué)研究[J].小學(xué)青年教師（數(shù)學(xué)版），2006（10）.

[2][3]張奠宙. 返璞歸真 正本清源——“比”不能等同于除法[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2015（3）.

（浙江省杭州市上城區(qū)教育學(xué)院 310000）