何 劉， 林建輝， 劉新廠， 黃 衍

(西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 成都 610031)

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萬向軸動(dòng)不平衡檢測(cè)的改進(jìn)DTCWT-SVD方法

何 劉， 林建輝， 劉新廠， 黃 衍

(西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 成都 610031)

針對(duì)經(jīng)典小波和雙樹復(fù)小波(Dual-Tree Complex Wavelet Transform，DTCWT)頻率泄露和混疊的根本缺陷，提出改進(jìn)DTCWT算法，該算法解決了經(jīng)典小波存在負(fù)頻率以及經(jīng)典小波和DTCWT濾波器頻率不完全截止問題。將改進(jìn)DTCWT算法和奇異值分解(Singular Value Decomposition, SVD)引入到萬向軸動(dòng)不平衡檢測(cè)中，該方法的核心是：對(duì)萬向節(jié)安裝機(jī)座的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行改進(jìn)DTCWT變換得到不同尺度的分解信號(hào)，對(duì)低頻近似信號(hào)進(jìn)行奇異值分解，以奇異值關(guān)鍵疊層作為奇異值的選擇準(zhǔn)則對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，應(yīng)用重構(gòu)信號(hào)的傅里葉譜來檢測(cè)高速列車萬向軸的動(dòng)不平衡。該方法在消除經(jīng)典小波變換和DTCWT頻率混疊的同時(shí)提高譜線清晰度，凸顯故障特征。應(yīng)用萬向軸動(dòng)不平衡試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)該方法進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果表明：改進(jìn)DTCWT-SVD能夠很好提取出萬向軸動(dòng)不平衡故障特征頻率的基頻、倍頻，與經(jīng)典小波、DTCWT、純改進(jìn)DTCWT相比，該方法在譜的清晰度和故障表征力上得到了顯著提高。

萬向傳動(dòng)軸；改進(jìn)DTCWT；奇異值分解；動(dòng)不平衡檢測(cè)

高速列車萬向軸是高速列車傳動(dòng)系統(tǒng)的核心部件，起到動(dòng)力傳遞的關(guān)鍵作用。CRH5型動(dòng)車組的動(dòng)力采用縱向布置萬向軸傳動(dòng)方式，牽引電機(jī)采用體懸結(jié)構(gòu)，齒輪箱采用抱軸式結(jié)構(gòu)[1]。萬向軸要在復(fù)雜運(yùn)動(dòng)關(guān)系的條件下傳遞牽引力矩[2]，同時(shí)萬向軸結(jié)構(gòu)細(xì)長(zhǎng)，其彎曲剛度和扭轉(zhuǎn)剛度都很小[3]，這使得萬向軸在車輛高速運(yùn)營(yíng)中極易產(chǎn)生偏心。加之，在長(zhǎng)期運(yùn)營(yíng)中，萬向節(jié)軸的磨損間隙和傳動(dòng)軸平衡滑塊松動(dòng)等原因也會(huì)導(dǎo)致萬向軸的偏心。萬向軸偏心后其動(dòng)不平衡附加力矩增加，傳遞系統(tǒng)振動(dòng)加劇，極易加速傳遞系統(tǒng)的動(dòng)力傳遞部件的破化，影響車輛的安全運(yùn)營(yíng)。為保障動(dòng)力安全傳遞，開展萬向軸安全檢測(cè)研究十分迫切和必要。

經(jīng)典小波分析用于動(dòng)不平衡檢測(cè)、故障診斷的研究已有很多[4-7]，這些方法都利用了小波分解多分辨率的優(yōu)良時(shí)頻特性，提取不同尺度的信號(hào)特征，或是應(yīng)用小波降噪功能來突顯故障。但是傳統(tǒng)小波分析存在平移敏感性、缺乏方向選擇性、混疊效應(yīng)明顯等諸多問題。這使得傳統(tǒng)小波分析在機(jī)械早期微弱故障診斷和強(qiáng)噪聲下復(fù)合故障診斷中顯得無能為力。為克服傳統(tǒng)小波分析固有缺陷，DTCWT被廣泛運(yùn)用在早期微弱復(fù)合機(jī)械故障診斷中。DTCWT具有平移不變性、良好的方向選擇性、較小的頻率混疊以及較小的計(jì)算量等優(yōu)點(diǎn)[8-9]。這使得DTCWT具有十分廣闊的工程應(yīng)用前景，已在齒輪、軸承、發(fā)電機(jī)組碰擦的故障診斷中得到了成功應(yīng)用[10-12]。

盡管如此，作者在分析DTCWT的等效濾波特性時(shí)發(fā)現(xiàn)DTCWT的小波濾波器和尺度濾波器之間依然存在頻率混疊現(xiàn)象。通過分析DTCWT頻率混疊產(chǎn)生的根本原因，提出改進(jìn)DTCWT算法。該算法在繼承DTCWT優(yōu)良特性的同時(shí)還克服了頻率混疊缺陷。本文將該方法運(yùn)用到萬向軸動(dòng)不平衡檢測(cè)中發(fā)現(xiàn)，雖然該方法能有效提取出故障特征信號(hào)，但是其譜線依然十分混亂。為提高譜線分辨力，凸顯故障特征，本文利用奇異值分解對(duì)不同信號(hào)的篩選特性，提純故障信號(hào)，提高譜線分辨力。為此，本文提出一種高速列車萬向軸故障檢測(cè)的新方法。該方法的核心是：萬向節(jié)安裝機(jī)座的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行改進(jìn)DTCWT變換得到不同尺度的分解信號(hào)，應(yīng)用單尺重構(gòu)度信號(hào)構(gòu)造Hankel矩陣，對(duì)該矩陣進(jìn)行奇異值分解，以奇異值百分比變化最大作為關(guān)鍵奇異值的選擇準(zhǔn)則對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，最后應(yīng)用重構(gòu)后信號(hào)傅里葉譜判斷萬向軸動(dòng)不平衡故障。

1 雙樹復(fù)小波變換及其濾波特性分析

DTCWT是為了克服傳統(tǒng)離散小波變換的缺點(diǎn)而提出的。DTCWT具有良好的抗頻帶混疊能力和平移不變特性，這些特性使得DTCWT在濾波特性和機(jī)械復(fù)合故障特征檢測(cè)中要優(yōu)于傳統(tǒng)離散小波變換、二代小波和經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸獾葧r(shí)頻分析方法。

1.1 雙樹復(fù)小波變換理論

構(gòu)造如下的小波基函數(shù)：

ψc(t)=ψr(t)+jψj(t)

(1)

式中,ψr(t)為實(shí)部，ψj(t)為虛部，如果ψr(t)和ψj(t)是一對(duì)Hilbert變換對(duì)，那么ψc(t)就是解析信號(hào)。同樣復(fù)數(shù)尺度函數(shù)定義和復(fù)數(shù)小波函數(shù)的定義相同。

(2)

(3)

(4)

(5)

這樣通過兩個(gè)實(shí)小波變換實(shí)現(xiàn)DTCWT變換的分解。

在得到分解系數(shù)的條件下，可以根據(jù)式(6),式(7)和式(8)實(shí)現(xiàn)信號(hào)的單子重構(gòu)或聯(lián)合重構(gòu)。

(6)

(7)

(8)

式中,n為DTCWT小波濾波器組長(zhǎng)度，λi為尺度選擇系數(shù)，它取值為0或1，i=1,2,…J+1。

1.2 經(jīng)典小波和雙樹復(fù)小波濾波特性分析與對(duì)比

小波變換是一種運(yùn)用濾波算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解的方法，這相當(dāng)于對(duì)信號(hào)進(jìn)行低通和帶通濾波。由此可見小波變換結(jié)果和小波濾波器的好壞密切相關(guān)。小波變換濾波器組均可以按歸一化頻率設(shè)計(jì)，各級(jí)濾波器系數(shù)相同。

知道小波濾波器系數(shù)時(shí)，利用以下公式可以計(jì)算得到相應(yīng)的濾波器的幅頻特性曲線[13]。

(9)

式中,bi為濾波器系數(shù)。

在小波變換中會(huì)有降采樣過程(隔2抽樣)，小波重構(gòu)會(huì)有升采樣過程(隔2插0)。通過降采樣后再升采樣保證了信號(hào)長(zhǎng)度不變，但是會(huì)對(duì)信號(hào)本身產(chǎn)生一定影響,其關(guān)系如圖1和式(10)所示。

圖1 信號(hào)的升降采樣過程
Fig.1 Up-down sampling of signal

(10)

式中,M為采樣因子。

小波變換是一系列濾波運(yùn)算和升降采樣運(yùn)算的綜合。所以二進(jìn)離散小波變換的低頻部分可由圖2所示過程得到，整個(gè)運(yùn)算過程是在H0(z)后接二抽取，共i節(jié)串聯(lián)得到。根據(jù)多采樣率濾波器組的基本關(guān)系，可以用一個(gè)總濾波器Hi(z)串接2i抽取來實(shí)現(xiàn)圖2所示的運(yùn)算過程。簡(jiǎn)化后的流程如圖3所示，計(jì)算表達(dá)式為式(11)。

圖2 小波變換低頻部分運(yùn)算流程Fig.2 Operational flow of low-frequency of wavelet transform

圖3 小波變換低頻部分等效運(yùn)算流程Fig.3 Equivalent operational flow of low-frequency of wavelet transform

(11)

同理二進(jìn)離散小波變換的高頻部分可以通過圖4所示過程得到，其簡(jiǎn)化后的流程如圖5所示。

圖4 小波變換高頻部分運(yùn)算流程Fig.4 Operational flow of high-frequency of wavelet transforms

圖5 小波變換高頻部分等效運(yùn)算流程Fig.5 Equivalent operational high of low-frequency for wavelet transform

根據(jù)DTCWT變換的流程，將所有的下采樣和上采樣算子轉(zhuǎn)移到分析濾波器的輸出端和重構(gòu)濾波器的輸入端，得到圖6所示的DTCWT變換的流程，圖中M=2m為總的下/上采樣因子，m為分解層數(shù)。計(jì)算m層的尺度系數(shù)(小波系數(shù))的濾波器A(z)表達(dá)式為式(12)和式(13)。虛部樹的濾波器B(z)也有相似的表達(dá)形式。重構(gòu)濾波器C(z)和D(z)也可以由相應(yīng)的各級(jí)濾波器Z函數(shù)計(jì)算得到。

(12)

(13)

圖6 第m層小波或尺度系數(shù)的雙樹基本流程Fig.6 Basic configuration of the dual tree if either wavelet or scaling-function coefficients from just level mare retained

對(duì)于經(jīng)典小波變換，其濾波器計(jì)算和DTCWT變換的任意一支樹的計(jì)算相同，而DTCWT變換的實(shí)際的濾波器計(jì)算需要將兩樹計(jì)算的結(jié)果按照式(14)的形式計(jì)算得到。

H(z)=A(z)+iB(z)

(14)

以db8小波為例，按照式(12)和式(13)的計(jì)算方法得到db8小波的濾波特性(計(jì)算層數(shù)為5)，如圖7所示。按照式(14)計(jì)算得到DTCWT變換(選用14階Q平移小波)的濾波特性，如圖8所示。

圖7 db8小波頻率響應(yīng)Fig.7 Frequency responses of db8 wavelets

圖8 14階Q平移雙樹復(fù)小波頻率響應(yīng)Fig.8 Frequency responses of complex wavelets

對(duì)比圖7和圖8可以清楚看到，DTCWT除第一層分解和低通濾波外基本沒有負(fù)頻率成分。而db8小波在各個(gè)尺度上都有負(fù)頻率成分。

1.3 頻率混疊原因分析

Y(z)=

(15)

上面和式中所有k≠0的項(xiàng)均為混疊項(xiàng)。因?yàn)橹挥蠿(z)在k=0,Wk=1時(shí)才對(duì)應(yīng)于一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)。Wk引入的頻率平移為kfs/M,其中fs為輸入信號(hào)的采樣頻率。當(dāng)k較大時(shí)，平移的濾波器和非平移濾波器重疊帶基本可以忽略。

首先考慮低通(尺度函數(shù))濾波器，第m層，低通濾波器的通帶為{-fs/2M?fs/2M}。式(15)中的Wk將通帶平移了fs/M倍。如果A(z)和C(z)具有相似的頻率響應(yīng)(如近似正交的濾波器組)且有較寬的轉(zhuǎn)換帶，那么不可能使A(Wkz)C(z)在頻率z=ejθ處特別小，因?yàn)槠揭屏说姆治鰹V波器A(W±1z)的轉(zhuǎn)換帶寬將與重構(gòu)濾波器C(z)的轉(zhuǎn)換帶重疊(見圖9)。

圖9 m=2離散實(shí)數(shù)小波低通頻率響應(yīng)Fig.9 Real DWT lowpass frequency response at level m(m=2)

下面考慮帶通(小波)濾波器，可以看出C的負(fù)頻率通帶覆蓋頻率為{-fs/2M?-2fs/2M}將與A平移后正頻率通帶邊緣混疊(見圖10)。而k=-1或k=-2時(shí)，A平移到{0?-fs/2M}或{-fs/2M?-3fs/2M}，類似的C的較高端頻率通帶也將和A平移(k=-1或k=-2)后的低端頻率通帶混疊。

圖10 m=2 離散實(shí)數(shù)小波高通頻率響應(yīng)Fig.10 Real DWT highpass frequency response at level m(m=2)

通過上述分析發(fā)現(xiàn)混疊項(xiàng)主要由相反頻率通帶的重疊造成，而所需的項(xiàng)k=0是由相同頻率通帶的重疊產(chǎn)生。雙樹小波中實(shí)部和虛部樹的帶通濾波器相應(yīng)看成復(fù)小波得到的實(shí)部和虛部，該復(fù)響應(yīng)只有零頻率一側(cè)有通帶，這恰好是DTCWT得到的小波具有近似平移不變性和抗頻率混疊的關(guān)鍵原因。圖11和圖12是DTCWT在第二層上的濾波器頻率響應(yīng)。

圖11 m=2雙樹復(fù)小波低通頻率響應(yīng)Fig.11 DTCWT lowpass frequency response at level m(m=2)

圖12 m=2 第二層雙樹復(fù)小波高通頻率響應(yīng)Fig.12 DTCWT highpass frequency response at level m(m=2)

2 改進(jìn)雙樹復(fù)小波算法和仿真

2.1 改進(jìn)雙樹復(fù)小波算法及其頻率特性分析

由圖11和圖12可以清楚看到DTCWT依然存在頻率混疊現(xiàn)象，DTCWT雖然改善了小波函數(shù)在負(fù)頻率上的影響，但是由于小波濾波器不具有理想的頻率截止特性，低通部分和帶通部分在理論頻率交界處都相互延伸到對(duì)方一段，這使得各個(gè)子帶的頻率成分都包含了相鄰子帶的頻率成分，這也會(huì)造成頻帶混疊問題。

分析DTCWT在第二層上小波和尺度函數(shù)的濾波特性，按照Mallat算法，信號(hào)頻率進(jìn)行兩次對(duì)半劃分。理論上要求小波濾波器h(k)和尺度濾波器g(k)具有理想的頻率截止特性。

(16)

(17)

式中,ω角頻率，即ω=2πf/fs，f為實(shí)際頻率，fs為采樣頻率。圖13是DTCWT在第二層上小波和尺度函數(shù)的濾波特性。

圖13 第二層雙樹復(fù)小波濾波器頻率特性Fig.13 Frequency response of second layer DTCWT

為了改善小波濾波器不能完全截止問題，在分解過程中的各個(gè)濾波器后增加一個(gè)矯正濾波器。矯正濾波器作用是去掉小波濾波器中多余的頻率成分，其算法思路為利用傅里葉變換和傅里葉逆變換來去掉多余的頻率成分。其算法為圖14所示，圖中矯正濾波器ch，cg計(jì)算公式分別為式(18)和式(19)，矯正濾波器輸出由式(20)計(jì)算得到。

(18)

(19)

(20)

圖14 改進(jìn)雙樹復(fù)小波算法Fig.14 Improving algorithm of DTCWT

圖15 第二層改進(jìn)雙樹復(fù)小波濾波器頻率特性Fig.15 Frequency response for level 2 of improving DTCWT

圖16 m=2改進(jìn)雙樹復(fù)小波低通頻率響應(yīng)Fig.16 Improving DTCWT lowpass frequency response at level m(m=2)

圖17 m=2改進(jìn)雙樹復(fù)小波高通頻率響應(yīng)Fig.17 Improving DTCWT highpass frequency response at level m(m=2)

圖15，圖16和圖17分別為改進(jìn)DTCWT在第二層分解上的小波濾波器頻率特性，兩層分解的低通頻率響應(yīng)和高通頻率響應(yīng)。圖中明顯看到高通和低通濾波器間幾乎沒有頻率交疊部分，分解中低通濾波器和高通濾波器在平移過程中沒有頻率交疊。由此可見，改進(jìn)DTCWT沒有頻率混疊產(chǎn)生。

2.2 改進(jìn)雙樹復(fù)小波仿真分析

為驗(yàn)證改進(jìn)DTCWT算法的抗頻率混疊特性，構(gòu)造多諧波仿真信號(hào)，其表達(dá)式為:

s(t)=0.5cos(60πt)+cos(300πt)+

1.5cos(400πt)+cos(600πt)+0.5cos(1 200πt)

式中，采樣頻率為2 000 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為1 024。該仿真信號(hào)的頻譜見圖18，分別對(duì)仿真信號(hào)進(jìn)行3層db8小波，DTCWT，改進(jìn)DTCWT分解，最后對(duì)分解信號(hào)進(jìn)行單子重構(gòu)，其重構(gòu)信號(hào)頻譜如圖19，圖20和圖21所示。由Mallat算法可知，分解信號(hào)d1僅有頻率為600 Hz的信號(hào)，d2僅有頻率為300 Hz信號(hào)，d3僅有頻率為150 Hz和200 Hz信號(hào)，逼近信號(hào)a3的頻率成分為30 Hz。分析圖19可知，db8小波由于負(fù)頻率和濾波器不完全截止的問題，在各個(gè)單子重構(gòu)信號(hào)中均有泄露頻率和混疊產(chǎn)生的虛假頻率出現(xiàn)，并且其各子帶頻率并未完全按照Mallat算法進(jìn)行劃分。改用DTCWT后(見圖20)，其各個(gè)子帶頻率完全按照Mallat算法劃分，但是在d2，d3，a3中出現(xiàn)了泄露頻率和混疊產(chǎn)生的虛假頻率，該泄露和混疊主要是由于濾波器不完全截止產(chǎn)生。改進(jìn)DTCWT分解(見圖21)頻帶劃分和理論一致，并且其單子重構(gòu)信號(hào)中不存在頻率泄露和頻譜混疊，其原因是改進(jìn)DTCWT不僅具有DTCWT沒有負(fù)頻率的特點(diǎn)而且還改善了濾波器不完全截止的缺點(diǎn)。

圖18 仿真信號(hào)頻譜Fig.18 Spectrum of simulation signal

圖19 db8小波分解單子重構(gòu)頻譜Fig.19 Spectrum of single band reconstruction with db8 wavelet

圖20 雙樹復(fù)小波分解單子重構(gòu)頻譜Fig.20 Spectrum of single band reconstruction with DTCWT

圖21 改進(jìn)雙樹復(fù)小波分解單子重構(gòu)頻譜Fig.21 Spectrum of single band reconstruction with improving DTCWT

3 奇異值分解理論及其對(duì)信號(hào)的篩選特性分析

3.1 奇異值分解理論

對(duì)于任意實(shí)矩陣A∈Rm×n，無論矩陣行向量或者列向量是否相關(guān)，都能分解為兩個(gè)正交矩陣和一個(gè)對(duì)角矩陣的乘積，其關(guān)系如式(21)，式中U∈Rm×m，V∈Rn×n是正交矩陣,D=(diag(σ1,σ2,…σq),ο)或者其轉(zhuǎn)置，ο表示零矩陣，q=rank(A)，并且σi按照遞減順序排列。

A=UDVT

(21)

式(21)稱為矩陣奇異值分解[14]，σi為分解得到的奇異值。

3.2 奇異值分解對(duì)信號(hào)的篩選特性分析

在對(duì)信號(hào)做奇異值分解前，需要首先構(gòu)造Hankel矩陣，若信號(hào)為X=[x1,x2,…xN]，利用該分析信號(hào)構(gòu)造Hankel矩陣A[15],其中1

(22)

(23)

(24)

(25)

計(jì)算Xi的能量，計(jì)算公式如式(26),將式(25)代入式(26)得到式(27)。

(26)

(27)

若信號(hào)X由直流信號(hào)Z，交流信號(hào)S，噪聲信號(hào)ξ線性疊加組成。那么該信號(hào)的Hankel矩陣A的可有其各自的Hankel矩陣組成式(28)。由于Hankel矩陣下一行的數(shù)據(jù)相對(duì)于上一行數(shù)據(jù)僅僅滯后1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，對(duì)于周期信號(hào)(交流)，其Hankel矩陣相鄰兩行高度相關(guān)，矩陣高度病態(tài)，其秩q?min(m,n)，所以周期信號(hào)的奇異值只有q個(gè)，且由大到小排列，直流信號(hào)的Hankel矩陣的秩為1，所以直流信號(hào)的只有一個(gè)不為零的奇異值，而對(duì)噪聲信號(hào)而言，從同一個(gè)噪聲序列中截取的兩個(gè)子序列就相差一位，但是這兩個(gè)子序列不相關(guān)，所以其Hankel矩陣良性滿秩，其秩q=min(m,n)，那么它奇異值分解結(jié)果奇異值大小均勻，都不為零。

A=AZ+AS+Aξ

(28)

對(duì)于均含有這三種信號(hào)的混合信號(hào)構(gòu)成的Hankel矩陣A，它的奇異值并不各個(gè)單獨(dú)信號(hào)奇異值的簡(jiǎn)單相加，理論上有以下不等式成立：

(29)

式中,1≤t≤q，A,B,C∈Rm×n,σh(A)是矩陣A的第h個(gè)奇異值，t表示累加值。(也就是混合信號(hào)重構(gòu)小于等于各個(gè)成分信號(hào)分別奇異值分解重構(gòu)的和)。在構(gòu)造Hankel矩陣時(shí)，如果min(m,n)越小，三個(gè)分量信號(hào)的矩陣奇異值會(huì)混合在一起難以分開；但是當(dāng)min(m,n)增大時(shí)，三個(gè)分量信號(hào)的奇異值會(huì)逐漸分離開，當(dāng)大到一定程度時(shí)有以下近似關(guān)系：

σ(AZ+AS+Aξ)≈(σZ,σS1,…,σSq，σξ,…,σξ)

(30)

構(gòu)造仿真信號(hào)2+2sin(4t)+sin(10t)+ξ(t)，其中ξ(t)為均值為0方差為1的白噪聲，該信號(hào)由直流信號(hào)，兩組周期信號(hào)，一個(gè)白噪聲信號(hào)疊加而成，在[0，2π]范圍內(nèi)采樣512個(gè)點(diǎn)。對(duì)疊加信號(hào)和各個(gè)單分量信號(hào)做奇異值分解，其奇異值分布如圖22(取前16個(gè)奇異值點(diǎn))。由圖22可知，直流分量只有在第一個(gè)奇異值不為零，其它奇異值都為零，而這個(gè)奇異值和混合信號(hào)的奇異值幾乎重合，各個(gè)交流分量只有前2個(gè)奇異值不為零，其它奇異值均為零，而它們與混合信號(hào)的2～5個(gè)奇異值幾乎重合。噪聲信號(hào)的奇異值均不為零，并且大小較平均，它們與混合信號(hào)第5個(gè)之后的奇異值完全重合。這也印證了式(30)的正確性。比較兩個(gè)交流信號(hào)的奇異值分布，以及該奇異值在混合信號(hào)中的分布特征發(fā)現(xiàn)，不同頻率交流信號(hào)的奇異值存在錯(cuò)位特征，組合信號(hào)的奇異值分布是單分量交流信號(hào)奇異值的移位疊加，其排列順序按奇異值大小由大到小排列。該錯(cuò)位特性正是解決提純信號(hào)消除噪聲的關(guān)鍵。

圖22 混合信號(hào)和各個(gè)分量信號(hào)奇異值分布Fig.22 Singular value distribution of mixed signal and other component signals

4 萬向傳動(dòng)軸動(dòng)不平衡檢測(cè)方法和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

依據(jù)不平衡故障頻率可能存在的范圍，對(duì)信號(hào)進(jìn)行改進(jìn)DTCWT分解，用近似信號(hào)構(gòu)造Hankel矩陣，應(yīng)用奇異值理論對(duì)Hankel矩陣進(jìn)行奇異值分解，在奇異值的階梯結(jié)構(gòu)中選擇貢獻(xiàn)量較大的前5階奇異值重構(gòu)信號(hào)，用重構(gòu)信號(hào)的傅立葉變換來檢測(cè)萬向軸的動(dòng)不平衡。為了驗(yàn)證本文提出的方法對(duì)萬向軸動(dòng)不平衡檢測(cè)的有效性，搭建了如圖23所示的萬向軸動(dòng)不平衡試驗(yàn)臺(tái)。該試驗(yàn)平臺(tái)的動(dòng)力傳遞途徑為：電機(jī)、齒輪箱、萬向節(jié)、萬向傳動(dòng)軸、萬向節(jié)。不平衡軸選用專項(xiàng)修軸(不平衡超過車輛的使用標(biāo)準(zhǔn))和新軸(不存在不平衡量)兩種。

圖23 萬向傳動(dòng)軸動(dòng)不平衡試驗(yàn)平臺(tái)Fig.23 Test platform of cardan shaft dynamic imbalance

采集萬向軸靠近電機(jī)端的萬向節(jié)軸的垂向振動(dòng)加速度信號(hào)作為萬向軸不平衡檢測(cè)的信號(hào)源。萬向軸的試驗(yàn)轉(zhuǎn)速為2 750 r/min,對(duì)存在動(dòng)不平衡的專修軸做故障試驗(yàn)，采樣頻率為10 000 Hz，采集數(shù)據(jù)見圖24。由于試驗(yàn)轉(zhuǎn)速為2 750 r/min，萬向軸動(dòng)不平衡故障特征頻率為轉(zhuǎn)頻(2 750/60=45.83)或其倍頻。根據(jù)這一特點(diǎn)對(duì)信號(hào)做4層改進(jìn)DTCWT分解并對(duì)近似信號(hào)做單子重構(gòu)，對(duì)重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行奇異值分解，選擇貢獻(xiàn)較大的幾個(gè)奇異值再次重構(gòu)信號(hào)。重構(gòu)信號(hào)的傅里葉譜見圖25。

圖24 專修軸動(dòng)不平衡實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Fig.24 Experimental data of dynamic imbalance of training shaft

圖25 專修軸數(shù)據(jù)改進(jìn)DTCWT-SVD方法傅里葉譜Fig.25 Fourier spectrum of improving DTCWT-SVD of experimental data of training shaft

圖中的關(guān)鍵頻率結(jié)構(gòu)如表1所示。

表1 專修軸的主要故障頻率Tab.1 Main fault frequency of training shaft

結(jié)合萬向軸的試驗(yàn)轉(zhuǎn)速可知，表中頻率1(46 Hz)是萬向軸的試驗(yàn)轉(zhuǎn)頻，頻率2(92 Hz)正好是轉(zhuǎn)頻的2倍頻，頻率3(138 Hz)、頻率4(184 Hz)、頻率5(230 Hz)正好是轉(zhuǎn)頻的3、4、5倍頻。因此通過改進(jìn)DTCWT-SVD的萬向軸動(dòng)不平衡檢測(cè)方法能夠有效檢測(cè)不平衡故障引起的轉(zhuǎn)速基頻、倍頻等故障特征。為萬向軸的不平衡故障檢測(cè)提供了有效的檢測(cè)方法。

利用同樣的方法對(duì)不存在動(dòng)不平衡的萬向軸新軸進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，新軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)見圖26，對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行相同方法處理得到改進(jìn)DTCWT-SVD方法處理后的傅里葉譜見圖27。

圖26 新軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)Fig.26 Experimental data of new shaft

圖27 新軸數(shù)據(jù)改進(jìn)DTCWT-SVD方法傅里葉譜Fig.27 Fourier spectrum of improving DTCWT-SVD of experimental data of new shaft

圖中的關(guān)鍵頻率結(jié)構(gòu)如表2所示。

表2 新軸的主要故障頻率Tab.2 Main fault frequency of new shaft f/Hz

依據(jù)空心軸的一階固有頻率通用的計(jì)算公式得到萬向軸的一階固有頻率:

式中:da=142 mm為萬向軸的外徑;db=130 mm為萬向軸的內(nèi)徑;Lc=1 830 mm為萬向軸的長(zhǎng)度;η=0.8為空心軸的系數(shù)。

則有:

f=93.5 Hz

表2中沒有出現(xiàn)反映萬向軸的不平衡帶來的故障頻率，僅在一階固有頻率附近、0.5倍固有頻率附近、1.5倍固有頻率附近處出現(xiàn)振動(dòng)，說明該檢測(cè)方法虛警幾率低，可靠性高。

5 與經(jīng)典小波變換、DTCWT、純改進(jìn)DTCWT方法比較

應(yīng)用db8小波、DTCWT、純改進(jìn)DTCWT對(duì)萬向軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)做4層小波分解，最后對(duì)低頻近似信號(hào)做單子重構(gòu)傅里葉譜，得到圖28、圖29、圖30。

圖28 專修軸經(jīng)典小波變換重構(gòu)信號(hào)傅里葉譜Fig.28 Reconstruction fourier spectrum of training shaft with classical wavelet

圖29 專修軸DTCWT變換重構(gòu)信號(hào)傅里葉譜Fig.29 Reconstruction fourier spectrum of training shaft with DTCWT

圖30 專修軸純改進(jìn)DTCWPT變換重構(gòu)信號(hào)傅里葉譜Fig.30 Reconstruction fourier spectrum of training shaft with improving DTCWT

將經(jīng)典小波變換得到的結(jié)果見圖28、DTCWT變換結(jié)果見圖29、純改進(jìn)DTCWT變換結(jié)果見圖30、與改進(jìn)DTCWT-SVD分解的結(jié)構(gòu)圖25比較，按照四層Mallet算法的頻率劃分特點(diǎn)可以得出重構(gòu)子帶頻率為0～312.5 Hz，經(jīng)典小波變換在提取出了故障頻率特征時(shí)沒有完全消除頻帶以外的信號(hào)，并且在截止頻率處產(chǎn)生了大量大幅度與故障特征頻率無關(guān)的虛假頻率成分，給故障判斷和頻率譜線的解釋帶來困難，DTCWT變換也提出了基頻、倍頻的特征頻率，并且在截止頻率處幾乎衰減為零，但是和經(jīng)典小波類似由于小波濾波器頻率沒有完全截止，從而引入高頻的泄露頻率和混疊頻率使得對(duì)頻譜圖中譜線解釋變得非常困難。純改進(jìn)DTCWT方法在截止頻率處完全截止，沒有引入高頻泄露頻率和混疊頻率，但是同經(jīng)典小波和DTCWT一樣頻譜中除了故障振動(dòng)頻率外還有大量無關(guān)振動(dòng)頻率使得譜線復(fù)雜難以分辨。改進(jìn)DTCWT-SVD方法除了提取出所有故障振動(dòng)頻率，其譜線的分辨率十分清晰，提高了故障的可分可判斷性，有利于萬向軸的預(yù)警，提高了故障的診斷力。

同理，利用經(jīng)典小波、DTCWT、純改進(jìn)DTCWT對(duì)新軸數(shù)據(jù)進(jìn)行分解和重構(gòu)，重構(gòu)后的傅里葉譜如圖31、圖32、圖33所示。比較圖31、圖32、圖33、圖27，可以看出經(jīng)典小波、DTCWT、純改進(jìn)DTCWT方法在改善交叉混疊和頻譜泄露上存在差別外，它們的頻譜均繁雜難辨，且在不平衡轉(zhuǎn)速頻率附近依然存在較大幅值的頻率成分，這對(duì)萬向軸的不平衡故障的判定帶來困難，檢測(cè)的虛假報(bào)警頻次高。而改進(jìn)DTCWT-SVD方法的分解結(jié)果圖中譜清晰，有利于萬向軸的預(yù)警，降低虛警，提高故障的診斷力。

圖31 新軸經(jīng)典小波變換重構(gòu)信號(hào)的傅里葉譜Fig.31 Reconstruction fourier spectrum of new shaft with classical wavelet

圖32 新軸DTCWT變換重構(gòu)信號(hào)傅里葉譜Fig.32 Reconstruction fourier spectrum of new shaft with DTCWT

圖33 新軸純改進(jìn)DTCWT變換重構(gòu)信號(hào)傅里葉譜Fig.31 Reconstruction fourier spectrum of new shaft with improving DTCWT

6 結(jié) 論

本文在改進(jìn)DTCWT的同時(shí)，將奇異值分解引入到萬向軸動(dòng)不平衡檢測(cè)中，具有很好的工程運(yùn)用價(jià)值。該方法概括起來具有以下特點(diǎn)：

(1)DTCWT與經(jīng)典小波變換相比，其濾波器不存在負(fù)頻率成分，使得DTCWT具有近似平移不變性和抗頻率混疊。但是DTCWT和經(jīng)典小波一樣，其濾波器在截止頻率處不能完全截止，在相鄰分解尺度頻率間存在重疊混淆的缺陷，易致頻率結(jié)構(gòu)混雜，淹沒故障特征。

(2)改進(jìn)DTCWT的濾波器不存在經(jīng)典小波濾波器的負(fù)頻率，并且其濾波器在截止頻率處完全截止，使得改進(jìn)DTCWT在相鄰尺度分解中不存在頻率泄露和頻率混疊的缺陷。

(3)奇異值分解針對(duì)不同頻率結(jié)構(gòu)的信號(hào)在奇異值分布規(guī)律上呈現(xiàn)錯(cuò)位特性，并且其奇異值排列順序由各個(gè)分量信號(hào)能量決定，這為關(guān)鍵大幅值、大能量振動(dòng)模式提取的奇異值選擇提供了理論依據(jù)。

(4)改進(jìn)DTCWT與奇異值分解相結(jié)合，能夠得到故障基頻、倍頻等關(guān)鍵振動(dòng)模式和振動(dòng)特征，消除頻率混疊產(chǎn)生的虛假頻率，提純特征譜線，凸顯故障特征。

(5)該方法與經(jīng)典小波變換、DTCWT、純DTCWT相比，其譜的分辨率、清晰度、故障表征力得到了顯著提高，對(duì)降低故障裁定難度、提高故障檢測(cè)品質(zhì)具有重要的工程意義。

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Detection of the dynamic imbalance of cardan shaft by applying an improved DTCWT-SVD

HE Liu, LIN Jianhui, LIU Xinchang, HUANG Yan

(State Key Laboratory of Traction Power, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

A new improved algorithm of the dual tree complex wavelet transform (DTCWT) was proposed aiming at dealing with the leakage frequency and aliasing defect existing in classical wavelet transform and coventional DTCWT. The algorithm solves the problem of negative frequencies existing in classic wavelet and the problem of incomplete cut-off of filter frequency in classical wavelet transform and conventional DTCWT. The improved DTCWT and singular value decomposition (SVD) were introduced in the dynamic imbalance detection of cardan shaft. The vibration signals at the base installed with gimbal were decomposed through the improved DTCWT to get the different scale decomposition signal. The low-frequency approximated signal was decomposed by the SVD and the key singular values were selected to reconstruct the vibration signal based on the key stack of singular values. The fourier spectrum of the reconstructed signal was applied to detect the dynamic imbalance of the cardan shaft. The method can eliminate the defects submerged in unbalanced fault signals and highlight the failure characteristics. The method was verified by test data in the condition of dynamic imbalance. The results show the improved DTCWT-SVD can effectively detect the fundamental frequency and frequency multiplication caused by the dynamic imbalance of cardan shaft and the clarity and failure characterization are significantly improved by using the improved DTCWT-SVD.

dynamic imbalance; cardan shaft; improved DTCWT; SVD; dynamic detection

2015-05-05 修改稿收到日期：2015-11-09

何劉 男，碩士生，1990年生

林建輝 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1964年生

U211；U270

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.22.022