余勝平，熊文濤

(湖北工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 孝感 432000)

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區(qū)間數(shù)多準(zhǔn)則分類問題的一種UTADIS擴(kuò)展方法

余勝平，熊文濤

(湖北工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 孝感 432000)

針對(duì)帶有區(qū)間數(shù)的多準(zhǔn)則分類問題，擴(kuò)展了傳統(tǒng)的UTADIS(UTilites Additives DIScriminantes)方法，提出了一種區(qū)間UTADIS(interval UTADIS，IUTADIS)方法。該方法不是將區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)精確值(如均值)，而是根據(jù)區(qū)間數(shù)的端點(diǎn)，建立一個(gè)線性規(guī)劃模型，得到了各方案的分配范圍，即分類區(qū)間。由于是直接采用區(qū)間數(shù)的端點(diǎn)計(jì)算，所以可以盡量減少因區(qū)間數(shù)運(yùn)算帶來的信息損失；并且，決策人對(duì)部分方案的分配，只需提供分類區(qū)間，這樣可使該方法更加靈活。最后，用一個(gè)算例說明了該方法的可行性。

UTADIS方法；區(qū)間數(shù)；加性效用函數(shù)；多準(zhǔn)則分類問題

多準(zhǔn)則分類問題是在多個(gè)準(zhǔn)則下將有限個(gè)方案分配到事先定義的有序類中，這類問題在現(xiàn)實(shí)生活中十分常見，如信用評(píng)級(jí)[1]、安全軟件的評(píng)估[2]、供應(yīng)商的分類[3]，等等；文獻(xiàn)中給出了大量的分類方法，并開發(fā)了一些軟件[4-5]。在這些方法中，基于效用理論的方法是一類最普遍的方法，它將各方案在每一準(zhǔn)則下的指標(biāo)值轉(zhuǎn)換成反映決策人偏好的效用值，然后利用某種融合方法將其綜合成一個(gè)值，每個(gè)準(zhǔn)則下的效用函數(shù)稱為邊際效用函數(shù)。邊際效用函數(shù)的構(gòu)造可分為直接方法和間接方法，前者需要決策者直接提供反映他/她偏好的具體值。后者則是從一組參考方案的分配實(shí)例中利用某種數(shù)學(xué)方法(如數(shù)學(xué)規(guī)劃)推導(dǎo)計(jì)算出反映決策人偏好的參數(shù)值。由于間接方法計(jì)算模型一般比較簡(jiǎn)單，并且需要較少的認(rèn)知，受到了許多學(xué)者的青睞。學(xué)者們提出了多種基于間接偏好信息的多準(zhǔn)則分類方法，其中UTADIS方法[6]是一種典型的方法，它假設(shè)每一個(gè)準(zhǔn)則下的邊際效用函數(shù)都是分段線性函數(shù)，根據(jù)決策人提供的方案分類信息，利用加性方法構(gòu)建一個(gè)線性規(guī)劃模型，計(jì)算出每個(gè)方案的綜合效用值。線性規(guī)劃的約束條件使得計(jì)算結(jié)果與決策人提供的偏好信息盡可能一致，通過最小化決策人提供分配例子的分類誤差，計(jì)算出每個(gè)方案的綜合效用與類的閾值，將其分配給一個(gè)預(yù)定義的合適的類中。

然而，當(dāng)決策人的案例分配相對(duì)較少時(shí)，數(shù)學(xué)規(guī)劃模型可能有多個(gè)最優(yōu)解，這意味著可以確定多個(gè)效用函數(shù)。在UTADIS方法中一般使用再優(yōu)化分析檢驗(yàn)排序結(jié)果的穩(wěn)定性，得到最終的邊際效用函數(shù)。另外，Greco et al[7]假設(shè)每個(gè)準(zhǔn)則的邊際效用函數(shù)僅是單調(diào)非降的函數(shù)，定義了必然偏好關(guān)系和可能偏好關(guān)系，提出了一系列多準(zhǔn)則分類方法[8]。然而，這些方法都假設(shè)決策人提供的方案評(píng)價(jià)值和分類參數(shù)是精確的，不能有效處理帶有不精確信息的問題。據(jù)筆者所知，只有少數(shù)文獻(xiàn)處理了不精確數(shù)據(jù)的多準(zhǔn)則分類問題，如文獻(xiàn)[9]針對(duì)區(qū)間數(shù)多準(zhǔn)則分類問題，擴(kuò)展了Flowsort方法。本文則是對(duì)傳統(tǒng)的UTADIS方法進(jìn)行了一個(gè)簡(jiǎn)單、直觀的擴(kuò)展，假設(shè)各準(zhǔn)則下的性能指標(biāo)值均為區(qū)間數(shù)，且決策人提供部分方案的分配也是分類區(qū)間，即可能分配的最大類和最小類；結(jié)合文獻(xiàn)[7]的思想，不是等分所有準(zhǔn)則下的區(qū)間段，而是采用決策人提供的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，計(jì)算其效用值，再利用分段線性插值，得到所有方案的分類區(qū)間。分類的結(jié)果用區(qū)間范圍表示，增加了決策人的靈活性，且分類過程中沒有因區(qū)間數(shù)的運(yùn)算而丟失信息。

1 問題的描述

定義1[10]如果某個(gè)方案a分配的最好和最差類分別為CL(a)，CR(a)，則稱[CL(a)，CR(a)]為方案a的分類區(qū)間，其中[CL(a)，CR(a)]表示一個(gè)連續(xù)CL(a)，CL(a)+1，…，CR(a)，L(a)≤R(a)，記為a→[CL(a)，CR(a)]。

顯然，當(dāng)且僅當(dāng)L(a)=R(a)時(shí)，方案a的分配是精確分配。

2 帶有區(qū)間數(shù)的UTADIS方法

這里考察方案在各準(zhǔn)則下指標(biāo)值均為區(qū)間數(shù)的決策情形，不是將區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)換成像均值一樣的精確數(shù)計(jì)算，而是直接利用區(qū)間數(shù)的端點(diǎn)計(jì)算?；诖耍旅媸紫冉o出區(qū)間數(shù)的一些運(yùn)算法則。

2.1 區(qū)間數(shù)的運(yùn)算

(1)

(2)

(3)

(4)

2.2 傳統(tǒng)的UTADIS方法

(5)

(6)

在與決策人提供的偏好信息盡量一致的前提下，UTADIS方法根據(jù)一個(gè)模型來估計(jì)綜合效用值(加性效用函數(shù))和效用閾值，這種模型本質(zhì)上是一個(gè)目標(biāo)規(guī)劃模型。在決策人給出的決策案例中，可能存在低估誤差σ-和高估誤差σ+。以誤差總和最小為目標(biāo)函數(shù)，可構(gòu)造線性規(guī)劃模型I。

2.3 區(qū)間數(shù)多準(zhǔn)則分類問題的參數(shù)推斷模型

考慮到每個(gè)方案的指標(biāo)值xij均為區(qū)間數(shù)，本文將模型I擴(kuò)展為含有區(qū)間數(shù)的情形。根據(jù)公式(1)-(6)，利用區(qū)間數(shù)端點(diǎn)值計(jì)算出每個(gè)方案的最小綜合效用值和最大綜合效用值；再根據(jù)定義1，確定每個(gè)方案的分類區(qū)間。若決策人能提供的偏好信息為方案的分類區(qū)間，則模型I可擴(kuò)展為模型II。

3 算例

考察如下的決策問題，假設(shè)有5個(gè)評(píng)估準(zhǔn)則：g1：交貨執(zhí)行情況，g2：處理時(shí)間(天)，即需要開發(fā)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的時(shí)間，g3：設(shè)計(jì)修改時(shí)間(天)，即需要執(zhí)行項(xiàng)目的修改時(shí)間，g4：成型時(shí)間(天)，即需要構(gòu)建原型的時(shí)間，g5：成本還原能力，其中g(shù)1、g5為效益型準(zhǔn)則，g2、g3、g4為成本型準(zhǔn)則。一家公司希望根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)將10個(gè)供應(yīng)商a1，a2，…，a10分為4類：戰(zhàn)略合作關(guān)系供應(yīng)商(C1)、有前途的供應(yīng)商(C2)、有競(jìng)爭(zhēng)合作關(guān)系的供應(yīng)商伙伴(C3)、需要取消合作的供應(yīng)商(C4)，其中C1最好的類，C4為最差的類。由于實(shí)際中很難給出各個(gè)供應(yīng)商的精確評(píng)估值和將部分供應(yīng)商精確地歸為某一類，這里假設(shè)這10個(gè)供應(yīng)商在各準(zhǔn)則下的評(píng)估值為區(qū)間數(shù)(見表1)，并且決策人根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，可以給出部分供應(yīng)商的分配范圍(a1∈C2，即 a1→[C2，C2]，a2∈[C3，C4]，a3∈[C2，C3]，a4∈[C3，C4]，a5∈[C2，C3])，決策人給出各準(zhǔn)則下關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)見表2，試確定所有方案的分配范圍。

表1 10 個(gè)方案在5個(gè)準(zhǔn)則下的評(píng)估區(qū)間數(shù)

表2 各準(zhǔn)則下的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)值

表3 各準(zhǔn)則下的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的效用值

表4 所有方案的綜合效用區(qū)間

從表4可知，方案a1，a2， …，a5和決策人提供的分類區(qū)間完全一致，說明本文提出的模型能在滿足決策人提供偏好信息的前提下，對(duì)待評(píng)方案分類；由于決策信息為區(qū)間信息，所以結(jié)果一般為分類區(qū)間，但部分方案依然可精確分配，如a7，a9，而a10的分類最不確定，這可增加決策的靈活性。

4 小結(jié)

UTADIS方法是一種基于效用理論的多準(zhǔn)則分類方法，本文對(duì)其進(jìn)行了擴(kuò)展，使之能處理評(píng)價(jià)值為區(qū)間數(shù)的多準(zhǔn)則分類問題，并且降低了決策人提供案例的精確要求，只需要給出案例中方案的分配范圍。根據(jù)本文給出的模型，最終可以得到每個(gè)方案分配的分類區(qū)間，以供決策人根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)一步?jīng)Q策，從而增加了決策的靈活性。

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(責(zé)任編輯：鄒禮平)

An Extension of UTADIS Method for the Multiple Criteria Sorting Problems with Interval Data

Yu Shengping, Xiong Wentao

(SchoolofMathematicsandStatistics,HubeiEngineeringUniversity,Xiaogan,Hubei432000,China)

We propose an extension of the traditional UTADIS sorting method for the multi-criteria sorting problems with interval data, which is called IUTADIS. In this method, the interval numbers are not reduced to crisp numbers, but calculated according to their endpoints. A linear programming model is established to obtain the ranges of categories that each alternative may be assigned, namely, the intervals of contiguous categories. Because the calculation is directly based on the endpoints of interval numbers, it can minimize the information loss because of interval computation. In addition, it is flexible because it only requires decision maker to offer the range of some alternatives. Finally, an example is given to illustrate the feasibility of the method.

UTADIS method; interval data; additive value function; multiple criteria sorting

2016-10-08

湖北省教育廳科學(xué)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目(Q20132706)

余勝平(1980- )，女，湖北襄陽(yáng)人，湖北工程學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，碩士。

熊文濤(1978- )，男，湖北漢川人，湖北工程學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授，博士。

C934

A

2095-4824(2016)06-0066-05