非齊次橢圓型方程雙側(cè)障礙問題的很弱解

樊自安

(湖北工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 孝感 432000)

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非齊次橢圓型方程雙側(cè)障礙問題的很弱解

樊自安

(湖北工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 孝感 432000)

運(yùn)用Hodge分解方法,選擇適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)函數(shù),證明了一類非齊次橢圓型偏微分方程雙側(cè)障礙問題很弱解的局部有界性。

非齊次橢圓方程;很弱解;Hodge分解;雙側(cè)障礙問題

20世紀(jì)90年代, Iwaniec在文獻(xiàn)[1-2]提出了很弱解的概念, 并用擾動(dòng)向量場的Hodge分解研究了形如方程(1)的很弱解的性質(zhì)，方程(1)稱為A-調(diào)和方程。

-divA(x，u)=0

(1)

近年來， 運(yùn)用Hodge分解法，已經(jīng)取得了許多研究成果， 方程(1)障礙問題的弱解及很弱解也得到了廣泛研究。文獻(xiàn)[3]研究了方程(1)的障礙問題弱解的梯度更高可積性;文獻(xiàn)[4]研究了方程(1)的障礙問題很弱解的局部有界性;關(guān)于方程(1)的障礙問題很弱解的性質(zhì)的討論還可見文獻(xiàn)[5-6].類似于方程(1)的討論方法，文獻(xiàn)[10-12]研究了其他散度方程障礙問題的弱解及很弱解，其中文獻(xiàn)[10]研究了非齊次A-調(diào)和方程(2)障礙問題的很弱解。

-divA(x，u)=f(x)

(2)

本文討論方程(2)的雙側(cè)障礙問題的很弱解。

1 定義及預(yù)備知識(shí)

式中α，β>0是常數(shù)。

且有:

式中范數(shù)下標(biāo)r表示Lr，以下不再說明。

下面給出方程(2)障礙問題很弱解的定義。

∫Ω〈A(x，(v-u)〉dx

≥∫Ω〈A(x，u)，hv，u〉dx+∫Ωfφv，udx .

2 主要結(jié)果及證明

首先給出一個(gè)簡單的引理， 后面定理的證明要用到這個(gè)結(jié)論。

引理1[7]設(shè)f(τ)是一個(gè)定義在0≤R0≤t≤R上的非負(fù)有界函數(shù)，且

f(τ)≤A(t-τ)-α+B+θf(t)

這里，A，B，α，θ是非負(fù)常數(shù)，θ<1.則存在常數(shù)c=c(α，θ)，對于任意ρ、R，當(dāng)R0≤ρ

f(ρ)≤c[A(t-τ)-α+B]

引理2[8]假設(shè)一個(gè)函數(shù)u(x)屬于B類，則對于BR?Ω，有

maxu(x)≤C.

下面給出方程(2)雙側(cè)障礙問題很弱解的局部有界性結(jié)果。

結(jié)論。

于是，由定義1得到

∫Ω〈A(x，(v0-u)〉dx≥∫Ω〈A(x，u)，hv，u，1〉dx+∫Ωfφv，u，1dx

由Hodge分解的唯一性及v0的定義得到當(dāng)u>k，φv，u，1=φv，u，hv，u，1=hv，u;u≤k，φv，u，1=0，hv，u，1=0，于是

≥∫Ω〈A(x，u)，hv，u，1〉dx+∫Ωfφv，u，1dx

(3)

及

(4)

(5)

由(3)-(5)，得到

(6)

由條件(A)及(6)式，得到：

(7)

由條件(B)及(6)式，得到

式中ε>0。

(8)

現(xiàn)在來估計(jì)I2和I3。由Young不等式、條件(B)及Hodge分解得到

(9)

由(4)式

由Young不等式、Hodge分解得到

(10)

取ε和p-r足夠小，使得0<ε0=C1ε+εβ+2C(ε，p)(p-r)β<1，取R1/2≤ρ

式中C=C(p，r，α，β)。

由引理1得到

由定義2，u(x)屬于B類，因此由引理2，在R/2內(nèi)，maxu(x)≤C，證畢。

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(責(zé)任編輯：熊文濤)

2016-02-07

湖北省教育廳科學(xué)研究計(jì)劃項(xiàng)目(B2015032)

O175.25

A

2095-4824(2016)03-0122-03

作者簡介：樊自安(1972-), 男, 湖北廣水人,湖北工程學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授, 碩士。