陶會鋒，楊 星，陳 杰，凌永順，殷松峰

(1.電子工程學(xué)院 脈沖功率激光技術(shù)國家重點實驗室，安徽 合肥 230037；2.電子工程學(xué)院 紅外與低溫等離子體安徽省重點實驗室，安徽 合肥 230037；3. 安徽建筑大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，安徽 合肥 230601)

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粒子群優(yōu)化結(jié)構(gòu)測量矩陣的遙感壓縮成像

陶會鋒1，2*，楊 星1，2，陳 杰3，凌永順1，2，殷松峰1，2

(1.電子工程學(xué)院 脈沖功率激光技術(shù)國家重點實驗室，安徽 合肥 230037；2.電子工程學(xué)院 紅外與低溫等離子體安徽省重點實驗室，安徽 合肥 230037；3. 安徽建筑大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，安徽 合肥 230601)

針對塊循環(huán)測量矩陣應(yīng)用于遙感壓縮成像存在圖像重構(gòu)性能不理想的問題，本文把粒子群智能優(yōu)化算法引入到塊循環(huán)矩陣優(yōu)化中，實現(xiàn)了在保持矩陣結(jié)構(gòu)不變的同時對塊循環(huán)矩陣的優(yōu)化。首先以相關(guān)系數(shù)的Welch界為閾值約束Gram矩陣非對角元素構(gòu)造目標(biāo)矩陣；然后以Gram矩陣逼近目標(biāo)矩陣的方式建立目標(biāo)函數(shù)，將優(yōu)化對象改為構(gòu)造塊循環(huán)矩陣的自由元向量。為提高優(yōu)化效率，文中采用權(quán)重自適應(yīng)更新的方式提高粒子搜索能力。開展了相關(guān)重構(gòu)對比實驗，結(jié)果表明，優(yōu)化后的塊循環(huán)測量矩陣在保持矩陣結(jié)構(gòu)的同時，降低了與稀疏變換矩陣的相關(guān)性，其與稀疏變換矩陣的最大相關(guān)系數(shù)、平均相關(guān)系數(shù)和閾值平均相關(guān)系數(shù)分別降低了0.027 3、0.017 5和0.004 6，得到的結(jié)果顯示優(yōu)化的塊循環(huán)矩陣提高了圖像的重構(gòu)性能。

遙感圖像；壓縮成像；圖像重構(gòu)；塊循環(huán)矩陣；粒子群優(yōu)化

1 引 言

信息時代，隨著信息需求量的與日俱增，高空間、時間和光譜分辨率的圖像獲取成為遙感成像的重要發(fā)展趨勢。由于成像系統(tǒng)硬件的限制和數(shù)據(jù)傳輸、處理的壓力，基于Nyquist采樣定理的信息獲取方式用于高分辨率遙感成像系統(tǒng)時存在難以突破的瓶頸[1-2]。壓縮感知(Compressive Sensing， CS)理論[3]的提出為遙感信息獲取提供了新的解決方案?；贑S理論的壓縮成像技術(shù)通過對光參量進行調(diào)制，能以較少數(shù)據(jù)采樣量恢復(fù)出高分辨率圖像，實現(xiàn)采樣、壓縮和數(shù)據(jù)處理一體化。通過選用不同光調(diào)制器件，目前已發(fā)展了多種壓縮成像系統(tǒng)和模型，如單像素相機[4]、偏振光壓縮成像[5]、壓縮編碼孔徑成像[6]以及高光譜壓縮成像[7]等。

測量矩陣是CS理論的核心，其能否在保證圖像重構(gòu)性能的同時兼顧實時性一直是制約CS理論走向?qū)嵱没闹匾蛩亍８咚闺S機矩陣能夠以較大概率滿足有限等距性質(zhì)(Restricted Isometry Property， RIP)[8]，其作為測量矩陣具有很強的普適性。但是高斯隨機矩陣中自由元素太多，不利于硬件實現(xiàn)，同時其存儲要求高和計算復(fù)雜，并不適合應(yīng)用于實際遙感壓縮成像。Marcia等根據(jù)壓縮編碼孔徑的成像機理，提出將易于硬件實現(xiàn)的塊循環(huán)矩陣(Block Circulant Matrix)[5]作為測量矩陣，但塊循環(huán)測量矩陣的重構(gòu)性能還不理想。為緩解這一矛盾，一種有效的措施是對塊循環(huán)測量矩陣進行優(yōu)化，降低其與稀疏變化矩陣的相關(guān)性。

針對隨機測量矩陣的優(yōu)化問題，國內(nèi)外學(xué)者已提出很多相關(guān)算法：如Elad將Gram矩陣中非對角元素線性收縮至限定閾值[9]；Abolghasemi等提出的等角緊框(Equiangular Tight Frame， ETF)方法[10]； Zheng等提出基于擬牛頓法的優(yōu)化方法[11]等。這些方法主要是基于Gram矩陣的確定性迭代優(yōu)化，計算過程相對繁瑣，同時需要優(yōu)化問題滿足嚴(yán)格的數(shù)學(xué)性質(zhì)(如連續(xù)、可導(dǎo))，從而限制了優(yōu)化對象的選擇。這些方法用于具有特定結(jié)構(gòu)的塊循環(huán)矩陣優(yōu)化時，容易破壞矩陣結(jié)構(gòu)，從而影響其實用性能?；诖?，本文把粒子群智能優(yōu)化(Particle Swarm Optimization， PSO)算法引入到塊循環(huán)矩陣優(yōu)化中，而優(yōu)化對象則變?yōu)闃?gòu)造矩陣的自由元向量，以Welch界為閾值約束Gram矩陣非對角元素來構(gòu)造目標(biāo)矩陣，以Gram矩陣逼近目標(biāo)矩陣的方式建立目標(biāo)函數(shù)。為提高優(yōu)化效率，文中采用權(quán)重自適應(yīng)更新的方式提高粒子搜索能力。通過實驗驗證了優(yōu)化測量矩陣的重構(gòu)性能。

2 遙感壓縮成像塊循環(huán)測量矩陣編碼

遙感壓縮成像是通過在光學(xué)系統(tǒng)中添加光調(diào)制器件(如數(shù)字微鏡元件(Digital Micromirror Device，DMD)，編碼孔徑(Coded Aperture)和空間光調(diào)制器等)對光參量進行調(diào)制以實現(xiàn)壓縮采樣。其結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

圖1 遙感壓縮成像示意圖

設(shè)光調(diào)制器的點擴散函數(shù)為h，則場景X的編碼模型為：

(1)

可通過傅里葉變化將式(1)中卷積運算轉(zhuǎn)換到頻域運算：

(2)

式中：Γ=F?F，表示離散傅里葉變換矩陣Kronecker積；CH是對角元素為ΓH的對角矩陣。此時：

(3)

如果忽略下采樣矩陣的影響，由式(3)可知，壓縮成像的測量矩陣：

A=Γ-1CHΓ.

(4)

由于Γ具有對角化循環(huán)結(jié)構(gòu)，由矩陣運算可知A具有塊循環(huán)結(jié)構(gòu)。文獻[12-13]指出塊循環(huán)矩陣能夠以一定概率滿足RIP，本文用于指導(dǎo)光調(diào)制器的設(shè)計，從而實現(xiàn)光參量編碼。其數(shù)學(xué)形式：

(5)

(6)

3 基于粒子群的塊循環(huán)測量矩陣優(yōu)化

對塊循環(huán)測量矩陣優(yōu)化是提高其圖像重構(gòu)性能的一種有效措施，針對現(xiàn)有測量矩陣優(yōu)化方法容易破壞矩陣結(jié)構(gòu)的問題，本文提出了利用PSO智能算法對塊循環(huán)測量矩陣進行優(yōu)化。

3.1 測量矩陣優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)

文獻[9]指出通過降低測量矩陣與稀疏變換矩陣Ψ之間的相關(guān)性可以提高其重構(gòu)性能。兩者之間相關(guān)性等價于矩陣D=ΦΨ∈Rm×n各列之間歸一化互相關(guān)系數(shù)的最大值，即：

(7)

(8)

式中：gij為Gram矩陣中的元素。此時，優(yōu)化目標(biāo)可轉(zhuǎn)化為最小化Gram矩陣的非對角元素。

文獻[10]提出一種理想的狀態(tài)是令μmax→0，即使Gram矩陣無限逼近同維度單位矩陣。然而，這是一種非常嚴(yán)格的約束條件，計算收斂速度較慢。

根據(jù)編碼理論中Grassmanian框架[16]可知，測量矩陣的優(yōu)化等同于一組Grassmanian框架，其目的是通過最小化最大互相關(guān)系數(shù)，使所有投影向量包含相同冗余?；ハ嚓P(guān)系數(shù)存在著一個下界，即Welch界，通過使測量矩陣與稀疏變換矩陣的互相系數(shù)逼近Welch界，可使每個測量值包含等量信息，即測量值的信息熵達到最大。Welch界[17]定義為：

(9)

其中：n是稀疏變換矩陣中原子個數(shù)，m是測量數(shù)據(jù)個數(shù)。

為提高收斂速度，本文利用Welch界閾值截斷Gram矩陣非對角元素，定義新的目標(biāo)矩陣H：

(10)

式中：hij為目標(biāo)矩陣H的元素。式(10)約束了H矩陣的非對角元素，同時令H矩陣對角元素為1。

通過使Gram矩陣逼近新的目標(biāo)矩陣，可建立優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為：

(11)

式(7)定義的最大相關(guān)系數(shù)μmax只能反映測量矩陣與稀疏變換矩陣的局部相關(guān)性，為更好地評價測量矩陣的整體性能，引入平均相關(guān)系數(shù)和閾值平均相關(guān)系數(shù)：

(12)

(13)

式中：本文將閾值th設(shè)置為μwelch。

3.2 粒子群優(yōu)化過程

PSO算法是受鳥群捕食行為啟發(fā)而發(fā)展來的一種新的群智能進化優(yōu)化算法，具有收斂速度快、搜索性能好和易實現(xiàn)的優(yōu)點[18]。不同于現(xiàn)有確定性迭代優(yōu)化方法，PSO算法能夠適應(yīng)更多實際優(yōu)化問題，且對優(yōu)化對象沒有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)要求。PSO應(yīng)用于塊循環(huán)測量矩陣優(yōu)化時，優(yōu)化對象變?yōu)闃?gòu)造塊循環(huán)矩陣的自由元向量，這在保護矩陣結(jié)構(gòu)的同時能夠避免基于Gram矩陣優(yōu)化后逆求測量矩陣這一繁瑣的計算過程。PSO算法是一種不確定性迭代求解過程，為以更大概率獲得全局最優(yōu)解，相應(yīng)的改進型PSO算法被相繼提出來。本文選用自適應(yīng)權(quán)重PSO算法[19]去優(yōu)化塊循環(huán)測量矩陣，具體優(yōu)化過程：

Step 2：由自由元向量構(gòu)造塊循環(huán)矩陣，輸入稀疏變換矩陣，并計算Gram矩陣；

Step 3：構(gòu)造目標(biāo)矩陣H，并根據(jù)目標(biāo)函數(shù)計算每個粒子的適應(yīng)度J；

Step 4：比較每個粒子的適應(yīng)度與其所得到的最小值，更新個體最優(yōu)位置pBest和全局最優(yōu)位置gBest，并計算粒子慣性權(quán)重：

Step 5：更新粒子的速度和位置

其中：rand1，2是介于(0，1)之間的隨機數(shù)；c1，c2是學(xué)習(xí)因子。

4 實驗結(jié)果對比與分析

為驗證本文提出的基于PSO優(yōu)化塊循環(huán)測量矩陣在遙感壓縮成像中的有效性，本節(jié)開展了相關(guān)仿真實驗研究。主要包括兩部分：一是對塊循環(huán)測量矩陣性能優(yōu)化實驗；二是優(yōu)化的塊循環(huán)測量矩陣的重構(gòu)性能對比實驗。

4.1 塊循環(huán)矩陣性能優(yōu)化實驗

圖2 過完備稀疏字典

圖3上圖是塊循環(huán)測量矩陣優(yōu)化過程中目標(biāo)函數(shù)值隨著迭代次數(shù)的變化曲線。從圖中可以看出，目標(biāo)函數(shù)值在迭代過程中不斷下降，經(jīng)過120次迭代后函數(shù)值由最初的24收斂到18附近。圖3下圖(彩圖見期刊電子版)是構(gòu)造塊循環(huán)測量矩陣的自由元向量時元素值隨著迭代次數(shù)的變化情況，圖中不同顏色代表不同元素。同樣經(jīng)過120次迭代后元素取值趨于穩(wěn)定，并收斂 于[-4，4]。由此可得優(yōu)化的塊循環(huán)測量矩陣如圖4所示。

圖3 目標(biāo)函數(shù)值和自由元向量在迭代過程中的變化

Fig.3 Objective function and free elements change with number of iterations

圖4 優(yōu)化的塊循環(huán)矩陣

表1給出了優(yōu)化前后塊循環(huán)測量矩陣相關(guān)系數(shù)的比較，以及圖5的相關(guān)系數(shù)統(tǒng)計分布情況。從表1可以看出，優(yōu)化后的塊循環(huán)測量矩陣與稀疏字典之間的μmax、μav、μth值均比未優(yōu)化前小。這說明優(yōu)化后的塊循環(huán)矩陣與稀疏字典列向量之間的相關(guān)性變小。優(yōu)化后的塊循環(huán)矩陣μmax值低于高斯隨機矩陣，但是μth值仍大于高斯矩陣，其性能對比分析將在重構(gòu)實驗中作進一步討論。

圖5 測量矩陣與稀疏基相關(guān)系數(shù)統(tǒng)計分布

Fig.5 Statistical distribution of correlation coefficient of measurement matrix and sparse transform matrix

表1 測量矩陣性能對比

由圖5可以看出，優(yōu)化后的塊循環(huán)測量矩陣與稀疏變換矩陣的相關(guān)系數(shù)統(tǒng)計分布的數(shù)值范圍逐漸縮小，且在μwelch值附近分布更加集中。實驗結(jié)果表明，本文測量矩陣優(yōu)化方法能夠在保持塊循環(huán)矩陣結(jié)構(gòu)的同時，降低其與稀疏變換矩陣的相關(guān)性，使其更加符合測量矩陣的設(shè)計要求。

4.2 優(yōu)化的塊循環(huán)矩陣重構(gòu)性能實驗

為直觀地驗證優(yōu)化后塊循環(huán)矩陣用于遙感壓縮成像時的重構(gòu)性能，本節(jié)開展了相關(guān)重構(gòu)對比實驗。實驗中選取一幅512×512的遙感測試圖像，如圖6(a)所示。將該測試圖像分成1 024 個16×16子塊進行分塊重構(gòu)。而且通過與高斯隨機測量矩陣和未優(yōu)化的塊循環(huán)測量矩陣的重構(gòu)效果進行對比來驗證其性能。稀疏變換矩陣仍采用上一節(jié)中訓(xùn)練得到的過完備稀疏字典，重構(gòu)算法采用正交匹配追跡(Orthogonal Matching Pursuit， OMP)算法，并采用峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio， PSNR)和結(jié)構(gòu)相似度(Structure Similarity， SSIM)作為客觀評價指標(biāo)。

圖6是采樣率為50%的條件下，在3種不同測量矩陣得到的重構(gòu)結(jié)果。其中，PSNR分別為27.234 6， 29.081 2， 29.398 5和SSIM分別為0.908 3， 0.929 1， 0.934 7。重構(gòu)結(jié)果表明優(yōu)化后的塊循環(huán)測量矩陣的重構(gòu)性能明顯優(yōu)于優(yōu)化前；和隨機高斯測量矩陣的重構(gòu)結(jié)果相比，PSNR和SSIM值都比較接近，說明優(yōu)化后塊循環(huán)測量矩陣的重構(gòu)性能接近高斯隨機測量矩陣。從圖中也可直觀地看出在未優(yōu)化的塊循環(huán)測量矩陣測量下，重構(gòu)圖像“塊效應(yīng)”比較明顯，且在邊緣紋理區(qū)域重構(gòu)效果明顯差于優(yōu)化后塊循環(huán)測量矩陣的重構(gòu)效果；優(yōu)化后塊循環(huán)測量矩陣的重構(gòu)性能整體上接近高斯隨機測量矩陣的結(jié)果。

表2是相同采樣率條件下，4.1中所述遙感圖像訓(xùn)練集中5幅具有代表性樣本圖像的重構(gòu)結(jié)果做對比。5幅樣本圖像分別對應(yīng)著不同特征的遙感場景，實驗中統(tǒng)一采用圖2所示的過完備稀疏字典作為變換矩陣。由對比結(jié)果同樣可以看出，通過本文算法優(yōu)化后的塊循環(huán)測量矩陣重構(gòu)性能得到了很大改善。而且第一幅和第五幅遙感圖像的重構(gòu)性能略高于重構(gòu)性能較好的高斯隨機測量矩陣。對于不同遙感圖像而言，特征越復(fù)雜改善效果越明顯。

(a)原始圖像(a) Original image

(c)塊循環(huán)矩陣(c) Block circulant matrix

(d)優(yōu)化后的塊循環(huán)矩陣(d) Optimized block circulant matrix

SampleimagesPSNRSSIMPSNRSSIMPSNRSSIMPSNRSSIMPSNRSSIMGaussianrandommatrix28．47570．919632．06170．960629．08730．929727．11420．906330．00940．9411Blockcirculantmatrix26．83410．897730．01120．943827．00260．901324．87950．865829．29450．9308Optimizedblockcirculantmatrix28．70320．921731．98570．958928．91640．928126．93560．899130．01530．9474

為驗證優(yōu)化測量矩陣對采樣率的影響，比較了3種不同測量矩陣下的圖像重構(gòu)效果隨采樣率的變化情況。實驗中采樣率分別設(shè)置為0.20，0.25，0.30，…，0.60，每個采樣率下分別進行100次實驗，然后對重構(gòu)圖像的均方誤差(Mean Square Error， MSE)取平均并求得PSNR值和每次重構(gòu)圖像的SSIM值的平均值，對比結(jié)果如圖7所示。從圖中可以看出，優(yōu)化后的塊循環(huán)測量矩陣的圖像重構(gòu)性能優(yōu)于未優(yōu)化的塊循環(huán)測量矩陣，并接近高斯隨機測量矩陣的重構(gòu)性能。另外，在采樣率為0.20，0.25，0.30時，優(yōu)化后的塊循環(huán)測量矩陣對圖像的重構(gòu)性能最佳，說明優(yōu)化后的塊循環(huán)測量矩陣能夠在一定程度上降低測量數(shù)據(jù)量。

圖7 重構(gòu)圖像效果隨采樣率的變化

另外，考慮到塊循環(huán)矩陣子塊大小與光調(diào)制器件的點擴散函數(shù)相關(guān)。表3給出了不同子塊大小的塊循環(huán)測量矩陣優(yōu)化前后的重構(gòu)結(jié)果。實驗中變換矩陣仍采用圖2所示的過完備稀疏字典，每種類型的塊循環(huán)測量矩陣同樣分別進行100次重構(gòu)，并按照上述方法求其評價值。從表中可以看出，相比于未優(yōu)化的塊循環(huán)矩陣，優(yōu)化后的不同子塊大小的塊循環(huán)矩陣對圖像的重構(gòu)性能得到了不同程度的提高。其中子塊大小為16×16的塊循環(huán)矩陣改善程度最佳，PSNR和SSIM分別提高了1.806 2和0.021 6，其余按優(yōu)化效果由高到低依次是子塊大小為64×64，32×32，8×8和128×128的塊循環(huán)矩陣。同時從不同塊循環(huán)矩陣的重構(gòu)性能來看，子塊大小為64×64塊循環(huán)矩陣重構(gòu)性能最佳， 而子塊大小為16×16和32×32的性能也比較接近子塊大小64×64的塊循環(huán)矩陣。結(jié)合實驗所采用的塊循環(huán)矩陣規(guī)模，在實際應(yīng)用中選擇的子塊大小相比于整個矩陣規(guī)模要適中。

表3 不同子塊大小的塊循環(huán)測量矩陣性能對比

5 結(jié) 論

塊循環(huán)測量矩陣具有快速計算和易于實現(xiàn)的特點，用于遙感壓縮成像具有獨特優(yōu)勢。但考慮到它對圖像重構(gòu)性能仍不理想，本文從測量矩陣優(yōu)化的角度出發(fā)，改善測量矩陣性能?，F(xiàn)有測量矩陣優(yōu)化方法的主要優(yōu)化對象是隨機測量矩陣，應(yīng)用于塊循環(huán)測量矩陣優(yōu)化時會改變和破壞矩陣結(jié)構(gòu)。本文把粒子群智能算法引入到塊循環(huán)矩陣優(yōu)化中，優(yōu)化對象改為構(gòu)造矩陣的自由元向量。同時為提高優(yōu)化效率，以逼近作為目標(biāo)矩陣的Welch閾值截斷的Gram矩陣的方式，建立目標(biāo)函數(shù)。優(yōu)化實驗結(jié)果表明，優(yōu)化后的測量矩陣在保持塊循環(huán)結(jié)構(gòu)的同時，其與稀疏變換矩陣的最大相關(guān)系數(shù)、平均相關(guān)系數(shù)和閾值平均相關(guān)系數(shù)分別降低了0.027 3、0.017 5和0.004 6。重構(gòu)實驗表明，優(yōu)化的塊循環(huán)矩陣能夠在一定程度上提高圖像重構(gòu)性能。

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陶會鋒(1988-)，男，河北邯鄲人，博士研究生， 2011年、2014年于電子工程學(xué)院分別獲得學(xué)士、碩士學(xué)位，主要從事光學(xué)信號獲取與處理方面的研究。E-mail： taohfeei@163.com

楊 星(1983-)，男，四川都江堰人，助理研究員， 2006年、2012年于電子工程學(xué)院分別獲得學(xué)士、博士學(xué)位，主要從事模式識別和人工智能方面的研究。E-mail： yangxing1983@163.com

導(dǎo)師簡介：

凌永順(1937-)，男，安徽定遠人，研究員，院士， 1960年于北京師范大學(xué)獲得學(xué)士學(xué)位，主要從事光學(xué)工程方面的研究。E-mail： Lyseei@163.com

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Structured measurement matrix by particle swarm optimization for remote sensing compressive imaging

TAO Hui-feng1，2*， YANG Xing1，2， CHEN Jie3， LING Yong-shun1，2， YIN Song-feng1，2

(1.State Key Laboratory of Pulsed Power Laser Technology，ElectronicEngineeringInstitute，Hefei230037，China；2.KeyLaboratoryofInfraredandLowTemperaturePlasmaofAnhuiProvince，ElectronicEngineeringInstitute，Hefei230037，China；3.DepartmentofElectronicsandInformationEngineering，AnhuiJianzhuUniversity，Hefei230601，China)

For non-ideal image construction performance of a block circulant matrix in remote sensing compressive imaging， this paper introduces the particle swarm optimization intelligent algorithm into optimizing the block circulant matrix， meanwhile maintaining the matrix structure. Firstly， the Welch bound of a correlation coefficient is taken as a threshold value to restrain the off-diagonal entries of the Gram matrix and to build a target matrix. Then， the objective function is established by making the Gram matrix approach the target matrix， and the optimized variable is replaced as the free entries to compose the block circulant matrix. To improve the optimized efficiency， the weight adaptive update is used to improve the partical search capacity. A construction comparison experiment is carried out， the results show that the correlation properties of the block circulant matrix with the sparse transform matrix has been reduced while maintaining the matrix structure， and the coefficients for maximum correlation， average correction and threshold average correction have been reduced by 0.027 3， 0.017 5 and 0.004 6， respectively. These results show the image construction performance is improved by optimized block circulant matrix.

remote sensing image； compressive imaging； image reconstruction； block circulant matrix； particle swarm optimization

2016-07-14；

2016-09-09.

國家自然科學(xué)基金資助項目(No.61503394)；安徽省自然科學(xué)基金資助項目(No.1408085QF131，No.1508085QF121)；安徽高等學(xué)校自然科學(xué)研究項目(No.KJ2015ZD14，No.KJ2016A149)

1004-924X(2016)11-2821-09

TP751

A

10.3788/OPE.20162411.2821

*Correspondingauthor，E-mail：taohfeei@163.com