王海環(huán)，王 俊

(西安電子科技大學(xué) 雷達(dá)信號(hào)處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710071)

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一種改進(jìn)的多伯努利多目標(biāo)跟蹤算法

王海環(huán)，王 俊

(西安電子科技大學(xué) 雷達(dá)信號(hào)處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710071)

針對(duì)粒子勢均衡多目標(biāo)多伯努利濾波的粒子實(shí)現(xiàn)形式所需粒子數(shù)多、粒子退化嚴(yán)重的問題，將均方根容積卡爾曼濾波與粒子勢均衡多目標(biāo)多伯努利濾波相結(jié)合，提出均方根容積卡爾曼粒子勢均衡多目標(biāo)多伯努利濾波算法．該算法利用均方根容積卡爾曼濾波構(gòu)建重要性密度函數(shù)，再對(duì)其進(jìn)行采樣獲得預(yù)測粒子狀態(tài)，從而提高粒子的準(zhǔn)確性，減輕粒子退化．與基于無跡卡爾曼的粒子勢均衡多目標(biāo)多伯努利濾波相比，該算法更穩(wěn)定，且算法性能不受目標(biāo)狀態(tài)維數(shù)的限制．仿真實(shí)驗(yàn)表明，所提算法與粒子勢均衡多目標(biāo)多伯努利濾波算法和基于無跡卡爾曼的粒子勢均衡多目標(biāo)多伯努利濾波算法相比，其跟蹤精度更高．

多目標(biāo)跟蹤;勢均衡多伯努利濾波;粒子濾波;重要性密度函數(shù);均方根容積卡爾曼濾波

近些年，基于隨機(jī)有限集(Random Finite Sets，RFS)[1]的多目標(biāo)跟蹤算法開辟了多目標(biāo)跟蹤的一個(gè)新領(lǐng)域，此類算法的基本思想是對(duì)目標(biāo)狀態(tài)和觀測量進(jìn)行集合建模，將單目標(biāo)貝葉斯濾波推廣到多目標(biāo)領(lǐng)域，從而避免了數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)．此類算法的典型代表有概率假設(shè)密度(Probability Hypothesis Density， PHD)濾波[2]和勢分布PHD(Cardinality PHD， CPHD)濾波[3]，其中，PHD濾波只傳遞全局后驗(yàn)概率密度的一階矩，導(dǎo)致其在檢測概率不為1時(shí)目標(biāo)數(shù)目(即目標(biāo)的勢)估計(jì)誤差較大；CPHD濾波同時(shí)傳遞一階矩和目標(biāo)的勢分布，從而改善了PHD濾波的跟蹤性能，但大大增加了算法的計(jì)算量．除PHD和CPHD濾波外，文獻(xiàn)[4]提出了多目標(biāo)多伯努利(Multi-target Multi-Bernoulli，MeMBer)濾波算法，其跟蹤性能優(yōu)于PHD濾波，而計(jì)算量小于CPHD濾波．文獻(xiàn)[5]針對(duì)MeMBer濾波中目標(biāo)數(shù)目過估計(jì)的問題，提出了勢均衡多目標(biāo)多伯努利(Cardinality-Balanced Multi-target Multi-Bernoulli， CBMeMBer)算法，進(jìn)一步改善了MeMBer的跟蹤性能．CBMeMBer的粒子實(shí)現(xiàn)形式(Particle CBMeMBer， P-CBMeMBer)不受線性高斯前提的限制，其適用范圍更廣，且P-CBMeMBer不需要通過聚類分析來實(shí)現(xiàn)目標(biāo)狀態(tài)的提取，從而降低了算法運(yùn)算量，同時(shí)目標(biāo)狀態(tài)的獲取不再依賴于估計(jì)的目標(biāo)數(shù)目，因而更可靠．

P-CBMeMBer算法中直接利用目標(biāo)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程產(chǎn)生預(yù)測粒子狀態(tài)，導(dǎo)致粒子退化嚴(yán)重．為使預(yù)測粒子狀態(tài)分布更接近于目標(biāo)真實(shí)后驗(yàn)概率分布，常用的方法是在預(yù)測時(shí)引入當(dāng)前時(shí)刻的觀測量，對(duì)預(yù)測粒子狀態(tài)進(jìn)行修正，例如利用卡爾曼濾波(Kalman Filter， KF)或利用擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extent Kalman Filter，EKF)產(chǎn)生重要性密度函數(shù)，文獻(xiàn)[6]提出基于無跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter，UKF)的P-CBMeMBer(Unscented Kalman Particle CBMeMBer， UP-CBMeMBer)算法，該算法利用UKF產(chǎn)生重要性密度函數(shù)，但UKF穩(wěn)定性差，且算法性能受目標(biāo)狀態(tài)維數(shù)的影響．均方根容積卡爾曼濾波(Square-rooted Cubature Kalman Filter， SCKF)是基于球面-徑向容積準(zhǔn)則，以數(shù)值積分的方式來解決貝葉斯遞推式中積分問題的一種非線性濾波方法[7]．同UKF相比，SCKF算法不需要進(jìn)行矩陣開方運(yùn)算，穩(wěn)定性好，計(jì)算量小，且在目標(biāo)狀態(tài)維數(shù)較高時(shí)，其濾波性能優(yōu)于UKF．因此，筆者采用SCKF算法構(gòu)建P-CBMeMBer中的重要性采樣函數(shù)，提出了均方根容積卡爾曼粒子CBMeMBer(Square-rooted Cubature Kalman P-CBMeMBer， SCP-CBMeMBer)濾波算法．該算法在P-CBMeMBer算法基礎(chǔ)上引入了SCKF算法的優(yōu)點(diǎn)．仿真實(shí)驗(yàn)表明，SCP-CBMeMBer算法與P-CBMeMBer算法和UP-CBMeMBer算法相比，其跟蹤精度更高，穩(wěn)定性更好．

1 背景知識(shí)

1.1 多目標(biāo)貝葉斯濾波

RFS是數(shù)量有限的隨機(jī)元所組成的集合，多目標(biāo)跟蹤中的目標(biāo)狀態(tài)集合和觀測量集合可以分別看成兩個(gè)RFS．設(shè)k時(shí)刻有N(k)個(gè)目標(biāo)狀態(tài)分別為xk，1，…，xk，N(k)的目標(biāo)，有M(k)個(gè)狀態(tài)分別為zk，1，…，zk，M(k)的觀測量，基于RFS理論[8]，分別對(duì)多目標(biāo)的目標(biāo)狀態(tài)集Xk和觀測集Zk建模如下:

其中，N(χ)和N(ζ)分別為目標(biāo)狀態(tài)空間 χ? Rnx和觀測空間 N? Rnz上所有有限子集的集合．

通過以上目標(biāo)狀態(tài)和觀測量的RFS建模，可將單目標(biāo)貝葉斯濾波推廣到多目標(biāo)跟蹤中，得到多目標(biāo)貝葉斯遞推式為

其中，gk(·|·)為多目標(biāo)聯(lián)合似然函數(shù)，pk|k(Xk|Z1:k)為多目標(biāo)聯(lián)合后驗(yàn)概率密度，pk|k-1(Xk|Z1:k-1)為多目標(biāo)聯(lián)合先驗(yàn)概率密度，fk|k-1(Xk|Xk-1)為多目標(biāo)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)．

1.2 CBMeMBer濾波

MeMBer濾波利用多個(gè)伯努利分量來近似多目標(biāo)后驗(yàn)概率密度，濾波過程中通過傳遞各個(gè)伯努利分量的參數(shù)來估計(jì)當(dāng)前時(shí)刻目標(biāo)個(gè)數(shù)和各個(gè)目標(biāo)的狀態(tài)． 文獻(xiàn)[5]指出，MeMBer濾波存在目標(biāo)數(shù)目過估計(jì)，并對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，提出了CBMeMBer濾波，其實(shí)現(xiàn)過程如下:

其中，

上式中，φk，z(x)=gk(z|x)pd，k(x)，gk(z|x)為單目標(biāo)似然函數(shù)，pd，k(x)為檢測概率，kk(z)為雜波概率密度函數(shù)．

2 改進(jìn)算法

2.1 SCKF濾波

同UKF相似，SCKF也是一種通過數(shù)值積分來近似得到貝葉斯濾波中的高維積分的方法． 不同的是，SCKF是基于三階球面-徑向容積準(zhǔn)則選取容積點(diǎn)，而UKF則是通過無軌跡變換(Unscented Transformation，UT)選取Sigma點(diǎn)． 文獻(xiàn)[9]提出在高斯假設(shè)條件下，非線性濾波問題可轉(zhuǎn)化成求解非線性函數(shù)乘以高斯概率密度的積分問題．考慮最簡單的形式，則有

U(f)=∫Rnf(x) exp(-xTx)

SCKF首先通過坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換得到與式(5)在球面-徑向坐標(biāo)系下的表示形式，再用數(shù)量不同的數(shù)值點(diǎn)分別近似球面積分和徑向積分[10]，進(jìn)而得到式(5)的近似式為

由以上分析可以看出，SCKF中容積點(diǎn)的個(gè)數(shù)比UKF中Sigma點(diǎn)的個(gè)數(shù)要少，且其對(duì)應(yīng)權(quán)值的計(jì)算比UKF簡單．因此，SCKF的計(jì)算復(fù)雜度要低于UKF的．同時(shí)，SCKF的性能不依賴于參數(shù)的選擇，且不需要進(jìn)行開方運(yùn)算，算法穩(wěn)定性更好．

2.2 SCP-CBMeMBer濾波

設(shè)目標(biāo)的狀態(tài)方程和觀測方程為

其中，uk-1和vk分別為過程噪聲和觀測噪聲，服從均值為0、協(xié)方差分別為Qk-1、Rk的高斯分布．

(1)預(yù)測．分別對(duì)存活伯努利分量和新生伯努利分量的重要性密度函數(shù)進(jìn)行采樣，得到k時(shí)刻的粒子狀態(tài)和粒子權(quán)值為

由預(yù)測粒子狀態(tài)及其權(quán)值，可得到預(yù)測后驗(yàn)概率密度所對(duì)應(yīng)的多伯努利參數(shù)集:

，

其中,

其中,

圖1 目標(biāo)真實(shí)軌跡

3 實(shí)驗(yàn)仿真

為驗(yàn)證SCP-CBMeMBer算法的性能，在雜波環(huán)境下，分別用P-CBMeMBer、UP-CBMeMBer和SCP-CBMeMBer這3種算法對(duì)數(shù)目時(shí)變的多個(gè)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤．

設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)的時(shí)刻分別為初始時(shí)刻、10 s、30 s和50 s，目標(biāo)消失的時(shí)刻分別為 60 s、80 s、100 s 和 100 s，目標(biāo)存活概率 ps= 0.98，檢測概率 pd= 0.9，新生目標(biāo)存在概率 γτ= 0.02，雜波在觀測區(qū)域內(nèi)均勻分布，每幀平均雜波數(shù) λ=10，每條航跡最大采樣粒子數(shù) Lmax= 500，最少采樣粒子數(shù) Lmin= 100，最大航跡數(shù)目為100．

文中選取最優(yōu)子模式分配(Optimal Sub-Pattern Assignment， OSPA)作為多目標(biāo)跟蹤精度評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)[11]，仿真中取距離誤差敏感參數(shù) p=2，勢誤差敏感參數(shù) c=500．圖2和圖3分別為100次蒙特卡羅仿真后，3種算法的勢估計(jì)及其誤差對(duì)比圖和OSPA距離誤差對(duì)比圖．可以看出，SCP-CBMeMBer算法和UP-CBMeMBer算法的濾波精度無論在勢估計(jì)還是在目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)方面都遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于P-CBMeMBer算法的，同時(shí)，由圖2和圖3可更加直觀地看出，SCP-CBMeMBer算法的跟蹤精度要優(yōu)于UP-CBMeMBer算法的．這直觀地說明，在目標(biāo)狀態(tài)維數(shù)較高時(shí)，SCP-CBMeMBer算法的性能優(yōu)于UP-CBMeMBer算法的，與理論分析相符．

圖2 勢估計(jì)及其誤差對(duì)比圖圖3 OSPA距離對(duì)比圖

圖4和圖5為不同檢測概率下，3種算法的勢估計(jì)誤差對(duì)比圖和OSPA距離誤差對(duì)比圖．由圖6和圖7可以看出，隨著檢測概率的增大，3種算法的性能都有所提升，且相同檢測概率下SCP-CBMeMBer算法的跟蹤精度要優(yōu)于P-CBMeMBer算法和UP-CBMeMBer算法的．

圖4 勢估計(jì)誤差對(duì)比圖圖5 OSPA距離對(duì)比圖

4 結(jié) 束 語

為在保證算法跟蹤性能的前提下，減少P-CBMeMBer算法所需的粒子數(shù)，將SCKF濾波與CBMeMBer相結(jié)合，利用SCKF產(chǎn)生重要性密度函數(shù)，文中提出了SCP-CBMeMBer濾波算法．該算法能有效減輕P-CBMeMBer算法中的粒子退化，與UP-CBMeMBer算法相比，其計(jì)算量更小，且算法性能不受目標(biāo)狀態(tài)維數(shù)的影響，其適應(yīng)性和穩(wěn)定性更好．值得注意的是，CBMeMBer算法對(duì)每個(gè)觀測量產(chǎn)生一條航跡，在雜波密度較大時(shí)，計(jì)算量很大，如何將概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)與CBMeMBer算法相結(jié)合，減少雜波所增加的計(jì)算量是今后需要開展的工作．

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(編輯：齊淑娟)

Multi-target tracking with the cubature Kalman multi-bernoulli filter

WANGHaihuan，WANGJun

(National Key Lab. of Radar Signal Processing, Xidian Univ., Xi’an 710071, China)

The particle cardinality-balanced multi-target multi-bernoulli(P-CBMeMBer) filter needs large numbers of particles and has serious particles degradation. To solve this problem, we combine the square-rooted cubature Kalman filter(SCKF) with the P-CBMeMBer filter, called square-rooted cubature Kalman P-CBMeMBer(SCP-CBMeMBer) filter. The SCP-CBMeMBer filter obtains the predicted particles by sampling the importance density function generated by the SCKF in order to alleviate particles degradation. Compared to the P-CBMeMBer filter based on the unscented Kalman filter(UP-CBMeMBer), the proposed method is more stable and its performance is unrestricted by the dimension of the target states. The results show that the proposed method has a higher accuracy than the P-CBMeMBer filter and the UP-CBMeMBer filter.Key Words: multi-target tracking; cardinality-balanced multi-bernoulli filter; particle filter; importance density function; square-rooted cubature Kalman filter

2016-05-23

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61401526)

王海環(huán)(1987-)，女，西安電子科技大學(xué)博士研究生，E-mail: haihuanwang@126.com．

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.06.030

TN953

A

1001-2400(2016)06-0176-07