一元函數(shù)與二元函數(shù)

摘 要一元函數(shù)的連續(xù)、可導、可微之間存在一定的關系，這些關系對于二元函數(shù)是否還成立呢？本文將討論它們之間的關系問題。

【關鍵詞】連續(xù)；可導；可微

1 一元函數(shù)的連續(xù)、可導、可微之間的關系

對于一元函數(shù)，可導必連續(xù)，連續(xù)不一定可導；可微必連續(xù)，連續(xù)不一定可微；可導必可微，可微必可導。這些關系對二元函數(shù)會是怎樣呢？

2 二元函數(shù)的連續(xù)、可導、可微之間的關系

2.1 二元函數(shù)連續(xù)與可導（偏導數(shù)存在）的關系

對于二元函數(shù)，偏導數(shù)存在不一定連續(xù)，連續(xù)也不一定偏導數(shù)存在。

如對于二元函數(shù)：

即

所以二元函數(shù)在（0，0）處連續(xù)。

而

即二元函數(shù)在（0，0）處偏導數(shù)存在。

結論：對于二元函數(shù)，偏導數(shù)存在時也可以連續(xù)，連續(xù)時偏導數(shù)也可以存在。

而對于二元函數(shù)

由于

即與k有關，

所以極限不存在。

而由，

知二元函數(shù)在（0，0）處偏導數(shù)存在。

結論：對于二元函數(shù)，偏導數(shù)存在時也可以不連續(xù)。

而對于二元函數(shù)：

由于

即，所以二元函數(shù) 在（0，0）連續(xù)。

但由于

所以二元函數(shù)在（0，0）處偏導數(shù)不存在。

結論：對于二元函數(shù)，連續(xù)時偏導數(shù)也可以不存在。

綜合以上例子可得出如下結論：對于二元函數(shù)，偏導數(shù)存在不一定連續(xù)，連續(xù)也不一定偏導數(shù)存在。

2.2 二元函數(shù)可導（偏導數(shù)存在）與可微（全微分存在）的關系

對于二元函數(shù)，偏導數(shù)存在不一定可微，可微一定偏導數(shù)存在。

如對于二元函數(shù)

由，知

由，知

即二元函數(shù)

在（0，0）處偏導數(shù)存在。

但

不存在

所以二元函數(shù)

在（0，0）處的全微分不存在。

而對于二元函數(shù)：

由于

即二元函數(shù)在（0，0）處偏導數(shù)存在。

且由于函數(shù)在（0，0）處的增量

所以函數(shù)在（0，0）處的全微分存在。

結論：對于二元函數(shù)，偏導數(shù)存在不一定可微。

而對于二元函數(shù)，全微分存在一定偏導數(shù)存在。證明如下：

設二元函數(shù)在（x，y）處全微分存在，則在（x，y）處的增量

所以

所以二元函數(shù)在（x，y）處偏導數(shù)存在。

綜合以上例子可得出如下結論：對于二元函數(shù)，偏導數(shù)存在不一定全微分存在，但全微分存在一定偏導數(shù)存在。

2.3 二元函數(shù)連續(xù)與可微（全微分存在）的關系

對于二元函數(shù)，連續(xù)不一定可微，可微一定連續(xù)。

如對于二元函數(shù)：

由于

即

所以二元函數(shù)在（0，0）處連續(xù)。

由于函數(shù)在（0，0）處的增量

所以函數(shù)在（0，0）處的全微分存在。

而對于二元函數(shù)：

由于

即，所以二元函數(shù)在（0，0）連續(xù)。

但由于函數(shù)在（0，0）處的偏導數(shù)

所以二元函數(shù)在（0，0）處偏導數(shù)不存在。

所以函數(shù)在（0，0）處的全微分也不存在。

結論：對于二元函數(shù)，連續(xù)不一定全微分存在。

而對于二元函數(shù)在（x，y）處全微分存在時必連續(xù)是可證明的。證明如下：

由于二元函數(shù)在（x，y）處全微分存在，所以在（x，y）處的增量

所以

所以二元函數(shù)在（x，y）處連續(xù)。

綜合以上例子可得出如下結論：對于二元函數(shù)，連續(xù)不一定全微分存在，但全微分存在一定連續(xù)。

3 結束語

本文對一元函數(shù)的連續(xù)、可導、可微之間的關系同二元函數(shù)的連續(xù)、可導、可微之間的關系做了詳細的比較，對一元函數(shù)成立的結論，對二元函數(shù)不一定成立，這一點絕不能隨便借用一元函數(shù)的結論。

參考文獻

[1]同濟大學數(shù)學系編.高等數(shù)學（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2007（04）.

作者簡介

任其昇（1967-），男，現(xiàn)為沈陽工學院基礎課部副教授。研究方向為數(shù)學。

作者單位

沈陽工學院基礎課部 113122