田紅亮,余媛,陳甜敏,鄭金華,張屹,趙春華

(三峽大學(xué)機械與動力學(xué)院,443002,湖北宜昌)

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考慮表面粗糙度和幾何曲率的兩球體接觸問題

田紅亮,余媛,陳甜敏,鄭金華,張屹,趙春華

(三峽大學(xué)機械與動力學(xué)院,443002,湖北宜昌)

為探討曲面結(jié)合面的接觸機理,研究了兩球體的法向接觸問題。計入結(jié)合面虛擬材料厚度,對兩球體點高副接觸時形成的圓形接觸區(qū)域進(jìn)行了受力分析,在分析過程中嘗試聯(lián)合Majumdar-Bhushan平面模型和經(jīng)典赫茲理論;采用Hardy在任一點處處不可求導(dǎo)的條件,嚴(yán)格證明了二維Weierstrass-Mandelbrot分形函數(shù)中分形維數(shù)D的整個取值范圍為1≤D<2。數(shù)值模擬表明:球體廣義接觸面積比不大于1;內(nèi)接觸時的球體廣義接觸面積比大于外接觸時的,增加壓緊力或減小結(jié)合面虛擬材料厚度均會增大球體廣義接觸面積比;內(nèi)接觸時的真實接觸面積大于外接觸時的,真實接觸面積隨著分形粗糙度、材料硬度或結(jié)合面虛擬材料厚度的增加而減小;隨著分形粗糙度的增加,產(chǎn)生指定真實接觸面積所需要的壓緊力增加;當(dāng)分形粗糙度增加時,微凸體的法向變形量和壓緊力增大;對于給定的壓緊力,當(dāng)分形維數(shù)從1.4增加至1.5時,狹義接觸面積比隨之增加,當(dāng)分形維數(shù)從1.5增加至1.9時,狹義接觸面積比逐漸減小;內(nèi)接觸時的赫茲應(yīng)力小于外接觸時的。此項研究可為深入研究滾動軸承中球軸承的接觸強度計算提供基礎(chǔ),所建立的球體接觸分形模型具備通用性與實用性,可望豐富機械設(shè)計中機械零件接觸強度的理論。

機械設(shè)計;結(jié)合面;虛擬材料;球體;接觸面積比

按照結(jié)合面的結(jié)構(gòu)形狀,結(jié)合面可分為平面結(jié)合面和曲面結(jié)合面。結(jié)合面的非線性力學(xué)建模對復(fù)雜裝配結(jié)構(gòu)的動力學(xué)分析、設(shè)計、優(yōu)化和健康監(jiān)測等問題至關(guān)重要。同時,工程中任何接觸表面都不是絕對光滑的,由于結(jié)合面力學(xué)行為的復(fù)雜性以及對結(jié)合面進(jìn)行直接實驗觀測的困難,也使結(jié)合面的力學(xué)建模成為非常具有挑戰(zhàn)性的科學(xué)問題。

長期以來,眾多學(xué)者對結(jié)合面做了許多理論與實驗研究工作。赫茲假設(shè):材料是均勻的、各向同性的、完全彈性的,接觸表面是理想的光滑表面,摩擦阻力可忽略不計;在兩接觸物體之間無潤滑劑,不考慮流體的動力效應(yīng)[1]。赫茲理論側(cè)重考慮兩接觸物體的宏觀因素,因此只有在接近上述假設(shè)的條件下,赫茲理論公式的精度才能得到保證,否則就需加以修正。Greenwood等采用統(tǒng)計分析方法,提出了名義平坦表面的接觸模型[2],即Greenwood-Williamson基本彈性接觸模型(以下簡稱GW模型),該模型做了5個假設(shè):①粗糙表面各向同性;②微凸體在峰頂附近是球體;③所有微凸體的半徑都相等但高度隨機分布;④各微凸體彼此遠(yuǎn)離,相互之間無作用力;⑤粗糙表面無大變形,僅僅是微凸體在接觸時變形。GW模型考慮了表面形貌參數(shù),比之前的模型更接近實際,當(dāng)表面高度服從高斯一維正態(tài)分布時能對經(jīng)典摩擦定律作出滿意的解釋,故它至今仍被廣大研究者所接受。但是,GW模型忽略了由彈性變形到塑性變形的轉(zhuǎn)化狀態(tài),兩接觸粗糙表面的間距在偏潤滑帶內(nèi),屬于微米量級,因此GW模型適用于理想情形,不能直接應(yīng)用于工程實踐。GW模型中塑性接觸面積與彈性接觸面積之比為0.02。針對GW模型中塑性接觸面積在真實接觸面積中所占比例偏小的不足,Chang等考慮了黏著力,認(rèn)為塑性變形時體積守恒,提出了彈塑性接觸模型[3-5],其中文獻(xiàn)[3]中提出的即是Chang-Etsion-Bogy模型(以下簡稱CEB模型)。針對GW模型的第3條假設(shè)“所有微凸體的半徑都相等”不符合實際的缺陷,Majumdar等提出了微凸體半徑可變的具有尺度獨立性的粗糙表面彈塑性接觸分形幾何模型[6],即Majumdar-Bhushan平面模型(以下簡稱MB平面模型)。MB平面模型重點考察兩接觸物體的微觀因素。針對CEB模型中壓應(yīng)力在微凸體彈性臨界變形量處出現(xiàn)跳躍間斷點的缺陷,Zhao等通過一條三次多項式樣板曲線,體現(xiàn)從彈性變形到塑性流動的過渡區(qū)間——彈塑性變形[7],提出了彈性接觸、彈塑性接觸、完全塑性接觸的判據(jù)模型,給出了總接觸面積、總載荷與干涉量的關(guān)系。針對MB平面模型中未區(qū)別空間頻率與角頻率的缺點,Yang等提出了彈塑性分形靜摩擦模型[8],該模型可適用于兩粗糙表面分形維數(shù)不相等的情況,區(qū)分了空間頻率與角頻率,給出了斜率方差的公式,還引入了接觸角,可對概率分布密度、靜摩擦系數(shù)進(jìn)行預(yù)測。Jiang等基于分形理論提出了機械平面結(jié)合面的通用法向與切向接觸剛度模型[9],并通過銑削、手工刮、磨削的加工方法獲得了3種鑄鐵框架試件,將框架試件法向、切向接觸剛度的理論值與試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行了對比。Zhang等基于分形理論構(gòu)建了結(jié)合面的切向阻尼與損耗因子模型[10]。尤晉閩等基于頻率阻尼比法,提出了一種利用剛性框架懸臂梁的平面結(jié)合面參數(shù)識別測試模型,采用有限元法建立了力學(xué)模型,通過模態(tài)試驗優(yōu)化識別出了干摩擦和油脂潤滑這2種不同介質(zhì)狀態(tài)下平面結(jié)合面的法向剛度系數(shù)和法向阻尼系數(shù)[11]。張學(xué)良等基于接觸分形理論和結(jié)合面接觸阻尼耗能機理,以及球體與平面接觸時的阻尼耗能理論,建立了平面結(jié)合面切向接觸阻尼的分形模型[12]。黃康等結(jié)合MB平面模型和赫茲接觸模型,建立了兩圓柱體分形接觸模型[13-14],但是表面接觸系數(shù)中的指數(shù)為綜合曲率系數(shù)x,而x的單位是m-1,故得到的都是經(jīng)驗解,這就大大限制了其應(yīng)用范圍與推廣價值?，F(xiàn)有文獻(xiàn)對平面結(jié)合面已有較多研究,但對曲面結(jié)合面的研究因受制于對曲面接觸機理的認(rèn)識還很不充分,所以研究成果不多,鮮有公認(rèn)的研究成果。

本文對兩球體點高副接觸時形成的圓形接觸區(qū)域進(jìn)行受力分析,在分析過程中嘗試結(jié)合MB平面模型和赫茲理論,將兩平面接觸推廣到兩球體曲面接觸,使所構(gòu)建的球體接觸分形模型具備科學(xué)性和可行性,以豐富機械設(shè)計中機械零件接觸強度的理論。

1 兩球體接觸受力后的真實接觸面積

當(dāng)2個球體內(nèi)接觸或外接觸受力后,由于材料的彈性變形,使得接觸點向鄰近四周逐漸擴展而變成半徑為c的一個圓。接觸圓的半徑

(1)

式中:E為當(dāng)量彈性模量;F為壓在兩球體上的法向接觸壓緊力;ρ為當(dāng)量曲率半徑。

(2)

(3)

式中:Er、ER分別為小球體和大球體材料的彈性模量;μr、μR分別為小球體和大球體材料的泊松比;r、R分別為小球體和大球體初始接觸點處的曲率半徑;?代表接觸形式,負(fù)號“-”對應(yīng)內(nèi)接觸,表示2個球體的中心處于接觸點的同一側(cè),如球體與球座接觸、球體與凹滾道溝接觸,正號“+”對應(yīng)外接觸,表示2個球體的中心處于接觸點的兩側(cè),如球體與內(nèi)座圈接觸。

接觸圓的面積即為真實接觸面積

(4)

2 球體廣義接觸面積比

兩球體的表面積差和為

SΣ=SR?Sr=4π(R2?r2)

(5)

式中:Sr、SR分別為小球體和大球體的表面積。

Mandelbrot在研究地球地形學(xué)時發(fā)現(xiàn),面積A大于一定值a的海洋表面上的島嶼總數(shù)目為

(6)

式中:aL為兩島嶼最大接觸點的面積(兩島嶼之間相互點接觸時,將接觸點視為半球體)。

接觸點的概率分布密度

(7)

可見,n(a)的單位是m-2,不同于文獻(xiàn)[14]中的無量綱。乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù),因為隨機變量的概率分布密度是有量綱的量,所以它的量綱等于隨機變量的量綱的倒數(shù)。

結(jié)合面虛擬材料的厚度為h[15-16],再考慮兩球體的當(dāng)量曲率半徑,然后類比式(6),可構(gòu)造球體廣義接觸面積比

(8)

將式(5)和式(4)代入式(8),得

(9)

式中:λ0為球體廣義初始接觸面積比,并且有

(10)

在MB平面模型中,式(7)中n(a)的求解主要假設(shè)兩接觸體在無限平面里接觸,或相對各個微凸體來說為無限接觸。很顯然,當(dāng)接觸的2個曲面非無限接觸時,接觸時所形成的接觸點的總數(shù)N將有所變化,此時假設(shè)隨著真實接觸面積的增大,兩接觸體的接觸點數(shù)會增加,但其值應(yīng)小于或等于式(6)中的(aL/a)D/2。因此,兩接觸曲面體的真實接觸面積對N的大小有影響,而式(8)中含有真實接觸面積Ar。當(dāng)兩曲面接觸時,接觸點的總數(shù)可修正為

(11)

可見,式(11)不同于文獻(xiàn)[13]中的式(4)——N(A>a)=λa-D/2。

將內(nèi)接觸形式中的式(3)代入式(9)得

(12)

當(dāng)r→R-時,式(12)的左極限為

(13)

3 兩球體接觸受力后的法向壓緊力

式(8)包含4個參數(shù),每個參數(shù)都有明確的物理意義。易知

λ≤1

(14)

在法向接觸壓緊力P作用下,當(dāng)兩粗糙表面為平面接觸時,產(chǎn)生真實接觸面積Ar。若將這2個粗糙表面彎曲成2個球體,當(dāng)此兩球體為點接觸時,假設(shè)亦產(chǎn)生同樣的真實接觸面積Ar,這時兩球體受法向接觸壓緊力F。由平面接觸構(gòu)成平面低副,由單一點接觸形成點高副,則以下不等式恒成立

P≤F

(15)

根據(jù)不等式(14)與不等式(15),設(shè)有等式

P=λF

(16)

將式(9)代入式(16)得

(17)

這樣,MB平面模型獲得了兩粗糙表面為平面接觸時的法向接觸壓緊力P,P的歸一化形式為

(18)

將式(18)代入式(17),可得F的歸一化形式

(19)

4 兩球體接觸受力后的赫茲應(yīng)力

初始接觸點處的法向壓應(yīng)力最大,以此最大法向壓應(yīng)力代表兩球體間接觸受力后的應(yīng)力,稱為最大接觸應(yīng)力或赫茲應(yīng)力,用符號σH表示。

作用在圓形閉區(qū)域{(ρ,θ)|0≤ρ≤c,0≤θ≤2π}上的法向壓應(yīng)力

(20)

函數(shù)p(ρ)在圓形閉區(qū)域{(ρ,θ)|0≤ρ≤c,0≤θ≤2π}上的平均值(即平均法向壓應(yīng)力)

(21)

由式(4)亦可得平均法向壓應(yīng)力

(22)

根據(jù)式(21)與式(22)得

(23)

5 MB平面模型分形維數(shù)范圍的修正

德國數(shù)學(xué)家Weierstrass于1872年設(shè)計了如下函數(shù)

(24)

Hardy在1916年取得了突破性進(jìn)展,證明了對滿足條件

ab≥1

(25)

的所有a和b,且不限定b是整數(shù),式(24)都是處處不可微的[17]。

二維Weierstrass-Mandelbrot分形函數(shù)為

(26)

根據(jù)式(24)與式(25),可得式(26)處處不可微的條件是

0<γD-2<1

(27)

γD-2γ≥1

(28)

由式(27)得

γ>γD-2γ

(29)

由式(29)與式(28)得

γ>γD-2γ≥1?γ>1

(30)

將式(30)代入式(27)得

D<2

(31)

將式(30)代入式(28)得

D≥1

(32)

根據(jù)式(32)與式(31)得

1≤D<2

(33)

由此可見,式(33)不同于文獻(xiàn)[6]中的式(1)——1

6 兩球體接觸受力的數(shù)值仿真與分析

兩球體的參數(shù)為:小球體材料采用碳質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.45%的中碳調(diào)質(zhì)45鋼,彈性模量Er=207 GPa,泊松比μr=0.29,交貨狀態(tài)布氏硬度Hr=1 960 MPa;大球體材料采用鉻質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.4%的調(diào)質(zhì)合金結(jié)構(gòu)鋼40Cr,彈性模量ER=202 GPa,泊松比μR=0.28,交貨狀態(tài)布氏硬度HR=700 MPa,半徑R=100 mm。文獻(xiàn)[12]給出φ=1.0、E=2.1×1011Pa和σy=3.53×109Pa,與公式φ=σy/E自相矛盾。

6.1 球體廣義接觸面積比的變化

(a) h=1 mm與F=20 N時小球體半徑對廣義接觸面積比的影響

(b) h=1 mm與r=60 mm時壓緊力對廣義接觸面積比的影響

(c) h=1 mm與r=R時壓緊力對廣義接觸面積比的影響

(d) F=20 N與r=60 mm時結(jié)合面虛擬材料厚度對廣義接觸面積比的影響

(e) F=20 N與r=R時結(jié)合面虛擬材料厚度對廣義接觸面積比的影響圖1 各種參數(shù)對球體廣義接觸面積比的影響

圖1給出了球體廣義接觸面積比的演化規(guī)律。圖1a～1e皆能夠表明3個共同規(guī)律:①MB平面模型的球體廣義接觸面積比始終等于1;②本文的球體廣義接觸面積比始終小于或等于1;③本文內(nèi)接觸時的球體廣義接觸面積比大于外接觸時的。

從圖1a可知:本文的λ隨著r的增加而增大;當(dāng)r→0時λ→0,因為這時無物體與大球體接觸;當(dāng)r→R且兩球體內(nèi)接觸時λ→1,因為這時兩球體處處徹底內(nèi)接觸,但當(dāng)r→R且兩球體外接觸時,λ<1。

從圖1b可知:本文的λ隨著F的增加而增大;當(dāng)2 N≤F≤20 N時,在此大范圍內(nèi)λ收斂于某一定值,內(nèi)接觸時λ→0.909 2,外接觸時λ→0.653 3;當(dāng)0≤F≤2 N時,在此小范圍內(nèi)λ很快從0增加到相應(yīng)的定值。

圖1c的演化規(guī)律與圖1b類似,但內(nèi)接觸時的λ恒等于1,由于這時r=R,對于內(nèi)接觸是一種極限情形,兩球體處處完全內(nèi)接觸,如果提供一點很小的壓緊力F,λ將馬上從0驟變到1。

從圖1d可知:本文的λ隨著h的增加而線性減小,當(dāng)h=0時λ=1,而文獻(xiàn)[14]中的λ為小于1的定值。

圖1e的演化規(guī)律與圖1d相似,但內(nèi)接觸時λ恒等于1。

由圖1b與1c可知,當(dāng)F=0時λ恒等于0,因為按照式(9),以及對于任意的正數(shù)μ,0μ=0,可見λ=0,這相異于文獻(xiàn)[13]中的結(jié)論:“可見,當(dāng)F→0時,不論在外接觸或內(nèi)接觸時,λ都達(dá)到最小值,但并不等于0,原因是盡管此時兩接觸體間的接觸應(yīng)力為0,但由于接觸實體的存在,接觸系數(shù)亦是存在的?！?/p>

6.2 球體狹義接觸面積比的變化

(a) D=1.5與G*=10-10時小球體半徑對狹義接觸面積比的影響

(b) D=1.5與r=15 mm時分形粗糙度對狹義接觸面積比的影響

(c) G*=10-10與r=15 mm時分形維數(shù)對狹義接觸面積比的影響

(d) D=1.5、G*=10-10與r=15 mm時硬度對狹義接觸面積比的影響

(e) D=1.5、G*=10-8與r=15 mm時結(jié)合面虛擬材料厚度對狹義接觸面積比的影響圖2 各種參數(shù)對球體狹義接觸面積比的影響

圖2給出了當(dāng)h=1 mm時球體狹義接觸面積比的演化規(guī)律。圖2a～2e均可以反映出3個共同規(guī)律:①本文的球體模型曲線處于MB平面模型曲線的下面;②在同一壓緊力下,球體模型的狹義接觸面積比比MB平面模型的小;③在產(chǎn)生相同狹義接觸面積比的情況下,本文球體模型需要施加的壓緊力比MB平面模型的大。

從圖2a可知:不管是內(nèi)接觸還是外接觸,狹義接觸面積比都隨著r的增加而增加;內(nèi)接觸時的狹義接觸面積比比外接觸時的大。

從圖2b可知:狹義接觸面積比隨著分形粗糙度的增加而減小;隨著分形粗糙度的增加,產(chǎn)生指定狹義接觸面積比所需要的壓緊力增加,這是由于分形粗糙度增加時法向變形量也增加,故壓緊力增加。

從圖2c可知:對于給定的壓緊力,當(dāng)分形維數(shù)從1.4增加到1.5時,狹義接觸面積比隨之增加,但當(dāng)分形維數(shù)從1.5增加到1.9時,狹義接觸面積比逐漸減小。

硬度是定量表示材料軟硬程度的一個物理參數(shù)。材料的硬度會隨著距離表面的深度而變化,不是一個恒定值。計算中硬度取Hr和HR中的較小者,材料的布氏硬度對狹義接觸面積比的影響見圖2d,可見狹義接觸面積比隨著材料布氏硬度的增加而減小。

結(jié)合面虛擬材料厚度對狹義接觸面積比的影響見圖2e,可見狹義接觸面積比隨著結(jié)合面虛擬材料厚度的增加而減小。文獻(xiàn)[14]中計算的狹義接觸面積比小于本文計算的。

6.3 赫茲應(yīng)力的變化

圖3給出了當(dāng)h=1 mm、F=20 N時赫茲應(yīng)力的變化規(guī)律。由圖3可見:同種接觸形式下,本文方法計算的赫茲應(yīng)力大于赫茲理論的計算值;隨著r的增加,赫茲應(yīng)力下降;內(nèi)接觸時的赫茲應(yīng)力小于外接觸時的。球軸承主要為點接觸,宜用于承受較輕或中等的載荷,故在載荷較小時,可優(yōu)先選用球軸承。通常零件受載時是在較大的體積內(nèi)產(chǎn)生應(yīng)力,這種應(yīng)力狀態(tài)下的零件強度稱為整體強度。2個球體在受載前是點接觸,受載后,由于變形接觸處變?yōu)橐粋€小接觸面,通常此接觸面甚小,而表層產(chǎn)生的局部應(yīng)力卻很大,這時的零件強度稱為接觸強度。例如滾動軸承中的球軸承,都是通過很小的接觸面積傳遞載荷的,因此球軸承的承載能力不僅取決于整體強度,還取決于表面的接觸強度。

圖3 小球體半徑對赫茲應(yīng)力的影響

7 結(jié) 論

(1)用術(shù)語“小球體表面積”代替術(shù)語“表觀接觸面積”,更能形象地表征球體的幾何特點。

(2)球體廣義接觸面積比小于或等于1,內(nèi)接觸時的球體廣義接觸面積比大于外接觸時的。球體廣義接觸面積比隨著壓緊力的增加或結(jié)合面虛擬材料厚度的減小而增大。

(3)內(nèi)接觸時的狹義接觸面積比比外接觸時的大。狹義接觸面積比隨著分形粗糙度、材料硬度、結(jié)合面虛擬材料厚度的增加而減小。對于給定的壓緊力,當(dāng)分形維數(shù)從1.4增加至1.5時,狹義接觸面積比隨之增大;當(dāng)分形維數(shù)從1.5增加至1.9時,狹義接觸面積比逐漸減小。

(4)內(nèi)接觸時的赫茲應(yīng)力小于外接觸時的。

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[17]HARDY G H. Weierstrass’s non-differentiable function [J]. Transactions of the American Mathematical Society, 1916, 17(3): 301-325.

(編輯 葛趙青)

Contact Problem Between Two Spheres Considering Surface Roughness and Geometrical Curvature

TIAN Hongliang,YU Yuan,CHEN Tianmin,ZHENG Jinhua,ZHANG Yi,ZHAO Chunhua

(College of Mechanical and Power Engineering, China Three Gorges University, Yichang, Hubei 443002, China)

The normal contact problem of two spheres was studied to investigate the contact regime of curvature joint interface. The force applied to the circular contact region formed by the point higher pair contact of two spheres was analyzed through utilizing the virtual material thickness of joint interface. The Majumdar-Bhushan plane model and classic Hertz theory were combined in the analysis. It was demonstrated that the entire definite range of fractal dimension satisfies 1≤D<2 in the two-dimensional Weierstrass-Mandelbrot fractal function by adopting Hardy’s non-differentiable condition at a point anywhere. Numerical simulation exhibits that the spherical generalized contact area ratio is not greater than one. The spherical generalized contact area ratio in inner contact is larger than that of outer contact. The spherical generalized contact area ratio may increase by increasing the compressive force or reducing the virtual material thickness of joint interface. The true contact area in internal contact is higher than it in external contact. As the fractal roughness, material hardness or virtual material thickness of joint interface increases, the true contact area decreases. As the fractal roughness increases, the compressive force required to produce a specified true contact area increases. This accounts for the fact that an increase in the fractal roughness implies an increase in microcontact’s normal deformation, which therefore requires a higher compressive force. As the value of fractal dimension increases from 1.4 to 1.5, the actual contact area first increases for a given compressive force. As the value of fractal dimension increases from 1.5 to 1.9, the true contact area decreases. The Hertz stress in internal contact is smaller than that in external contact. These research findings may provide a basis for further research on the contact strength calculation of spherical bearing. The spherical contact fractal model possesses the universality and practicality to expand the mechanical part contact strength theory in machine design.

mechanical design; joint interface; virtual material; sphere; contact area ratio

10.7652/xjtuxb201603001

2015-08-14。 作者簡介:田紅亮(1973—),男,博士,副教授;張屹(通信作者),男,教授。 基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(51275273)。

時間:2015-12-31

http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20151231.1129.006.html

TH113.1

:A

:0253-987X(2016)03-0001-08