第五講圖形與變換

文/汪國(guó)剛

第五講圖形與變換

文/汪國(guó)剛

圖形與變換是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是中考的重要考點(diǎn)．它包括圖形的對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)、相似、位似等內(nèi)容.現(xiàn)以2015年的中考題為例，把主要考點(diǎn)歸納如下，供你復(fù)習(xí)時(shí)參考．

考點(diǎn)1軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的識(shí)別

例1（2015年長(zhǎng)沙卷）下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形的是（）．

解析：選B.

溫馨小提示：判斷軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，使圖形按照某條直線折疊后兩旁部分可重合；判斷中心對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱中心，使圖形繞該中心旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形重合.

考點(diǎn)2利用軸對(duì)稱的性質(zhì)計(jì)算

例2（2015年桂林卷）如圖1，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=12，AD⊥BC于D，點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，把△ABC沿EF折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D恰好重合，則△DEF的周長(zhǎng)是（）.

A.14B.15C.16D.17

解：設(shè)AD和EF的交點(diǎn)為M援

疫ΔEDF是ΔEAF折疊以后形成的圖形，

亦ΔEDF的周長(zhǎng)等于ΔEAF的周長(zhǎng)，

由折疊知EF為△ABC的中位線，

溫馨小提示：把ΔEDF的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為ΔEAF的周長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.另外，求最短路徑問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn).

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

考點(diǎn)3圖形的平移

例3（2015年永州卷）在等腰△ABC中，AB=AC，則有BC邊上的中線、高線和∠BAC的平分線重合于AD（如圖2）援若將等腰ΔABC的頂點(diǎn)A向右平行移動(dòng)后，得到ΔA憶BC（如圖3），那么，此時(shí)BC邊上的中線、BC邊上的高線和∠BA憶C的平分線應(yīng)依次分別是（填A(yù)憶D、A憶E、 A憶F）

解析：A憶D，A憶F，A憶E.

考點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及計(jì)算

例4（2015年福州卷）如圖4，在Rt△ABC中，∠ABC越90°，AB越BC越將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到ΔMNC，連接BM，則BM的長(zhǎng)是

解析：連接AM（如圖5）.

∴△ACM是等邊三角形，亦MC越MA，

又∵BC越BA，亦BM⊥AC.

溫馨小提示：解此題的突破口是連接AM，結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等邊三角形性質(zhì)證明垂直是關(guān)鍵，進(jìn)而由勾股定理求出相應(yīng)線段即可.

考點(diǎn)5圖形的軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)

例5（2015年張家界卷）如圖6，在邊長(zhǎng)均為1的正方形網(wǎng)格紙上有一個(gè)△ABC，頂點(diǎn)A、B、C及點(diǎn)O均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求完成以下操作或運(yùn)算：

（1）將△ABC向上平移4個(gè)單位，得到ΔA1B1C1（不寫(xiě)作法，但要標(biāo)出字母）；

（2）將△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，得到△A2B2C（2不寫(xiě)作法，但要標(biāo)出字母）；

（3）求點(diǎn)A繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A2所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

解析：（1）如圖7所示．

（2）如圖7所示.

（3）∵OA=4，∠AOA2=180°，

∴旋轉(zhuǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為180仔×4=4仔. 180

溫馨小提示：借助網(wǎng)格結(jié)構(gòu)、平移距離、旋轉(zhuǎn)角度找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.計(jì)算某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)經(jīng)過(guò)的路線（弧線）長(zhǎng)度，需要找出旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)半徑，從而運(yùn)用弧長(zhǎng)公式計(jì)算.

圖6

圖7

考點(diǎn)6相似三角形

例6（2015年湘潭卷）如圖8，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折疊，使得點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處．

（1）求證：ΔBDE∽ΔBAC；

（2）已知AC=6，BC=8，求線段AD的長(zhǎng)度．

解析：（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折疊，

∴∠C=∠AED=90°，∴∠DEB=∠C=90°，

∵∠B=∠B，亦ΔBDE∽ΔBAC.

（2）由勾股定理得，AB=10．

由折疊的性質(zhì)知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．

∴BE=AB-AE=10-6=4.

在Rt△BDE中，由勾股定理得，DE2+BE2=BD2，

即CD2+42=（8-CD）2，解得CD=3.

圖8

在RtΔACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，

即32+62=AD2，解得AD=3

溫馨小提示：此題涉及相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.一般需要運(yùn)用勾股定理求解.

考點(diǎn)7位似

例7（2015年欽州卷）如圖9，以O(shè)為位似中心，將邊長(zhǎng)為256的正方形OABC依次作位似變換，經(jīng)第一次變換后得到正方形OA1B1C1，其邊長(zhǎng)OA1縮小為OA的，經(jīng)第二次變換后得到正方形OA2B2C2，其邊長(zhǎng)OA2縮小為OA1的，經(jīng)第三次變換后得到正方形OA3B3C3，其邊長(zhǎng)OA3縮小為OA2的，依次規(guī)律，經(jīng)過(guò)第n次變換后，所得正方形OAnBnCn的邊長(zhǎng)為正方形OABC邊長(zhǎng)的倒數(shù)，則n=.

圖9

正方形OAnBnCn的邊長(zhǎng)為×256.

∵正方形OAnBnCn的邊長(zhǎng)為正方形OABC邊長(zhǎng)的倒數(shù)，

溫馨小提示：本題是以正方形為背景的規(guī)律探索題，根據(jù)前幾次變換，得到相應(yīng)正方形邊長(zhǎng)，經(jīng)過(guò)歸納、猜想，發(fā)現(xiàn)第n次變換的邊長(zhǎng)，繼而根據(jù)題意得到答案.

考點(diǎn)8相似三角形的應(yīng)用

例8（2015年邵陽(yáng)卷）某校數(shù)學(xué)興趣小組利用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量操場(chǎng)旗桿AB的高度（圖10），他們通過(guò)調(diào)整測(cè)量位置，使斜邊DF與地面保持水平，并使邊DE與旗桿頂點(diǎn)A在同一直線上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目測(cè)點(diǎn)D到地面的距離DG=1.5米，到旗桿的水平距離DC=20米，求旗桿的高度.

圖10

∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，

∴AB=AC+BC=10+1.5=11.5（米）.

答：旗桿的高度為11.5米.

溫馨小提示：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用相似三角形知識(shí)測(cè)量旗桿的高，發(fā)現(xiàn)△DEF∽ΔDCA是解題關(guān)鍵.

責(zé)任編輯：王二喜