文/汪國(guó)剛
第五講圖形與變換
文/汪國(guó)剛
圖形與變換是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是中考的重要考點(diǎn).它包括圖形的對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)、相似、位似等內(nèi)容.現(xiàn)以2015年的中考題為例,把主要考點(diǎn)歸納如下,供你復(fù)習(xí)時(shí)參考.
例1(2015年長(zhǎng)沙卷)下列圖形中,是軸對(duì)稱圖形,但不是中心對(duì)稱圖形的是().
解析:選B.
溫馨小提示:判斷軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸,使圖形按照某條直線折疊后兩旁部分可重合;判斷中心對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱中心,使圖形繞該中心旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形重合.
例2(2015年桂林卷)如圖1,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=12,AD⊥BC于D,點(diǎn)E、F分別在AB、AC上,把△ABC沿EF折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)D恰好重合,則△DEF的周長(zhǎng)是().
A.14B.15C.16D.17
解:設(shè)AD和EF的交點(diǎn)為M援
疫ΔEDF是ΔEAF折疊以后形成的圖形,
亦ΔEDF的周長(zhǎng)等于ΔEAF的周長(zhǎng),
由折疊知EF為△ABC的中位線,
溫馨小提示:把ΔEDF的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為ΔEAF的周長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.另外,求最短路徑問(wèn)題,一般要考慮線段的性質(zhì)定理,結(jié)合軸對(duì)稱變換來(lái)解決,多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn).
圖1
圖2
圖3
圖4
圖5
例3(2015年永州卷)在等腰△ABC中,AB=AC,則有BC邊上的中線、高線和∠BAC的平分線重合于AD(如圖2)援若將等腰ΔABC的頂點(diǎn)A向右平行移動(dòng)后,得到ΔA憶BC(如圖3),那么,此時(shí)BC邊上的中線、BC邊上的高線和∠BA憶C的平分線應(yīng)依次分別是(填A(yù)憶D、A憶E、 A憶F)
解析:A憶D,A憶F,A憶E.
例4(2015年福州卷)如圖4,在Rt△ABC中,∠ABC越90°,AB越BC越將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到ΔMNC,連接BM,則BM的長(zhǎng)是
解析:連接AM(如圖5).
∴△ACM是等邊三角形,亦MC越MA,
又∵BC越BA,亦BM⊥AC.
溫馨小提示:解此題的突破口是連接AM,結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等邊三角形性質(zhì)證明垂直是關(guān)鍵,進(jìn)而由勾股定理求出相應(yīng)線段即可.
例5(2015年張家界卷)如圖6,在邊長(zhǎng)均為1的正方形網(wǎng)格紙上有一個(gè)△ABC,頂點(diǎn)A、B、C及點(diǎn)O均在格點(diǎn)上,請(qǐng)按要求完成以下操作或運(yùn)算:
(1)將△ABC向上平移4個(gè)單位,得到ΔA1B1C1(不寫(xiě)作法,但要標(biāo)出字母);
(2)將△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°,得到△A2B2C(2不寫(xiě)作法,但要標(biāo)出字母);
(3)求點(diǎn)A繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A2所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).
解析:(1)如圖7所示.
(2)如圖7所示.
(3)∵OA=4,∠AOA2=180°,
∴旋轉(zhuǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為180仔×4=4仔. 180
溫馨小提示:借助網(wǎng)格結(jié)構(gòu)、平移距離、旋轉(zhuǎn)角度找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.計(jì)算某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)經(jīng)過(guò)的路線(弧線)長(zhǎng)度,需要找出旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)半徑,從而運(yùn)用弧長(zhǎng)公式計(jì)算.
圖6
圖7
例6(2015年湘潭卷)如圖8,在Rt△ABC中,∠C=90°,△ACD沿AD折疊,使得點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處.
(1)求證:ΔBDE∽ΔBAC;
(2)已知AC=6,BC=8,求線段AD的長(zhǎng)度.
解析:(1)∵∠C=90°,△ACD沿AD折疊,
∴∠C=∠AED=90°,∴∠DEB=∠C=90°,
∵∠B=∠B,亦ΔBDE∽ΔBAC.
(2)由勾股定理得,AB=10.
由折疊的性質(zhì)知,AE=AC=6,DE=CD,∠AED=∠C=90°.
∴BE=AB-AE=10-6=4.
在Rt△BDE中,由勾股定理得,DE2+BE2=BD2,
即CD2+42=(8-CD)2,解得CD=3.
圖8
在RtΔACD中,由勾股定理得AC2+CD2=AD2,
即32+62=AD2,解得AD=3
溫馨小提示:此題涉及相似三角形的判定和性質(zhì),折疊是一種對(duì)稱變換,它屬于軸對(duì)稱,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì),折疊前后圖形的形狀和大小不變,對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.一般需要運(yùn)用勾股定理求解.
例7(2015年欽州卷)如圖9,以O(shè)為位似中心,將邊長(zhǎng)為256的正方形OABC依次作位似變換,經(jīng)第一次變換后得到正方形OA1B1C1,其邊長(zhǎng)OA1縮小為OA的,經(jīng)第二次變換后得到正方形OA2B2C2,其邊長(zhǎng)OA2縮小為OA1的,經(jīng)第三次變換后得到正方形OA3B3C3,其邊長(zhǎng)OA3縮小為OA2的,依次規(guī)律,經(jīng)過(guò)第n次變換后,所得正方形OAnBnCn的邊長(zhǎng)為正方形OABC邊長(zhǎng)的倒數(shù),則n=.
圖9
正方形OAnBnCn的邊長(zhǎng)為×256.
∵正方形OAnBnCn的邊長(zhǎng)為正方形OABC邊長(zhǎng)的倒數(shù),
溫馨小提示:本題是以正方形為背景的規(guī)律探索題,根據(jù)前幾次變換,得到相應(yīng)正方形邊長(zhǎng),經(jīng)過(guò)歸納、猜想,發(fā)現(xiàn)第n次變換的邊長(zhǎng),繼而根據(jù)題意得到答案.
例8(2015年邵陽(yáng)卷)某校數(shù)學(xué)興趣小組利用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量操場(chǎng)旗桿AB的高度(圖10),他們通過(guò)調(diào)整測(cè)量位置,使斜邊DF與地面保持水平,并使邊DE與旗桿頂點(diǎn)A在同一直線上,已知DE=0.5米,EF=0.25米,目測(cè)點(diǎn)D到地面的距離DG=1.5米,到旗桿的水平距離DC=20米,求旗桿的高度.
圖10
∵DE=0.5米,EF=0.25米,DG=1.5米,DC=20米,
∴AB=AC+BC=10+1.5=11.5(米).
答:旗桿的高度為11.5米.
溫馨小提示:將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,運(yùn)用相似三角形知識(shí)測(cè)量旗桿的高,發(fā)現(xiàn)△DEF∽ΔDCA是解題關(guān)鍵.
責(zé)任編輯:王二喜