函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像及性質(zhì)

岳峻

函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像問(wèn)題有三種類(lèi)型：描點(diǎn)畫(huà)圖（五點(diǎn)法）、圖像變換法（平移、伸縮、對(duì)稱(chēng)）及圖像應(yīng)用，特別是圖像的平移與伸縮變換，是高考常見(jiàn)的題型。由于三角函數(shù)的性質(zhì)蘊(yùn)含在其圖像中，我們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)須充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，正確地讀圖、識(shí)圖、析圖、用圖，把圖像和性質(zhì)結(jié)合起來(lái)，并會(huì)靈活運(yùn)用。

一、函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的物理意義

當(dāng)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0），x∈[0，+∞）表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)，A就表示這個(gè)量振動(dòng)時(shí)離開(kāi)平衡位置的最大距離，稱(chēng)為振動(dòng)的振幅；往復(fù)振動(dòng)一次所需要的時(shí)間T=叫作振動(dòng)的周期；單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)振動(dòng)的次數(shù)f==叫作振動(dòng)的頻率；ωx+φ叫作相位，當(dāng)x=0時(shí)的相位φ叫作初相。

例1 函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的部分圖像如右圖所示，則函數(shù)f（x）的解析式為 。

解析 由圖像知f（x）的最小正周期為

T=2-=π，故ω=2；

又A=2，所以f（x）=2sin（2x+φ）。

因?yàn)閤=時(shí)，2sin（2x+φ）=2，

即2x+φ=？圳2×+φ=？圯φ=。

所以f（x）=2sin2x+。

點(diǎn)評(píng) 由函數(shù)圖像確定函數(shù)解析式的關(guān)鍵是要善于從圖像中觀察得到一些有用的數(shù)據(jù)，如圖像經(jīng)過(guò)的點(diǎn)、最值等。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0），A可由圖像的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)或最低點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值來(lái)確定；ω可通過(guò)函數(shù)的周期T=來(lái)確定；φ可以用代入法來(lái)確定，即把一個(gè)點(diǎn)（最好選取圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)）的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求解而得。

二、三角函數(shù)的圖像變換

例2 將函數(shù)y=sin2x-圖像上的點(diǎn)P，t向左平移s（s>0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)P′，若P′位于函數(shù)y=sin2x的圖像上，則（ ）。

A.t=，s的最小值為？搖？搖？搖 B.t=，s的最小值為

C.t=，s的最小值為？搖？搖？搖 D.t=，s的最小值為

解析 因?yàn)辄c(diǎn)P，t在函數(shù)y=sin2x-的圖像上，

所以t=sin=；

因?yàn)镻′-s，位于函數(shù)y=sin2x的圖像上，

所以=sin2-s=cos2s，

所以s的最小值為。故選A。

點(diǎn)評(píng) 一般來(lái)說(shuō)，函數(shù)y=sin（ωx+φ）（ω>0）的圖像，可以將正弦曲線y=sinx上所有的點(diǎn)向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|個(gè)單位長(zhǎng)度（得y=sin（x+φ）的圖像），再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的得到；也可以將正弦曲線y=sinx上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（得y=sinωx的圖像），再把所得各點(diǎn)向左（φ>0）或向右（φ<0）平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到。特別注意：必須分清是先相位變換后周期變換，還是先周期變換后相位變換。

三、函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的單調(diào)性

例3 函數(shù)f（x）=sin-x，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為 。

解析 變形得f（x）=-sinx-。

函數(shù)f（x）=sin-x單調(diào)遞增，則函數(shù)g（x）=sinx-單調(diào)遞減，

所以2kπ+≤x-≤2kπ+（k∈Z），即2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z）。

所以函數(shù)f（x）=sin-x的單調(diào)遞增區(qū)間為2kπ+，2kπ+（k∈Z）。

點(diǎn)評(píng) 此類(lèi)問(wèn)題屬易錯(cuò)題。正確解法是借助誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化后求解，或利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律求解。

四、函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的對(duì)稱(chēng)性

例4 我們把函數(shù)f（x）的圖像與直線x=a、x=b及x軸所圍成圖形的面積稱(chēng)為函數(shù)f（x）在[a，b]上的面積，已知函數(shù)f（x）=sinnx在0，上的面積為（n∈N）。

（1）f（x）=sin3x在0，上的面積為 。

（2）f（x）=sin（3x-π）+1在，上的面積為 。

解析 （1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=sinnx在0，上的面積為（n∈N），

所以f（x）=sin3x在0，上的面積為。

又f（x）=sin3x關(guān)于點(diǎn)，0對(duì)稱(chēng)，

所以f（x）=sin3x在，上的面積等于它在0，上的面積。

故f（x）=sin3x在0，上的面積為。

（2）f（x）=sin（3x-π）+1的圖像如右圖所示。

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知每一個(gè)陰影區(qū)域的面積都相等，都等于y=sin3x在0，上的面積為，

所以f（x）=sin（3x-π）+1在，上的面積等于1個(gè)陰影區(qū)域與矩形ABCD的面積之和，即+π（區(qū)域④補(bǔ)形到區(qū)域③中）。

點(diǎn)評(píng) 本題是一道很好的理性思維信息開(kāi)放性定義型創(chuàng)新題。我們要知道：函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+b的對(duì)稱(chēng)軸為x=，對(duì)稱(chēng)中心為，b。

五、函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的奇偶性

例5 求函數(shù)f（x）=sin（x-θ）（θ為參數(shù)）的奇偶性。

解析 令f（-x）=f（x），則sin（-x-θ）=sin（x-θ），

此時(shí)-x-θ=2kπ+x-θ（k∈Z）或-x-θ=2kπ+π-（x-θ）（k∈Z），

亦即θ∈？芰或θ=kπ+（k∈Z），

所以當(dāng)θ=kπ+（k∈Z）時(shí)，函數(shù)f（x）=sin（x-θ）（θ為參數(shù)）是偶函數(shù)；

同理，當(dāng)θ=kπ（k∈Z）時(shí)，函數(shù)f（x）=sin（x-θ）（θ為參數(shù)）是奇函數(shù)。

綜上，當(dāng)θ=kπ-（k∈Z）時(shí)，函數(shù)f（x）=sin（x-θ）（θ為參數(shù)）是偶函數(shù)；

當(dāng)θ=kπ（k∈Z）時(shí)，函數(shù)f（x）=sin（x-θ）（θ為參數(shù)）是奇函數(shù)；

當(dāng)θ≠kπ（k∈Z）時(shí)，函數(shù)f（x）=sin（x-θ）（θ為參數(shù)）是非奇非偶函數(shù)。

點(diǎn)評(píng) f（x）是偶函數(shù)？圳f（-x）=f（x）；f（x）是奇函數(shù)？圳f（-x）=-f（x）。探討含有參數(shù)的函數(shù)的奇偶性可以利用該性質(zhì)。

六、函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的周期性

例6 設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常數(shù)，A>0，ω>0）。若f（x）在區(qū)間，上具有單調(diào)性，且f=f=-f，則f（x）的最小正周期為 。

解析 結(jié)合函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖像特征可知，

因?yàn)閒=f，所以x=，

即x=為f（x）圖像的對(duì)稱(chēng)軸。

因?yàn)閒=-f，所以，0，

即，0為f（x）圖像的對(duì)稱(chēng)中心。

又f（x）在區(qū)間，上具有單調(diào)性，

所以，0是與對(duì)稱(chēng)軸x=相鄰的對(duì)稱(chēng)中心，

所以最小正周期為4-=π。

點(diǎn)評(píng) 函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的最小正周期為T(mén)=，正確地讀圖、識(shí)圖、析圖、用圖是研究函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的性質(zhì)的基礎(chǔ)。

七、函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的最值

例7 已知函數(shù)f（x）=sinx。若存在x，x，…，x（m≥2，m∈N）滿足0≤x

解析 因?yàn)閷?duì)任意的x，xi+1（i=1，2，…，m-1），|f（xi）-f（xi+1）|≤f（x）-f（x）=2，

欲使m取最小值，應(yīng)盡可能多地讓x（i=1，2，…，m）取最值點(diǎn)。

因?yàn)?≤x

|f（x）-f（x）|+|f（x）-f（x）|+…+|f（x）-f（x）|=12，

所以按照下圖所示取值即可滿足條件。

所以m的最小值為8。

點(diǎn)評(píng) 一般來(lái)說(shuō)，函數(shù)f（x）=asinx+b的值域?yàn)閇-|a|+b，|a|+b]，函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A>0）的最小值為-A+b，最大值為A+b。