新一維混沌系統(tǒng)及加密特性研究

李娟霞 孫會明 陳 薇

1(河西學(xué)院物理與機電工程學(xué)院 甘肅 張掖 734000)2(西安科技大學(xué)電氣與控制工程學(xué)院 陜西 西安 710054)

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新一維混沌系統(tǒng)及加密特性研究

李娟霞1孫會明2*陳 薇2

1(河西學(xué)院物理與機電工程學(xué)院 甘肅 張掖 734000)2(西安科技大學(xué)電氣與控制工程學(xué)院 陜西 西安 710054)

提出一種新的產(chǎn)生一維混沌系統(tǒng)的組合結(jié)構(gòu)，以此結(jié)構(gòu)設(shè)計兩個新一維混沌系統(tǒng)，通過繪制Lyapunov指數(shù)圖和分岔圖研究兩個新混沌系統(tǒng)性能。研究結(jié)果表明，此結(jié)構(gòu)生成的一維混沌系統(tǒng)具有混沌區(qū)間大、區(qū)間連續(xù)、混沌序列分布均勻、系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)高和可控參數(shù)多等優(yōu)點。為了進一步提高混沌序列均勻分布特性，設(shè)計一變換過程，變換之后的混沌序列滿足均勻分布。最后，為了展示新系統(tǒng)在信息安全方面的應(yīng)用，設(shè)計一簡單的圖像加解密算法。通過Matlab軟件進行仿真和性能測試，結(jié)果表明變換之后的混沌序列具有更好的加密特性。

混沌 圖像加密 統(tǒng)計分析

0 引 言

混沌系統(tǒng)對參數(shù)和初始值具有很強的敏感性，且具有遍歷和不可預(yù)測的特點；混沌系統(tǒng)通過控制其參數(shù)和初始值就可以很方便地產(chǎn)生不同的偽隨機序列。因此，混沌系統(tǒng)在不同領(lǐng)域的應(yīng)用引起了很多研究者的關(guān)注。特別在信息安全方面的應(yīng)用，混沌系統(tǒng)展示了極其優(yōu)越的性能[1-23]。例如，由Hua等人提出的2D Sine-Logistic調(diào)制混沌圖像加密算法[1]，其對圖像加密獲得了較高的安全性。

現(xiàn)存的混沌系統(tǒng)主要分為兩類：一維混沌系統(tǒng)和高維混沌系統(tǒng)。一維混沌系統(tǒng)通常含有一個變量和比較少的參數(shù)，例如Logistic、Sine、Tent映射等[2,3]，它們的結(jié)構(gòu)和混沌軌跡相對簡單。隨著混沌信號估計技術(shù)的發(fā)展，當(dāng)很少的信息被獲取之后，它們的混沌軌跡就有可能被識別，進而獲得系統(tǒng)的初始值和控制參數(shù)值，這些缺點限制了它們在安全領(lǐng)域的應(yīng)用。已有文獻研究指出，幾種基于一維混沌映射圖像加密算法是不安全的[4]。高維混沌系統(tǒng)至少有兩個變量，與一維系統(tǒng)比較，高維混沌系統(tǒng)如Lorenz系統(tǒng)、chee-Lee系統(tǒng)具有更復(fù)雜的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和更好的混沌行為。這些特點將使得高維混沌系統(tǒng)的軌跡變得很難預(yù)測。然而，高維系統(tǒng)的實現(xiàn)變得相對復(fù)雜，也使得高維系統(tǒng)的應(yīng)用受到限制。一維混沌系統(tǒng)普遍存在Lyapunov低的現(xiàn)象，而且一維混沌系統(tǒng)都存在混沌區(qū)間小、混沌區(qū)間不連續(xù)和混沌序列分布不均勻的問題。研究如何通過有效的方法獲得混沌區(qū)間寬、混沌區(qū)間連續(xù)、混沌序列分布均勻且具有高Lyapunov指數(shù)的一維混沌系統(tǒng)具有很高的研究價值。

設(shè)計新混沌系統(tǒng)極其困難，如何通過有效的方法在現(xiàn)有一維混沌基礎(chǔ)上獲得性能更好的一維混沌系統(tǒng)不失為一捷徑。文獻[2]提出了一種并聯(lián)組合方式，通過此方式可以改善混沌系統(tǒng)的混沌序列分布不均勻、混沌區(qū)間不連續(xù)和混沌區(qū)間小的問題，但是生成的新混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)并沒有提高。文獻[5]提出了一種級聯(lián)結(jié)構(gòu)，通過對子(Sine、Logistic、Tent等)一維系統(tǒng)進行級聯(lián)則可以提高系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)，且混沌區(qū)間也有所增加，但是混沌區(qū)間不連續(xù)問題和混沌序列分布不均勻問題沒有得到改善。

本文在一維混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，提出一新的能產(chǎn)生一維混沌系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。該結(jié)構(gòu)所描述的方式對現(xiàn)有一維混沌系統(tǒng)(Sine、Tent、Logistic等)進行組合可以獲得性能更好的一維混沌系統(tǒng)，且其結(jié)構(gòu)簡單靈活。文章中以此結(jié)構(gòu)給出了兩個新的一維混沌系統(tǒng)，為觀察新混沌系統(tǒng)的混沌行為，通過Matlab軟件繪制了對應(yīng)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)圖。結(jié)果表明，新的一維混沌系統(tǒng)具有更高的Lyapunov指數(shù)，產(chǎn)生的混沌序列分布更加均勻，混沌區(qū)間廣、混沌區(qū)間連續(xù)且可控參數(shù)多。本文同時對設(shè)計的兩個新混沌系統(tǒng)之一提出一種序列均勻分布改善方法，對改進后的混沌序列做了均勻分布性能測試。測試結(jié)果表明，輸出混沌序列通過改善之后滿足均勻分布。為了展示新混沌系統(tǒng)和改善之后的混沌序列的加密特性，設(shè)計一簡單的圖像加密算法，仿真結(jié)果表明新混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列具有很高的加密特性。

1 典型一維混沌系統(tǒng)

本文研究主要以一維Logistic、Tent和Sine混沌映射為基礎(chǔ)。因為Logistic、Tent和Sine系統(tǒng)的混沌參數(shù)u和xn取值區(qū)間相同，而其他一些一維混沌系統(tǒng)盡管u和xn取值不相同，但是都可以通過變換使其相同[5]。Logistic、Tent和Sine系統(tǒng)表達式如下：

Logisticmap:xn+1=uxn(1-xn)

(1)

(2)

Sinemap:xn+1=λsin(πxn)/4

(3)

已有研究表明：Logistic、Tent和Sine混沌區(qū)間范圍窄、混沌序列分布不均勻，且Logistic和Sine混沌區(qū)間不連續(xù)[2]。

2 新一維系統(tǒng)構(gòu)造方法

文獻[2]的研究結(jié)果表明對一維系統(tǒng)進行適當(dāng)?shù)慕M合有助于改善單一一維混沌系統(tǒng)混沌區(qū)間不連續(xù)的問題；文獻[5]的研究結(jié)果表明，級聯(lián)有助于提高混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)。新一維系統(tǒng)產(chǎn)生結(jié)構(gòu)如圖1所示，它是對一維混沌系統(tǒng)進行非線性組合而獲得的；組合表達式如式(4)所示，組合的條件是混沌參數(shù)取值區(qū)間相同且值域相同。繪制分岔圖和Lyapunov指數(shù)圖采用文獻[3,6,7]中方法。

圖1 新混沌系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

Newsystem:Xn+1=G(c,(T(a,Xn)+F(b,Xn)mod1))

(4)

其中T(a,Xn)、F(b,Xn)和G(c,Xn)都是一維混沌系統(tǒng)(子系統(tǒng))，a、b和c為系統(tǒng)參數(shù)，mod為取模操作，n是迭代次數(shù)。

(1) L-LSS(Logistic-Logistic Sine System)

選擇T為Logistic映射、F為Sine映射、G為Logistic映射構(gòu)造新的一維混沌系統(tǒng)如式(5)所示：

Xn+1=u1·{mod(uXn(1-Xn)+(4-u)sin(πXn)/4,1)}·

{1-mod(uXn(1-Xn)+(4-u)sin(πXn)/4,1)}

(5)

其中u、u1為控制參數(shù)，設(shè)u1=4為固定值，u∈[0,4]繪制對應(yīng)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)如圖2所示。

圖2 L-LSS系統(tǒng)的分岔圖與Lyapunov指數(shù)圖

(2) S-LSS(Sine-Logistic Sine Syetem)

選擇T為Logistic映射、F為Sine映射、G為Sine映射構(gòu)造新的一維混沌系統(tǒng)如式(6)所示,對應(yīng)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)如圖3所示。

Xn+1=u1·sin{((uXn(1-Xn)+(4-u)sin(πXn)/

4)mod1)·π}/4

(6)

圖3 S-LSS系統(tǒng)的分岔圖與Lyapunov指數(shù)圖

由圖1構(gòu)造的新一維系統(tǒng)L-LSS和S-LSS分岔圖和Lyapunov指數(shù)圖可以看出，新系統(tǒng)在參數(shù)u∈[0,4]區(qū)間都是混沌的，不存在周期窗口現(xiàn)象。新L-LSS和S-LSS系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)與Logistic映射和LSS[2]映射Lyapunov指數(shù)比較，發(fā)現(xiàn)新系統(tǒng)具有更高的Lyapunov指數(shù)，對初始值與參數(shù)的敏感性更高，混沌序列的分布均勻性得到了改善。

因此，采用新系統(tǒng)設(shè)計的混沌加密算法理論上具有更高的安全性。同時觀察三者的關(guān)系發(fā)現(xiàn)，L-LSS系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)近似等于Logistic映射與LSS映射Lyapunov指數(shù)之和，S-LSS系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)近似等于Sine映射與LSS映射Lyapunov指數(shù)之和，與文獻[5]的研究結(jié)論一致。具體的Lyapunov指數(shù)數(shù)值如表1所示。

表1 Lyapunov指數(shù)

表1獲得的Lyapunov指數(shù)為最大Lyapunov指數(shù)，且除了混沌系統(tǒng)不同以外，其他計算條件相同。

圖1的構(gòu)造方法可以增加新系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)，同時可以使混沌系統(tǒng)混沌區(qū)間增加，混沌序列的分布均勻。觀察L-LSS系統(tǒng)與S-LSS系統(tǒng)分岔圖發(fā)現(xiàn)，L-LSS和S-LSS系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列盡管比單一一維系統(tǒng)的混沌序列分布均勻很多，但是仍然不是均勻分布的。由對應(yīng)分岔圖中0和1附近顏色較深可以看出，0和1附近序列值比較多。如果一個混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列分布滿足均勻分布，則采用此序列進行加密可以獲得更高的安全性[8]。

以上提出的組合結(jié)構(gòu)只要是滿足上面提到的組合條件,則可以將任何不同一維混沌系統(tǒng)通過以上組合來獲取新的性能更好的一維混沌系統(tǒng)。對于不滿足組合條件的系統(tǒng)則可以通過變換使其滿足條件之后，再進行組合。因此，此結(jié)構(gòu)有很大的靈活性。Tent一維系統(tǒng)直接可以與Sine和Logistic進行組合，具體的表達式此處不再給出。

3 序列分布不均勻改善及統(tǒng)計分析

本文以新系統(tǒng)L-LSS系統(tǒng)為例，L-LSS系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列對應(yīng)的直方圖如圖5(a)所示。直方圖分布反映的結(jié)果與從分岔圖表現(xiàn)的結(jié)果相同，0和1附近序列值比較多，直方圖表現(xiàn)為0和1附近存在尖峰。以文獻[8]的思想為基礎(chǔ)，對L-LSS產(chǎn)生的混沌序列作式(7)變換，變換之后的序列直方圖如圖4(b)所示。

(7)

圖4 混沌序列直方圖

由直方圖可以明顯看出，變換之后的混沌序列分布變得非常均勻，具有似噪聲的特點。為了更進一步分析其性能，繪制序列的自相關(guān)特性圖如圖5所示。圖5同時繪制了Logistic映射和隨機函數(shù)生成序列的自相關(guān)特性圖，比較三者發(fā)現(xiàn)，T(L-LSS)變換之后的混沌序列分布更加均勻且隨機性更好。

圖5 自相關(guān)仿真

3.1 T(L-LSS)混沌序列概率分布

(8)

方差D(X)的計算公式為：

(9)

期望E(X)和方差D(X)是隨機變量X兩個非常重要的數(shù)字特征。在實際的應(yīng)用當(dāng)中，不一定非要求出X的對應(yīng)概率密度函數(shù)具體的形式，只要我們能得到X的期望和方差，則就可以通過X的數(shù)字特征來判斷X的分布函數(shù)。

由混沌系統(tǒng)的有界性可知，混沌系統(tǒng)的混沌序列值必然會落在有限區(qū)間上；由上面的新系統(tǒng)分岔圖可知，新系統(tǒng)產(chǎn)生的序列x(n)∈[0,1]。假設(shè)T(L-LSS)混沌序列是隨機且均勻分布的，則其序列在區(qū)間中出現(xiàn)的概率應(yīng)該是相同的，即x(n)為均勻分布。為了證明假設(shè)的正確性，下面通過新系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列經(jīng)過變換之后的序列x(n)來計算對應(yīng)的期望和方差，以計算結(jié)果與理論值比較來判斷其是否滿足均勻分布的特點。

通過前面L-LSS系統(tǒng)的分岔圖可以明顯地看出x(n)∈[0,1]，此時，式(8)和式(9)中的b=1、a=0，代入計算序列x(n)的期望與方差理論值。依據(jù)L-LSS系統(tǒng)的表達式(5)迭代產(chǎn)生100 000個混沌序列，通過式(7)變換得到變換之后的混沌序列值x(n)，以此序列值求取期望與方差實際值，計算結(jié)果如表2所示。

表2 序列x(n)期望與方差

由表2可以看出，新混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列通過變換以后所得序列x(n)的期望計算值與理論值相差很小，而且方差的計算值與假設(shè)其是均勻分布的理論值相等。以此就可以斷定新的L-LSM混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列x(n)滿足均勻分布的特點。

3.2 T(L-LSS)序列隨機性檢測

由新的一維L-LSS系統(tǒng)生成的序列變換后首先做二值化處理，就是把序列編成只有0和1的序列。如果二值序列滿足隨機均勻分布，則其具有以下特點：

(1) 序列中0和1出現(xiàn)的概率相等，即對于已確定的二值序列，序列中的0、1出現(xiàn)的次數(shù)應(yīng)該相等；

(2) 狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率應(yīng)該近似相等；

為了判斷新T(L-LSS)混沌序列是否滿足均勻分布的隨機特性，產(chǎn)生80 000個混沌序列值，選擇序列30 000到80 000之間的N=50 000個點，這是因為開始迭代的序列值有可能沒有完全進入混沌狀態(tài)。因此，跳過這些點，之后對這50 000個值做二值化處理，即進行0，1量化，量化完成之后，對量化后的序列x(n)進行頻率檢驗、序列檢驗和游程檢驗。

頻率檢驗就是統(tǒng)計二值化處理之后的序列中0和1出現(xiàn)的次數(shù)，觀察其各自出現(xiàn)的次數(shù)是否相等。樣本總數(shù)50 000個，如果滿足均勻分布的特點，則序列x(n)中0和1的個數(shù)應(yīng)該相等，即對應(yīng)于50 000個樣本，序列x(n)中就應(yīng)該出現(xiàn)25 000個0和25 000個1。對序列x(n)進行統(tǒng)計得，0出現(xiàn)的次數(shù)N0=25 003，1出現(xiàn)的次數(shù)N1=24 997，并不等于25 000。在這種情況下，就需對樣本出現(xiàn)的波動做假設(shè)檢驗，看其波動是不是在可接受的范圍內(nèi)。

由χ2分布表知：自由度1、顯著水平0.05的χ2值為3.841。將N0、N1代入χ2分布檢驗公式中進行計算，完成假設(shè)檢驗：

(10)

所得χ2值為0.00072，遠小于3.841，在其可信的區(qū)間內(nèi)，因此可以認為序列x(n)通過了假設(shè)檢驗，即可認為序列x(n)中的0和1出現(xiàn)次數(shù)基本上是相等的。

=0.15816

(11)

其結(jié)果遠小于5.9915，在其可信區(qū)間內(nèi)，所以序列x(n)通過了假設(shè)檢驗，可被認為序列中的各態(tài)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率近似相等。

表3 游程檢驗

4 L-LSS混沌系統(tǒng)的應(yīng)用

4.1 圖像加密算法

為驗證T(L-LSS)混沌偽隨機序列的加密特性，以圖像信息為研究基礎(chǔ)，對于大小為M×N的灰度圖像IM×N，通過下面描述的算法對IM×N圖像進行加密和解密。

步驟1給定具體的初始參數(shù)，以L-LSS(式(5))混沌系統(tǒng)迭代產(chǎn)生一大小為M×N的矩陣CM×N；

(12)

其中floor為向下取整運算，mod為取模操作，EncM×N則為加密之后的圖像。解密過程為加密的逆過程，這里不再贅述。

以512×512大小的Lena圖為例，取密鑰為u=2,u1=4,X0=0.2代入式(5)中獲得混沌序列值，通過式(7)變換之后作為偽隨機序列對圖像進行加密。仿真結(jié)果如圖6所示，明文圖像與密文圖像直方圖分布如圖7所示。由其直方圖明顯看出，密文圖像變成了像素值均勻分布，明文的統(tǒng)計特性被完全打破，使明文的相關(guān)性大大降低。圖8為正確解密與錯誤解密結(jié)果，正確解密時輸入與加密時相同的密鑰u=2,u1=4,X0=0.2進行解密操作，錯誤解密時對u參數(shù)做微小的改變，相差10-15進行解密，由結(jié)果可見密文對密鑰具有很高的敏感性。

圖6 明文圖像與密文圖像

圖7 明文圖像直方圖與密文圖像直方圖

圖8 正確解密與錯誤解密結(jié)果

4.2 相關(guān)性分析

一個有意義的圖像的明顯特征就是數(shù)據(jù)的冗余特性，像素點與它臨近像素點有很高的相關(guān)性。圖像加密的目的就是要破壞原來圖像的這種相關(guān)性，使加密后的圖像變換為只有很小或者幾乎沒有相關(guān)性的似噪聲圖像。明文圖像Lena.png與密文圖像像素點分布如圖9所示，可以很直觀地看到，圖像在加密之前具有很強的相關(guān)性，而加密之后沒有明顯的相關(guān)性。

圖9 不同方向相關(guān)性

為了更進一步對相關(guān)性研究，通過計算原始圖像和加密之后的圖像的相關(guān)性值，來驗證加密的效果。相關(guān)性值如下公式給出：

(13)

具體的計算法如下：

(14)

其中：μ和σ是平均值和標(biāo)準(zhǔn)方差，E[·]表示的是求其期望值；Cxy∈(-1,1)，xi、yi是兩個相鄰的像素點的值。

一個好的加密圖像是無法被識別的，相關(guān)性值Cxy≈0。以式(14)進行計算，得出結(jié)果如表4所示。

表4 相關(guān)性分析

4.3 信息熵分析

信息熵IFE被定義為評價一個隨機變量的不確定性，由下面的等式定義：

(15)

其中F是灰度值，P(L=l)是像素值為l的百分比。

IFE可以用來評價一個圖像的隨機性，IFE的值越大就意味著圖像擁有極強的隨機性。對于灰度值屬于[0,255]的灰度圖像，IFE的理想最大值為8。表5給出了加密之前與加密之后圖像的IFE的值，加密之后圖像的IFE的值非常接近8。

表5 信息熵分析

由表5可以看出，盡管本文所設(shè)計的圖像加密算法只是簡單做了異或操作，但是加密效果卻比文獻[9]算法的加密效果好。由此可以得出結(jié)論，在設(shè)計混沌圖像加密算法時，如果所采用的混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列隨機性強且分布均勻，則可以獲得更好的加密效果和更高的安全性，在相同加密性能指標(biāo)下則可以降低算法的復(fù)雜性。

5 結(jié) 語

本文提出的構(gòu)造一維混沌系統(tǒng)的方法具有很明顯的效果，構(gòu)造的新一維混沌系統(tǒng)具有更好的混沌特性。該方法可以改善混沌系統(tǒng)混沌區(qū)間不連續(xù)問題，同時也可以提高系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)。對構(gòu)造的新混沌系統(tǒng)(L-LSS)混沌序列的分布不均勻進行了改善，改善效果明顯。最后，基于改善之后的混沌序列對圖像進行了加密測試，實驗結(jié)果表明，基于T(L-LSS)偽隨機混沌序列對初始參數(shù)具有極強的敏感性?？梢奣(L-LSS)混沌序列為滿足均勻分布的偽隨機序列，以此偽隨機序列設(shè)計的混沌加密算法可以獲得更高的安全性。文中提出的組合結(jié)構(gòu)可以獲得很多性能更好的新一維混沌系統(tǒng)，且實現(xiàn)靈活。

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ON A NEW 1D CHAOTIC SYSTEM AND ITS ENCRYPTION CHARACTERISTIC

Li Juanxia1Sun Huiming2*Chen Wei2

1(School of Physics and Electromechanical Engineering,Hexi University,Zhangye 734000,Gansu,China)2(College of Electrical and Control Engineering,Xi’an University of Science and Technology,Xi’an 710054,Shaanxi,China)

This paper proposes a new composite structure for generating 1D chaotic system. Two new 1D chaotic systems are designed by using this structure. Through plotting Lyapunov exponent diagram and bifurcation diagram we studied the performance of two new chaotic systems, study results showed that the new 1D chaotic system generated by this structure had the advantages of large and continuous chaotic range, uniform chaotic sequence distribution, high system Lyapunov exponent and more controllable parameters, etc. In order to further improve the uniformity of chaotic sequence distribution, we designed a transformation process. After the transformation the chaotic sequence satisfied the uniform distribution. At last, in order to demonstrate its applications in information security, we designed a simple image encryption and decryption algorithm. The new systems were simulated and tested their performances on Matlab, results showed that after the transformation the chaotic sequence had higher encryption characteristic.

Chaos Image encryption Statistical analysis

2015-05-20。李娟霞，講師，主研領(lǐng)域：機電控制，計算機測控系統(tǒng)，智能信息處理。孫會明，碩士生。陳薇，碩士生。

TP309.7

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10.3969/j.issn.1000-386x.2016.11.073