陳紀(jì)波，胡 慧，陳克垚，王桂芝

（1.南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，南京 210044; 2.中國氣象局國家氣候中心，北京 100081）

基于非線性PLSR模型的氣候變化對糧食產(chǎn)量的影響分析*

陳紀(jì)波1，胡 慧1，陳克垚2**，王桂芝1

（1.南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，南京 210044; 2.中國氣象局國家氣候中心，北京 100081）

考慮氣候因子間多重共線性及其與糧食產(chǎn)量間復(fù)雜的非線性關(guān)系，本文在HP濾波分離出氣候產(chǎn)量的基礎(chǔ)上，嘗試引入基于三次 B樣條變換（Spline-PLSR）和內(nèi)部嵌入 GRNN的兩種非線性偏最小二乘模型（GRNN-PLSR），利用1961-2008年氣候因子數(shù)據(jù)建立氣候產(chǎn)量計算模型，以2009—2013年數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合檢驗，并與常用的C-D生產(chǎn)函數(shù)法計算的氣候產(chǎn)量進(jìn)行比較。結(jié)果表明，Spline-PLSR法在擬合氣候因子變化對糧食產(chǎn)量影響時預(yù)測精度較高。而且，與 C-D生產(chǎn)函數(shù)法相比，Spline-PLSR所需要素較少，操作簡單，相對誤差最高僅為13.6%；與GRNN-PLSR法擬合結(jié)果相比，Spline-PLSR相對誤差波動較小，因此，基于三次B樣條變換的非線性偏最小二乘法建模較適合擬合氣候產(chǎn)量。

氣候產(chǎn)量；偏最小二乘法；三次B樣條；廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

20世紀(jì)80年代以來，中國土地開墾逐漸飽和，物質(zhì)增產(chǎn)的作用日趨穩(wěn)定，加之社會技術(shù)水平漸趨成熟，因此，社會物質(zhì)因素對糧食產(chǎn)量的影響也趨于穩(wěn)定[1]；而近年來，糧食主產(chǎn)區(qū)黃淮海平原和東北平原由于氣溫不斷上升、水資源短缺造成干旱嚴(yán)重，氣候因素對糧食產(chǎn)量的影響日漸變大[2]。因此，在氣候變化的大趨勢情境下，如何適應(yīng)氣候變化成為確保糧食增產(chǎn)的新興挑戰(zhàn)[3]。

目前，在氣候因子變化與糧食產(chǎn)量關(guān)系研究中運(yùn)用的統(tǒng)計學(xué)方法主要有逐步多元回歸、積分回歸以及EOF等，Pirjo[4]利用逐步多元回歸探討了3個不同的生長階段氣候因素對燕麥產(chǎn)量的影響。何永坤等[5]利用積分回歸方法分析了氣候波動對三峽庫區(qū)主要糧食作物小麥、玉米、中稻產(chǎn)量的影響。Xie等[6]利用EOF法研究中國1949-1992年的糧食單產(chǎn)數(shù)據(jù)，結(jié)果表明中國東部地區(qū)糧食產(chǎn)量波動比西部地區(qū)高，氣候變化收益率存在地域上的差異性。楊文坎等[7]利用 EOF等數(shù)理統(tǒng)計方法分析了氣候變化對越南北方水稻生產(chǎn)的影響。但上述方法不能將氣候因子與農(nóng)業(yè)因子之間復(fù)雜的生態(tài)關(guān)系進(jìn)行闡述，在建模過程中還存在氣候因子之間存在較強(qiáng)的多重共線性，以及氣候因子與糧食產(chǎn)量之間存在非常復(fù)雜的非線性關(guān)系等問題。業(yè)界提出的解決共線性的方法有嶺估計、主成分估計及壓縮估計等，但此類方法均存在不同程度的缺陷[8]。而偏最小二乘估計（PLSR）可以有效解決多重共線性問題。但普通的PLSR模型適用于存在線性關(guān)系的變量之間，而對于氣候因子與糧食產(chǎn)量這種復(fù)雜的非線性關(guān)系，則需引入非線性PLSR模型。

近年來，研究者在PLSR的基礎(chǔ)上發(fā)展了非線性偏最小二乘方法[9]。這些方法大體分為兩類：一是基于外部樣本變換的方法，即對自變量矩陣進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，將原變量間的非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為擬線性關(guān)系，再利用PLSR方法進(jìn)行處理。另一類是基于內(nèi)部成分間非線性映射的方法，其是先從原始的自變量和因變量中提取各自的成分，再通過對成分進(jìn)行內(nèi)部的非線性映射來完成非線性建模[10]，其常用的內(nèi)部非線性映射有支持向量機(jī)映射[11]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)映射等。其中對于樣條函數(shù)變換的PLSR和內(nèi)部神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)映射的PLSR的應(yīng)用較為廣泛和深入，因此，本文在利用HP濾波分離出氣候產(chǎn)量的基礎(chǔ)上[12]，嘗試引入基于三次B樣條變換和內(nèi)部嵌入 GRNN的兩種非線性偏最小二乘模型對1961-2008年的氣候因子與氣候產(chǎn)量關(guān)系進(jìn)行擬合，再用2009-2013年氣候產(chǎn)量進(jìn)行檢驗，并與常用的C-D生產(chǎn)方法進(jìn)行比較，從而為研究氣候因子變化對糧食產(chǎn)量的影響提供新思路。

1 資料與方法

1.1 資料來源及處理

對中國糧食產(chǎn)量問題的研究可以從糧食總產(chǎn)和單產(chǎn)兩方面入手，兩者的區(qū)別在于是否考慮糧食作物實際占用的耕地面積。中國糧食總產(chǎn)量的持續(xù)增長很大程度上由糧食單產(chǎn)的大幅提高所致，而非糧食作物實際占用的耕地面積的增加[13]?；谏鲜隹紤]，本文選取世界銀行數(shù)據(jù)網(wǎng)站（http：//data.worldbank.org.cn/）公布的1961-2013年中國糧食單產(chǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。氣候因子選取 1961-2013年平均溫度、降水量及日照時數(shù)。

研究選用樣條函數(shù)變換的 PLSR和內(nèi)部神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)映射的PLSR方法，以1961-2008年氣候產(chǎn)量作為模擬訓(xùn)練數(shù)據(jù)建模，用 2009-2013年氣候產(chǎn)量進(jìn)行模型檢驗。

1.2 三次B樣條理論

樣條函數(shù)由Schoenberg于1946年首次提出，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域?？紤]到B樣條在局部敏感的特性，實際應(yīng)用中經(jīng)常采用B樣條基函數(shù)即關(guān)于y軸對稱的且在（-2，2）內(nèi)取值非零的函數(shù)。本文采用的三次B樣條可表示為

式中，下標(biāo)+代表正整數(shù)。

1.3 廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論

GRNN具有很強(qiáng)的非線性映射能力，在逼近能力和學(xué)習(xí)速度上具有較強(qiáng)的優(yōu)勢，適用于解決非線性問題[14]。GRNN的理論基礎(chǔ)是非線性回歸，設(shè)隨機(jī)變量x和y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f（x，y），已知x的觀測值為X，則y相對于X的回歸，即條件均值為

對于未知的概率密度函數(shù) f（x，y），可以由 x和y的樣本觀測值估計得到，其非參數(shù)估計為

式中，Xi、Yi為隨機(jī)變量x和y的樣本觀測值；σ為平滑參數(shù)（即核寬度）；n為樣本數(shù)目；m為隨機(jī)變量x的維數(shù)。

1.4 C-D生產(chǎn)函數(shù)

C-D生產(chǎn)函數(shù)主要用于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)過程中要素投入對產(chǎn)出貢獻(xiàn)大小的經(jīng)濟(jì)分析中。目前常用的 C-D生產(chǎn)函數(shù)模型一般表達(dá)式為

式中，Y為產(chǎn)出量，x1、x2、x3分別為土地、勞動力和資金投入量，b1、b2、b3分別是土地、勞動力和資金的生產(chǎn)彈性值，表示一定的土地、勞動力和資金投入的變化率所引起的產(chǎn)出量的變化率。a是轉(zhuǎn)換系數(shù)，它表示除x1、x2、x3之外的其它生產(chǎn)要素對產(chǎn)出量的影響。目前C-D生產(chǎn)函數(shù)在應(yīng)用中一般會線性化，對上式兩邊取對數(shù)得到，即

2 結(jié)果與分析

2.1 基于HP濾波的氣候產(chǎn)量分離

本文直接使用文獻(xiàn)[12]中的HP濾波進(jìn)行趨勢產(chǎn)量和氣候產(chǎn)量的分離，得到圖 1所示的氣候產(chǎn)量分離結(jié)果，由圖可見，氣候產(chǎn)量曲線呈明顯的波動態(tài)勢，說明氣候變化對糧食產(chǎn)量的影響時正時負(fù)，而曲線波動的范圍反映了氣候變化對糧食產(chǎn)量貢獻(xiàn)率的大小。

圖1 糧食產(chǎn)量實際值與HP濾波法趨勢產(chǎn)量、氣候產(chǎn)量分離值的變化過程（1961-2014）Fig.1 The actual yield and trend yield separated and climatic yield by HP filter in 1961-2014

2.2 構(gòu)建基于三次B樣條變換的非線性PLSR模型

2.2.1 氣候因子間的多重共線性檢驗

根據(jù)經(jīng)驗法則，若模型中兩個自變量的相關(guān)系數(shù)的絕對值超過 0.7，則可以判定多重共線性會成為模型的潛在問題[15]。因此，為確保模型的精確度，須對氣候因子之間的多重共線性進(jìn)行檢驗。采用SPSS對氣候因子進(jìn)行多重共線性診斷，診斷結(jié)果如表1。

表1 氣候因子間的多重共線性診斷表Table 1 The multi-collinearity diagnostics table among climatic factors

由表1可知，通過0.01的顯著性檢驗且具有較大相關(guān)性的變量有溫度和日照時數(shù)，其 Pearson相關(guān)系數(shù)高達(dá)0.8692，遠(yuǎn)超于0.7，因此，本文認(rèn)為溫度和日照時數(shù)的多重共線性會影響普通回歸模型的精度。

2.2.2 基于三次B樣條變換的非線性PLSR模型

對原自變量進(jìn)行非線性變換處理，也即將自變量系統(tǒng)的每一維xj進(jìn)行三次B樣條轉(zhuǎn)換具體計算分4個步驟。

式中，三次B樣條基函數(shù)

則

從而得到新的數(shù)據(jù)滿足的線性關(guān)系為

（4）對式（12）進(jìn)行偏最小二乘回歸建模[10]，求出具體的回歸系數(shù)。再將標(biāo)準(zhǔn)化處理的算式及回歸系數(shù)和樣條函數(shù)變換式代入，最終得到y(tǒng)關(guān)于X的非線性回歸模型為

本文以氣候產(chǎn)量為因變量（y），氣候因子溫度（x1）、降水量（x2）和日照時數(shù)（x3）為自變量，選取1961-2008年產(chǎn)量為訓(xùn)練用數(shù)據(jù)。根據(jù)上述建模步驟（7）-（13），將數(shù)據(jù)經(jīng)過相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化處理后，運(yùn)用matlab軟件編程。求得最佳為7，成分?jǐn)?shù)為17，而和的值由于數(shù)據(jù)較大，因此本文在此省略，故求得最終回歸系數(shù)值為

得到最終模型為

通過上述模型擬合的 1961-2005年的氣候產(chǎn)量數(shù)據(jù)與實際HP分離出的氣候產(chǎn)量數(shù)據(jù)對比見圖2。由圖2可見，整體上基于三次B樣條變換的非線性PLSR模型在氣候產(chǎn)量上的擬合較好，但在 1977、1980和1981年存在較大差異。

2.3 構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部嵌入的非線性PLSR模型

通過在傳統(tǒng)的偏最小二乘方法框架內(nèi)部嵌入GRNN模型，對成分進(jìn)行非線性映射。這種思路將PLSR方法與GRNN模型相結(jié)合，利用PLSR外部投影作用來去除共線性，GRNN模型在內(nèi)部獲得投影空間中的非線性映射關(guān)系，基本原理如圖3。

結(jié)合圖3，GRNN-PLSR模型是先令主成分?jǐn)?shù)初值h=1，利用PLSR求出外部關(guān)系。再利用GRNN模型建立內(nèi)部關(guān)系函數(shù)fh（·），求解內(nèi)部關(guān)系uh= f（th）。主要利用四層的 GRNN網(wǎng)絡(luò)求解輸入輸出的映射關(guān)系。先將樣本分成訓(xùn)練樣本和測試樣本，再對測試樣本求取和即

圖2 Spline-PLSR氣候產(chǎn)量預(yù)測值與實際值的比較（1961-2005）Fig.2 The actual climatic yield separated by HP filter and the climatic yield predicted by Spline-PLSR in 1961-2005

然后，計算自變量和因變量的載荷向量。

最終通過交叉驗證決定主成分的個數(shù)：即若上述建立的GRNN輸入輸出模型不滿足所需要的精度時，令h h1= +，再重新計算。否則結(jié)束。

選取 1961-2008年為訓(xùn)練用數(shù)據(jù)，根據(jù)上述步驟，利用matlab軟件進(jìn)行編程，求得最終提取的成分?jǐn)?shù)為h=3，運(yùn)用GRNN建立內(nèi)部非線性關(guān)系時，求得最佳spread值為0.1。最終得到GRNN-PLSR模擬得出的1961-2008年的氣候產(chǎn)量數(shù)據(jù)與實際HP分離出的氣候產(chǎn)量數(shù)據(jù)對比見圖4，由圖4可見，整體上基于GRNN模型內(nèi)嵌的非線性PLSR模型在氣候產(chǎn)量的預(yù)測中波動較大，在 1977、1986以及 2004年存在較大的誤差。

圖3 GRNN-PLSR運(yùn)行基本原理圖Fig.3 The operating mechanism figure of GRNN

圖 4 GRNN-PLSR氣候產(chǎn)量預(yù)測值與實際值的比較（1961-2008）Fig.4 The actual climatic yield separated by HP filter and the climatic yield predicted by GRNN-PLSR in 1961-2008

2.3 Spline-PLSR模型、GRNN-PLSR模型與C-D生產(chǎn)函數(shù)精度比較

2.3.1 C-D生產(chǎn)函數(shù)

文獻(xiàn)[16]運(yùn)用C-D生產(chǎn)函數(shù)對氣候因子與糧食產(chǎn)量的關(guān)系進(jìn)行了研究，認(rèn)為影響中國糧食產(chǎn)量的三大要素為技術(shù)進(jìn)步、土地利用和水資源。本文在考慮數(shù)據(jù)可獲得性的基礎(chǔ)上，以這三大要素為基礎(chǔ)，擬定生產(chǎn)函數(shù)所需的兩大指標(biāo)為氣候指標(biāo)和物質(zhì)投入指標(biāo)。其中物質(zhì)投入指標(biāo)分別有播種面積比重、農(nóng)業(yè)機(jī)械化、化肥施用量、有效灌溉面積比重及勞動力共5項，氣候指標(biāo)為氣溫、降水量和日照時數(shù)。具體指標(biāo)體系見表2。

表2 C-D生產(chǎn)函數(shù)所需指標(biāo)體系Table 2 The index table in C-D production functions

將1978-2008年所有指標(biāo)取對數(shù)后建模得到

式中，Y為歷年糧食實際產(chǎn)量（kg·hm-2），為待估系數(shù)，T表示技術(shù)進(jìn)步（1978-2008年共31個技術(shù)進(jìn)步值），X表示物質(zhì)投入因素，C表示氣候因素，下標(biāo)t表示年份，ε表示隨機(jī)誤差。由于自變量間存在多重共線性，因此，在C-D生產(chǎn)函數(shù)擬合過程中采用嶺回歸估計方法。使用SAS編程得到，嶺參數(shù)k為0.1，其系數(shù)分別為

用式（19）對實際糧食單產(chǎn)進(jìn)行建模后，再利用分離出的趨勢產(chǎn)量，計算C-D生產(chǎn)函數(shù)模擬出的氣候產(chǎn)量。

表3 三種模型對2009-2013年氣候產(chǎn)量預(yù)測值和相對誤差的對比Table 3 Compare of the predicted climatic yield and its relative error by three methods in 2009-2013

2.3.2 預(yù)測精度比較

為考察所構(gòu)建非線性PLSR模型的精確度，分別采用PLSR法、GRNN-PLSR法以及C-D生產(chǎn)函數(shù)法對2009-2013年的氣候產(chǎn)量數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并與HP濾波分離出的氣候產(chǎn)量數(shù)值進(jìn)行對比計算相對誤差，結(jié)果見表3。由表3可見，采用C-D生產(chǎn)函數(shù)模型預(yù)測時，結(jié)果參差不齊，相對誤差較大，誤差絕對值在2013年達(dá)到75.85%，這是由于C-D生產(chǎn)函數(shù)是線性回歸，其呈現(xiàn)不斷變大的過程，不能體現(xiàn)自變量與因變量間的非線性。而采用本文建立的Spline-PLSR以及 GRNN-PLSR法擬合的模型在預(yù)測中誤差相對小得多。但GRNN-PLSR法的相對誤差較樣條變換的非線性PLSR相對誤差大，這是因為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在擬合中較好，但在預(yù)測時存在過擬合的問題，因此導(dǎo)致預(yù)測時誤差相對Spline-PLSR方法較大。

3 結(jié)論與討論

3.1 討論

以往研究長時間序列的氣候因子變化與糧食產(chǎn)量關(guān)系，多采用逐步回歸分析、C-D生產(chǎn)函數(shù)法以及EOF法，其中以C-D生產(chǎn)函數(shù)法應(yīng)用較為廣泛。但上述方法存在一定的不足。劉春瓊等[16]采用去趨勢互相關(guān)分析（DCCA）對四川省1961-2012年氣溫、降水距平值與糧食產(chǎn)量的相關(guān)性及其隨時間序列的變化進(jìn)行分析，但其只能分析出兩者之間存在正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，對兩者具體的定量關(guān)系不能給出計算，且不能對未來氣候變化對糧食產(chǎn)量的影響進(jìn)行預(yù)測。目前還未見將非線性的PLSR模型運(yùn)用其中的報道，本文就此進(jìn)行了一個新的嘗試。由于氣候因子間存在多重共線性且其與糧食產(chǎn)量是非線性關(guān)系，因此考慮引入非線性PLSR模型進(jìn)行建模。又考慮到非線性PLSR模型存在兩種構(gòu)建途徑，一是將自變量因子通過函數(shù)變換成擬線性從而構(gòu)造非線性PLSR模型；二是對普通PLSR模型的內(nèi)部線性關(guān)系進(jìn)行非線性模型替換從而達(dá)到非線性效果。因此，本文選用基于三次B樣條變換的非線性偏最小二乘以及內(nèi)部嵌入GRNN模型的非線性偏最小二乘模型進(jìn)行建模。有關(guān)非線性偏最小二乘方法的分析結(jié)果表明，氣候變化對糧食產(chǎn)量正影響最大值出現(xiàn)在1985年，負(fù)影響最大值出現(xiàn)在1977年，且本文的研究成果能夠用于在未來A2、B2情境下對糧食產(chǎn)量進(jìn)行預(yù)測。但本文僅用了常用的將線性PLSR模型轉(zhuǎn)換為非線性PLSR的兩種方法，在未來研究中可以深入研究其余內(nèi)嵌非線性模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換的方法，從而達(dá)到更好的預(yù)測效果。

3.2 結(jié)論

（1）兩種非線性PLSR模型與常用的C-D生產(chǎn)函數(shù)法的擬合結(jié)果的比較表明，非線性PLSR模型的總體擬合效果及預(yù)測精度均高于C-D生產(chǎn)函數(shù)法，這是由于C-D生產(chǎn)函數(shù)考慮要素過多，容易造成模糊重點(diǎn)等可能性發(fā)生；而非線性PLSR模型所需分析的要素較少，計算更為方便快速，因此，最終模型預(yù)測精度較高。

（2）GRNN-PLSR法和三次B樣條變換的非線性PLSR法所建模型的擬合結(jié)果的比較表明，前者相對誤差較后者要大，這是由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在擬合中較好，但在預(yù)測時存在過擬合的問題，因此，導(dǎo)致預(yù)測時誤差相對Spline-PLSR方法較大。

可見，基于三次B樣條變換的非線性偏最小二乘模型以及嵌入GRNN構(gòu)造的非線性偏最小二乘模型，均能用于氣候變化與糧食產(chǎn)量間的關(guān)系分析建模中。實證結(jié)果表明，應(yīng)用基于三次B樣條變換的非線性偏最小二乘法在擬合氣候因子對糧食產(chǎn)量影響變化時簡單方便，預(yù)測精度更高，可以滿足實際應(yīng)用需求。同常用的 C-D生產(chǎn)函數(shù)模型相比，Spline-PLSR更為有效分析要素間的非線性關(guān)系，具有較高精度；與通過嵌入GRNN構(gòu)造的非線性PLSR相比，Spline-PLSR模型具有更高的穩(wěn)定性，不存在過擬合以及隨機(jī)性的狀況。

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Effects of Climate Change on the Grain Yield Based on Nonlinear PLSR Model

CHEN Ji-bo1，HU Hui1，CHEN Ke-yao2，WANG Gui-zhi1
（1.School of Mathematics and Statistics, Nanjing University of Information Science and Technology，Nanjing 210044, China; 2.National Climate Center, China Meteorological Administration, Beijing 100081）

Considering the multicollinearity of climatic factors，as well as the complex nonlinear relationship between climatic factors and the grain yield, authors attempt to model the climatic factors and climate yield data from 1961 and 2008 in this paper with respect to the cubic B splines function（Spline-PLSR）and internal embedded Generalized regression neural network（GRNN）into the partial least squares regression，on the basis of separating the climatic yield by HP filter.Through the fitting test based on the data from 2009 to 2013 and the comparison between the C-D production function and the proposed model，authors determine that the Spline-PLSR model is relatively simple with higher prediction accuracy.Compared with the C-D production function，the Spline-PLSR model requires fewer elements and possesses a better forecasting value.It is worth noting that the fitting result of Spline-PLSR is more stable than that of GRNN-PLSR.Hence，it is a better choice to utilize Spline-PLSR to fit the influence of climatic factors on the grain yield.

Climatic yield; Partial least squares regression; Cubic B-spline; Generalized regression neural network.

2016-03-20**

國家社會科學(xué)基金(15BTJ019)

陳紀(jì)波（1961-），副教授，研究方向為應(yīng)用統(tǒng)計。E-mail：chenjibo@nuist.edu.cn

10.3969/j.issn.1000-6362.2016.06.007

陳紀(jì)波,胡慧,陳克垚,等.基于非線性PLSR模型的氣候變化對糧食產(chǎn)量的影響分析[J].中國農(nóng)業(yè)氣象,2016,37(6):674-681