基于Matlab/Simulink的三彈簧諧振子微振動(dòng)的仿真實(shí)驗(yàn)

張 林

(南京林業(yè)大學(xué)，江蘇 南京 210037)

基于Matlab/Simulink的三彈簧諧振子微振動(dòng)的仿真實(shí)驗(yàn)

張 林

(南京林業(yè)大學(xué)，江蘇 南京 210037)

建立了三彈簧振子耦合系統(tǒng)微振動(dòng)的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，利用Matlab/Simulink仿真軟件對(duì)該實(shí)驗(yàn)進(jìn)行仿真建模，討論系統(tǒng)在不同實(shí)驗(yàn)參數(shù)下從周期振動(dòng)到混沌的各種動(dòng)力學(xué)狀態(tài)。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，參數(shù)的選取對(duì)系統(tǒng)微振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)行為有著很大的影響。

諧振子；微振動(dòng)；Simulink仿真

在物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，一維彈簧諧振子的微振動(dòng)是學(xué)生認(rèn)識(shí)客觀世界復(fù)雜振動(dòng)的起點(diǎn)和基礎(chǔ)。在無外力作用時(shí)，單個(gè)彈簧振子在平衡位置附近做簡單的周期性無阻尼振動(dòng)，而對(duì)于多個(gè)彈簧振子組成的耦合系統(tǒng)，其微振動(dòng)在不同參數(shù)下可表現(xiàn)為周期振動(dòng)、準(zhǔn)周期振動(dòng)以及無規(guī)則振動(dòng)(混沌)，因此多個(gè)彈簧振子耦合系統(tǒng)的微振動(dòng)引起了人們廣泛的研究興趣。文獻(xiàn)[1]首先使用了Matlab軟件對(duì)三自由度的微振動(dòng)進(jìn)行了計(jì)算和討論，并模擬了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)過程。隨后文獻(xiàn)[2-6] 分別使用數(shù)值計(jì)算和虛擬仿真等方法對(duì)多個(gè)彈簧振子耦合系統(tǒng)的復(fù)雜振動(dòng)進(jìn)行了較深入的研究。

為了讓學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)到多彈簧耦合振動(dòng)的復(fù)雜性和可調(diào)制性，本文建立了一個(gè)三彈簧振子耦合系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ停⒗肕atlab/Simulink仿真軟件討論了不同實(shí)驗(yàn)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)微振動(dòng)狀態(tài)的影響。

1 一維彈簧振子系統(tǒng)微振動(dòng)實(shí)驗(yàn)的simulink建模

建立如圖1所示的一維三彈簧振子的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)：三個(gè)彈簧振子的質(zhì)量均為m，彈簧的勁度系數(shù)分別為k1、k2和k3，三個(gè)諧振子在微振動(dòng)過程中相對(duì)自身的平衡位置的位移分別為x1、x2和x3，取x1，x2和x3為廣義坐標(biāo)，則系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可表示為：

圖1 一維三彈簧諧振子系統(tǒng)微振動(dòng)實(shí)驗(yàn)的示意圖

(1)

t=0時(shí)刻，系統(tǒng)的初位置和初速度分別定義為：

(2)

要得到系統(tǒng)在不同實(shí)驗(yàn)條件下的動(dòng)力學(xué)方程，就必須求解上述的二階常系數(shù)微分方程組，我們是通過建立Matlab/Simulink仿真模型來求解系統(tǒng)的微振動(dòng)狀態(tài)。

為了簡化模型、減少參數(shù)，我們將方程組(1)式改寫為：

(3)

圖2 一維彈簧三振子系統(tǒng)的SIMULINK仿真框圖

最后，在利用積分模塊Integator得到速度方程v和振動(dòng)方程x的同時(shí)，必須對(duì)三個(gè)彈簧振子的初始速度v0和初始位置x0進(jìn)行預(yù)先設(shè)置，具體可以雙擊積分模塊，就可以得到如圖3所示的對(duì)話框：只要設(shè)置其中初始條件Initial condition，就可以設(shè)置三個(gè)彈簧振子的初始速度和初始位置。

圖3 三個(gè)彈簧振子初始條件的設(shè)置

2 結(jié) 論

本文模擬了三個(gè)相同質(zhì)量的彈簧振子的微振動(dòng)實(shí)驗(yàn)，并設(shè)定其質(zhì)量m=1 g；假定t=0 s，三個(gè)彈簧振子都處于靜止?fàn)顟B(tài)，即v10=v20=v30=0 cm/s；第一個(gè)和第二個(gè)彈簧振子處于各自的平衡位置，即x10=x20=0 cm，假定第三根彈簧被拉伸的長度為1 cm。只要運(yùn)行仿真軟件，打開虛擬示波器Scope，就可以得到在不同的勁度系數(shù)k下，三個(gè)彈簧振子的振動(dòng)狀態(tài)。

圖4 k1=k2=100dyn/cm?k3=1dyn/cm時(shí)，三個(gè)彈簧振子的振動(dòng)曲線

圖5 k1=100dyn/cm?k2=k3=1dyn/cm時(shí)，三個(gè)彈簧振子的振動(dòng)曲線

圖5是k1=100dyn/cm?k2=k3=1dyn/cm的情況下，三個(gè)彈簧振子的振動(dòng)曲線。從圖中的振動(dòng)強(qiáng)度可以看出：第一個(gè)振子做小振幅振動(dòng)，而第二個(gè)和第三個(gè)振子做大振幅振動(dòng)．三個(gè)振子都近似做準(zhǔn)周期振動(dòng)，并且振動(dòng)周期近似是相等的。另外，從圖中可以看出第一個(gè)振動(dòng)和第二振動(dòng)具有相同的相位，是“同步振動(dòng)”；而它們與第三個(gè)振動(dòng)“反相”；這時(shí)可以近似看成第一個(gè)振子不振動(dòng)，第二個(gè)和第三個(gè)振子都做自由振動(dòng)，系統(tǒng)的自由度為2。

圖6是k1=k2=k3=1dyn/cm時(shí)，三個(gè)彈簧振子的振動(dòng)曲線。從圖中的振動(dòng)強(qiáng)度可以看出：三個(gè)振子都做大振幅振動(dòng)．三個(gè)振子的振動(dòng)表現(xiàn)出為更大的無序性，這種無序性可以從三個(gè)振動(dòng)的相位可以看出: 除了初始時(shí)刻，從圖中已不能看出三個(gè)彈簧振子的振動(dòng)步調(diào)。這時(shí)三個(gè)振子都做自由振動(dòng)，系統(tǒng)的自由度為3[7-8]。

圖6 k1=k2=k3=1dyn/cm時(shí)，三個(gè)彈簧振子的振動(dòng)曲線

[1] 彭芳麟，胡靜，管靜，盧圣治． 用Matlab解決線性三自由度系統(tǒng)微振動(dòng)問題[J]．大學(xué)物理，2001，20(11)：31-34.

[2] 林繼成，何龍慶，石冰． 多自由度系統(tǒng)的微振動(dòng)的SIMULINK仿真建模[J]． 安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，11(4)：18-20.

[3] 陳剛，阮中中．對(duì)稱多振子系統(tǒng)的振動(dòng)解耦分析及簡正振動(dòng)頻率[J]．物理與工程，2008,18(6)：2-3.

[4] 楊正波，夏清華，劉思平． 多彈簧振子耦合系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)研究[J]． 大學(xué)物理，2010,29(4)：29-32.

[5] 劉建國，張玉芳．對(duì)稱性耦合雙振子的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)[J]．河北大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，32(2)：144-147.

[6] 高明杰，高志勇，張雅芳．轉(zhuǎn)動(dòng)非慣性系中雙自由度彈簧系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律探討[J]．大學(xué)物理，2013，32(3)：37-38.

[7] 徐春芳.基于MaTLaB的多光學(xué)現(xiàn)象仿真可視化設(shè)計(jì)[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2016(4)：33-37.

[8] 鄭君剛.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中Matlab應(yīng)用[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2015(12)：77-79.

The Simulation Experiment for Three Spring Oscillators’ Micro-vibrations by Using Matlab/Simulink Software

ZHANG Lin

(Nanjing Forestry University,Jiangsu Nanjing 210037)

An experimental model of three spring oscillators’ micro-vibrations is constructed by using Matlab/Simulink software.The different vibrations of the system are also discussed in different experimental parameters from the periodic motion to the chaos.Simulation results show that the selected parameters have great influences on the micro-vibration behaviors of the system.

spring oscillator；micro-vibration；Simulink simulation

2016-07-14

江蘇省現(xiàn)代教育技術(shù)研究課題(2013-R-25643)

1007-2934(2016)06-0103-05

O 4-39

A

10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.006.028