李靜文,凌燈榮

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,安徽 蕪湖 241003)

關(guān)于4階極小漸近基的一個結(jié)果

李靜文,凌燈榮

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,安徽 蕪湖 241003)

設(shè)h≥2,若h階漸近基A的任一真子集均不是h階漸近基，則稱集合A是自然數(shù)集N的h階極小漸近基.為進(jìn)一步刻畫漸近基與極小漸近基之間的關(guān)系,本文綜合運(yùn)用自然數(shù)的b進(jìn)制表示理論及分類討論的方法,證明了存在一個集合是4階漸近基且其任何子集均不是4階極小漸近基.

極小漸近基;5進(jìn)制表示

1 引言

令集合N是全體非負(fù)整數(shù)所組成的集合,A?N.對任意整數(shù)h≥2,令

若對任意充分大的整數(shù)n均有n∈hA,則稱集合A為h階漸近基.若集合A的任意子集均不是h階漸近基，則稱集合A是h階極小漸近基.對于任意元素a∈A,記Ea=hAh(A{a}),則集合A是h階極小漸近基等價于Ea是無限集.設(shè)S?N,若對稱差(S2A)∪(2AS)是有限集,則稱這兩個集合是漸近等價的.若對稱差(S2A)∪(2AS)是無限集,則稱這兩個集合是漸近不等價的.1955年,文獻(xiàn)[1]引入了極小漸近基的概念.1956年,文獻(xiàn)[2]給出了極小基存在的非構(gòu)造性證明.

1974年,文獻(xiàn)[3]構(gòu)造了首個極小漸近基且構(gòu)造了一個2階漸近基滿足任意子集均不是2階極小漸近基.

定理1.1[3]設(shè)

則B是2階漸近基且B不包含任何2階極小漸近基.

1978年,文獻(xiàn)[4]構(gòu)造了一類有無限多漸近基,但沒有極小漸近基的集合.

定理1.2[4]設(shè)p1=2＜p2＜p3＜···是素數(shù)序列,m2＜m3＜···是遞增的正整數(shù)序列且滿足對于k≥2有mk+1＞2mk+pkpk+3和pkpk-1|mk.設(shè)

記

其中c0＜c1＜c2＜···,則C是N的漸近基且滿足

和對于任意有限集F，CF是N的漸近基.

定理1.3[4]存在一類集合S,具有無窮多漸進(jìn)不等價的漸近基且沒有極小漸近基.

最近凌燈榮和湯敏已構(gòu)造一個3階漸近基B滿足任意子集均不是3階極小漸近基.本文主要構(gòu)造了一個4階漸近基B滿足任意子集均不是4階極小漸近基.關(guān)于極小漸近基的見相關(guān)文獻(xiàn)[5-7].

2 主要結(jié)果和證明

定理2.1設(shè)

則B是滿足任意子集均不是4階極小漸近基的4階漸近基.

引理2.1若

其中S是N的有限子集且card(S)＞1,則b是必需的.

引理2.2若s＞0,則5s∈4B的惟一解是5s=5s-1+5s-1+5s-1+2·5s-1.

引理2.3B的任意無限子集是必需的.

引理 2.4B中元素1和B的子集 {5s,2·5s-1},{5s,2·5s},{5s,5s-1}都是必需的,其中s＞0.

引理2.5設(shè)U和V是N的有限子集,其中

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A note minimal asymptotic basis of order 4

Li Jingwen,Ling Dengrong
(School of Mathematics and Computer Science,Anhui Normal University,Wuhu 241003,China)

Let h≥2,an asymptotic basis A of order h is minimal if no proper subset of A is an asymptotic basis of order h.In order to further describe the relationship between asymptotic basis and minimal asymptotic basis,this paper coordinates the theory of the b-adic representation of positive integers and the classification method.We prove that an asypmtotic basis of order 4 containing no subset which is a minimal asymptotic basis of order 4.

minimal asymptotic basis,5-adic representation

O156

A

1008-5513(2016)06-0606-12

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.06.006

2016-06-18.

國家自然科學(xué)基金(11471017).

李靜文(1992-),碩士生,研究方向：計算數(shù)論.

2010 MSC:11B13