不可約非負矩陣研究

王新奇

(西安文理學院 學報編輯部，西安 710065)

不可約非負矩陣研究

王新奇

(西安文理學院 學報編輯部，西安 710065)

介紹非負矩陣與不可約非負矩陣的概念，探討不可約非負矩陣的結構，并得到了一些很有用的結果，這些結果是一般矩陣所不具備的.

正矩陣；非負矩陣；不可約非負矩陣

非負矩陣是在計算機科學、經濟數學、概率論以及系統(tǒng)穩(wěn)定性分析等領域經常會遇到的一類特殊矩陣，這些矩陣的元素都是非負的.關于不可約非負矩陣的結構也有一些很有用的結果，這是一般矩陣所不具備的.

1 正矩陣與非負矩陣

定義1 設A=(aij),B=(bij)∈Rm×n，如果對所有的i,j都有aij≥bij,則記為A≥B.如果對所有的i,j都有aij>bij,則記為A>B.特別的，如果A≥0,則稱A為非負矩陣.如果A>0,則稱A為正矩陣.

定理1(正矩陣的Perron定理) 設A∈Rn×n為正矩陣，并且ρ(A)為其譜半徑，則

(1) ρ(A)為A的正特征值，它對應著一個正的特征向量；

(3) ρ(A)為A的單特征值.

注 正矩陣只是不可約非負矩陣的一種特殊情形，正矩陣的Perron定理不能全部照搬到非負矩陣上.

2 不可約非負矩陣

對于任意非負矩陣，有以下引理.

引理1[1]設A是n階非負矩陣，則譜半徑ρ(A)是A的特征值，并且存在非負向量x≥0,x≠0使得Ax=ρ(A)x.

證明 設?t>0,可以令At=(aij+t)>0,用x(t)代表At的Perron向量，滿足

由子列極限定理可知t→0時{x(t)}一定有收斂子列，即可得出結論.

一個方陣P，如果它的每一行和每一列都只有一個元素為1，其余的元素都為零，則矩陣P稱為一個置換矩陣.顯然P可通過交換單位矩陣I的行或列而得到，這種矩陣是正交陣(P-1=PT).交換矩陣的兩行(或兩列)，可用左乘(或右乘)一個適當的置換矩陣P來實現(xiàn).

定義2[2]n階矩陣A稱為可約的，如果滿足下列條件之一：

(1)n=1并且A=0；

(2)n≥2,存在n階置換矩陣P，使得

其中，B是k階矩陣，1≤k≤n-1,左下角是(n-k)×k的零陣.否則就稱A為不可約的.

推論1 (1)正矩陣是不可約的；(2)不可約矩陣都是非零矩陣；(3)A為不可約，當且僅當AT為不可約.

注 只要通過一系列交換矩陣的行與列，可在指定的左下角位置得到一個(n-k)×k的零子塊，則A為可約的.由定義2可知，如果A為可約，則其至少有(n-1)個0元.

定義3 一個n階矩陣A，如果可以將下標集{1,2,…,n)}劃分為非空不交集合I1和I2，使得當i∈I1,j∈I2時，aij=0，則稱其為可約的.否則，A稱為不可約的.

3 主要結果

利用定義判別矩陣是否可約是困難的，下面給出一個非負矩陣是否可約的判定條件.

引理2[3]n階非負矩陣A為不可約的充要條件是(I+A)n-1>0.由此可知，A為不可約的，當且僅當AT為不可約.

證明 充分性.當(I+A)n-1>0.時，如果A為可約矩陣，則存在置換矩陣P，使得

有

于是P(I+A)n-1PT有零元，從而(I+A)n-1有零元，與條件相矛盾.

必要性.由于A是不可約矩陣，只需證明對任意非零向量x≥0,x≠0都有(I+A)n-1x>0即可.先證明在條件x≥0,x≠0下，x中零元個數一定大于y=(I+A)x中零元個數.假若相反，因為y-x=Ax≥0,y≥x,所以如果y的第i個坐標為0，則x的第i個坐標也為0，這樣y的0元個數不會多于x的0元個數，即x與y有相同的0元個數.

所以不失一般性(利用行置換)，有

這里的向量u,v有相同的維數.再令

則y=(I+A)x變?yōu)?/p>

由此可得A21u=0,又因為u>0,故有A21=0,這與A不可約是相矛盾的.因而x與y不可能有相同的0元個數.從而也就證明了x的0元個數多于y的0元個數，即(I+A)x的正坐標個數多于x的正坐標個數.

上述結果表明：x每用I+A左乘一次，其正坐標的個數都會增加，因此(I+A)2x的正坐標個數多于(I+A)x的正坐標個數.由此可知(I+A)2x至少比x多兩個正坐標，(I+A)n-1x至少比x多n-1個正坐標，但x≠0,x至少有一個正坐標，所以(I+A)n-1x至少有n個正坐標，即(I+A)n-1x>0.

證明 充分性可由反證法與可約定義得到.下面證明必要性.

設A是不可約矩陣，可知(I+A)n-1>0.

設B=(I+A)n-1A,則B>0,有

B=An+an-1An-1+…+a1A

其中ai>0(i=1,2,…,n-1),所以對任意的i,j∈[n]，有

下面引入不可約矩陣的Frobenius定理.

定理2 (Frobenius定理)設A是n階不可約非負矩陣，則

(1)譜半徑ρ(A)>0是A的特征值；

(2) ρ(A)有一個正特征向量x>0;

(3) ρ(A)的代數重數等于1，即ρ(A)是A的單特征值.

因此，不可約非負n階矩陣總有正特征值ρ(A)(是極大模特征值)，它是特征方程的單根.

證明 這里只對(2)與(3)進行證明.

(2)設A≥0,由引理1可知，譜半徑ρ(A)是A的特征值.并且存在非負向量x≥0,x≠0使得Ax=ρ(A)x.

另外，由引理2可知，[1+ρ(A)]n-1x=(I+A)n-1x>0,從而x>0.

(3)如果ρ(A)是A的重特征值，則1+ρ(A)=ρ(I+A)是I+A的重特征值，于是也就有[ρ(I+A)]n-1=ρ[(I+A)n-1]是(I+A)n-1的重特征值，這與(I+A)n-1>0相矛盾.

注 可以證明Frobenius定理有以下推論.

推論3 設不可約矩陣A=An×n≥0,λ1=ρ(A).若A有k個模等于ρ(A)的不同特征值：

{λ1,λ2,…,λk},λ1=ρ(A)

則這些數恰為方程xk=[ρ(A)]k的k個根，并且它們都是A的單特征根.

[1] 許以超.線性代數與矩陣論[M].2版.北京：高等教育出版社，2008.

[2] 王永茂.矩陣分析[M].北京：機械工業(yè)出版社，2005.

[3] 曾祥金，張亮.矩陣分析簡明教程[M].北京：科學出版社，2010.

[責任編輯 馬云彤]

Research on the Irreducible Non-negative Matrix

WANG Xin-qi

(Editorial Department of Journal, Xi’an University, Xi’an 710065, China)

This paper introduces the concept of non-negative matrix and irreducible non-negative matrices, discuss the structure of irreducible non-negative matrices, and obtained some useful results, these results are not available in the general matrix.

positive matrix; non-negative matrix; irreducible non-negative matrix

1008-5564(2016)06-0004-03

2016-06-30

國家自然科學基金項目(11371290)

王新奇(1963—)，男，河南洛陽人，西安文理學院學報編輯部主編、副教授、副編審，碩士，主要從事數值代數研究.

O151.21

A