龔慶武，林燕貞

(武漢大學電氣工程學院，武漢市 430072)

考慮繼電保護故障的輸電線路
風險評估體系

龔慶武，林燕貞

(武漢大學電氣工程學院，武漢市 430072)

輸電線路在電網中承擔著輸送和分配電能的作用，其發(fā)生故障會給電網運行帶來巨大影響，該文提出了一種綜合考慮輸電線路本身以及線路保護的風險評估體系。利用牛頓同倫算法估計威布爾分布參數(shù)，構建繼電保護故障率模型；采用效用函數(shù)從切負荷損失、線路過負荷損失以及電壓越限損失3個指標出發(fā)構建嚴重度模型；利用風險定義計算考慮繼電保護設備故障的輸電線路的風險，掃描電網的薄弱環(huán)節(jié)，為制定差異化運維策略提供理論依據(jù)。最后以WSCC-9電力系統(tǒng)經典算例為例，進行相關計算仿真，驗證了考慮輸電線路保護故障特性的電網綜合風險評估體系的有效性和實用性。

輸電線路；繼電保護設備；牛頓同倫算法；威布爾分布；效用函數(shù)

0 引 言

輸電線路作為發(fā)電廠和變電站之間的聯(lián)絡線，實現(xiàn)電力系統(tǒng)的互聯(lián)以及電能的輸送，是電力系統(tǒng)的重要組成部分，一旦發(fā)生故障，將會帶來不可估量的經濟和社會損失。但是輸電線路的安全可靠運行不僅和輸電線路設備本身相關還和保證輸電線路正常穩(wěn)定運行的保護設備相關。繼電保護是保證輸電線路安全穩(wěn)定運行的有力保障，評估繼電保護的可靠性是保證輸電線路正常運行的必要條件[1]。因此，考慮繼電保護設備故障特性對電網進行綜合風險評估，找出電網運行薄弱環(huán)節(jié)，切斷風險傳遞鏈條，對于實現(xiàn)電網的安全穩(wěn)定經濟運行具有重要意義。

在可靠性工程上，常用的設備故障率分布有伽馬分布、威布爾分布和指數(shù)分布[2]。文獻[3]指出電氣設備一般滿足“浴盆曲線”，包含早期失效期，偶然失效期以及損耗失效期，威布爾分布的形狀參數(shù)可以很好地擬合故障率曲線，因而得到廣泛的應用。

估計威布爾分布參數(shù)時，涉及到非線性方程的求解。目前求解非線性方程一般有Newton迭代法、共軛梯度法等，但是這些方法都有一個致命的缺點，就是局部收斂，要求初值的設定要接近精確值[4]。不動點法、區(qū)間估計法可以解決局部收斂問題，但是不動點法計算過程復雜，工作量大；區(qū)間估計法需要不斷試取合適的區(qū)間，計算過程繁瑣[5]。現(xiàn)有文獻一般采用最小二乘法[6]或者Marquardt法來進行參數(shù)估計[7]，但是最小二乘法計算精度不高，當樣本點比變量個數(shù)明顯偏少時，求解會出現(xiàn)嚴重的舍入誤差；Marquardt方法求解過程繁瑣，計算量大，不適合工程應用[8]。20世紀發(fā)展起來的同倫算法收斂范圍大，對初值的要求不苛刻，求解速度快，簡單易懂，給非線性方程的求解帶來突破性的成就[9]。

本文將建立考慮輸電線路繼電保護故障特性的電網風險評估體系，利用同倫算法求解繼電保護故障率模型；同時引入效用函數(shù)，從切負荷損失、線路過負荷損失以及電壓越限損失3個指標計算繼電保護發(fā)生拒動和誤動的情況下給電網帶來的損失，最后以WSCC-9經典算例為例，進行相關的仿真和計算，求解繼電保護不正確動作帶來的風險，找出電網的薄弱環(huán)節(jié)。

1 同倫算法簡介

由于非線性方程的復雜性，有時很難直接求得方程組的解，這就需要構造一個簡單的迭代方程，從容易求解的方程出發(fā)，通過路徑跟蹤，從而求出復雜方程的精確解，這就是同倫算法的基本思想[9]。

1.1 同倫算法基本原理

考慮n個變量n個非線性方程組的表達式為

(1)

其中，x=(x1，x2，x3，x4，…，xn)∈Rn，fi(x1， x2，x3，x4，…，xn)為定義在區(qū)域D上的實函數(shù)，i=1，2，3，…，n。

引入向量記號：

則式(1)可以轉換為

F(x)=0

(2)

用牛頓迭代法求解式(2)時，要求初值x0和目標解x*很接近，才能保證迭代序列收斂到x*。但是很多非線性方程很難找到與精確值接近的初值，因此引入大范圍收斂的同倫算法[10]。根據(jù)同倫算法的定義，引入?yún)?shù)t構造一組同倫映射H(x,t)，使得

H(x,t)=0

(3)

對于同倫映射H(x,t)，要求：當t=0時，H(x,0)=G(x0)；當t=1時，H(x,1)=F(x)，那么求F(x)=0的解就轉化為求同倫方程在t=1的解，即：

H(x,0)=G(x0)

(4)

H(x,1)=F(x)

(5)

對于t∈[0 1]，方程H(x,t)=0的解x=x(t)在Rn內是一條連續(xù)光滑的曲線，一端為給定初值x0，另一端是H(x,1)=F(x)=0的解，如圖1所示。因此，采用基于預測-校正的算法跟蹤同倫曲線x(t)，使其從一端給定的初值x0開始，計算曲線上的每一個點xi，其中xi+1是xi先通過預測再校正得來的。

圖1 同倫算法示意圖Fig.1 Schematic diagram of homotopy algorithm

本文采用牛頓同倫方程組求解非線性方程的參數(shù)，表達式[11]為

H(x,t)=tF(x)+(1-t)[F(x)-F(x0)]

(6)

由于x0可以在定義域D中任取，突破了牛頓迭代法對初值選擇的限制。

為求解方程(2)的解x，先對同倫方程組H(x，t)=0的參數(shù)t進行求導

(7)

(8)

同樣地，對式(1)的方程組求導有

(9)

根據(jù)式(6)可得：

(10)

(11)

于是式(8)就轉化為

(12)

這樣就把非線性方程的求解巧妙地轉化為微分方程初值問題的求解，即：

(13)

若式(13)存在唯一的解x=x(t)，即為式(2)的解。

1.2 歐拉法預估-四階龍格庫塔法校正

因為故障率的分布模型可以描述為式(13)所示的微分方程初值求解問題，因此，本文采用歐拉法預估-龍格庫塔法校正[11]計算微分方程的解。

(14)

(15)

由于四階龍格庫塔法的局部截斷誤差為o(h5)[11]，而且計算速度快，因此本文采用四階龍格庫塔法做數(shù)值校正。

令：

(16)

則四階龍格-庫塔的表達式為

(17)

其中：

(18)

經過數(shù)次迭代之后求解得到的xn+1不一定是精確解x*，但是按照微分方程數(shù)值求解的收斂準則，如果|xn+1-xn|<ε(ε為設置的精度)，那么則認為找到精確解，否則就繼續(xù)以上兩步不斷進行預估-校正的過程。

綜上所述，非線性方程求解的步驟為：

(1)構造同倫映射H(x,t)，把F(x)嵌入到H(x,t)；

(2)設定迭代起點(t0,x0)，其中t0=0；

(3)采用歐拉法預估-四階龍格庫塔法校正，對解曲線x(t)做數(shù)值跟蹤；

(4)根據(jù)式(15)預測xn的估計值，再采用式(17)對估計值做校正得到修正值；

(5)判斷|xn+1-xn|<ε是否成立，若是，則認為xn+1為式(2)的解x*，否則重復以上步驟繼續(xù)迭代，其中取步長h=1/N，N=1 000，精確度ε取1×10-4。

2 故障率模型的求解

2.1 參數(shù)估計

由于繼電保護設備在出廠或現(xiàn)場運行前會進行投運前測試，因此本文假設運行的繼電保護設備已經過了早期失效期[12]，因此故障率擬合僅選取偶然失效期和損耗期。

一般的威布爾分布包括3個參數(shù)β,η,γ[13]，其中β為形狀參數(shù)，表征分布曲線的形狀；η為尺度參數(shù)，表征曲線的坐標尺度；γ為位置參數(shù)，表征曲線的起始位置，一般情況下取為0[1,14]。基于兩參數(shù)威布爾分布的設備故障率的表達式為

(19)

分析式(19)可知，求解威布爾分布模型的關鍵在于β和η。本文采用極大似然函數(shù)估計威布爾分布參數(shù)[15]。對于可維修的繼電保護設備，似然函數(shù)為

(20)

式中n為樣本容量。

對應的對數(shù)似然函數(shù)為

(21)

分別對β，η求偏導：

(22)

(23)

那么極大似然函數(shù)方程組為：

(24)

(25)

式(24)和(25)為非線性方程，采用牛頓同倫算法求解。

根據(jù)第1節(jié)的同倫算法理論知識，對式(25)的β和η做第二次求導運算，可得：

(26)

(27)

(28)

(29)

即雅克比矩陣為

(30)

根據(jù)同倫算法，迭代公式為

(31)

當k=0時，β0，η0為初值，即只需已知初值再根據(jù)式(31)即可估計參數(shù)β和η，從而得出威布爾分布的表達式。

2.2 故障率模型的建立

(1)初值的求解。選取2個歷史數(shù)據(jù)(td，λd)和(tg，λg)，構建方程組如式(32)所示，求解β0和η0。

(32)

(2)偶然失效期和損耗期分界點確立。假設總的故障數(shù)據(jù)有N個，根據(jù)故障率的散點圖，選取合適的點數(shù)M，利用式(31)求解點數(shù)為M的參數(shù)，對于剩余的(N-M)點采用連接點處的故障率，取定值。M值的選取原則通過尋求min(eRMSE)所得。均方根誤差(eRMSE)的表達式為

(33)

式中：λ為分界點的故障率；λi為設備實際的故障率；yi為設備擬合的故障率。

3 輸電線路保護風險評估

為了全面、科學分析輸電線路保護拒動、誤動給電網帶來的影響，本文從切負荷損失，線路過負荷損失以及電壓越限損失3個指標出發(fā)計算風險，其中故障率函數(shù)采用威布爾分布，故障嚴重度模型采用效用函數(shù)[16]。

效用函數(shù)分為3種：風險厭惡型、風險中立型和風險偏好型，文獻[16]指出風險偏好型可以準確構建事故發(fā)生后帶來的嚴重度模型，表達式為

s(w)=0.582(ew-1)

(34)

式中w為發(fā)生事故后切負荷損失、線路過負荷損失以及電壓越限損失，具體表達式參考文獻[17]。

綜合考慮切負荷損失、線路過負荷損失以及電壓越限損失的綜合損失為

s(w)=w1sFL(w)+w2sli(w)+w3sVi(w)

(35)

式中：w1、w2、w3為切負荷損失、線路過負荷損失以及電壓越限損失3個指標的權重；sFL、sli、sVi分別為切負荷損失、線路過負荷損失以及電壓越限損失的嚴重度。

本文采用層次分析法求解權重，首先根據(jù)1-9標度評價標準建立判斷矩陣Z為

(36)

其次根據(jù)式(37)求解切負荷損失、線路過負荷損失以及電壓越限損失3個指標的權重分別為0.358，0.475，0.167。

(37)

那么綜合考慮輸電線路和線路保護的風險表達式為

R=0.8×P2×(1-P1)×s1(w)+
0.2×P2×P1×s2(w)

(38)

式中：P1為繼電保護設備對應的一次設備的故障率；P2為線路保護設備的故障率；s1(w)為線路保護設備誤動造成的損失；s2(w)為線路保護設備拒動造成的損失。0.2和0.8是參考文獻[18]得到的。

分析式(38)可知，考慮一次二次設備風險包括保護拒動和誤動帶來的風險，所謂繼電保護誤動就是切除保護所在線路，此時線路為正常運行狀態(tài)，即式中0.8×P2×(1-P1)；所謂拒動風險是指此時一次設備發(fā)生故障，對應的保護拒動，需要相鄰的后備保護來切除故障，即式中的0.2×P2×P1。

4 算例分析

記錄廣東某一地區(qū)相同型號，運行環(huán)境相似的輸電線路保護設備臺賬以及故障信息，對應不同年份的故障率統(tǒng)計結果如表1所示，故障率分布如圖2所示。

表1 繼電保護設備故障率統(tǒng)計數(shù)據(jù)
Table1Statisticsofrelayprotectionequipmentfailurerate

圖2 繼電保護設備故障率分布曲線Fig.2 Distribution curve of relay protection equipment failure rate

4.1 繼電保護故障概率計算

(1)初值的確定。取9年和12年的故障率求解初值β0和η0，根據(jù)式(32)求得初始值(β0，η0)=(7.745,13.160)。

(2)分界點的確定。為了建立繼電保護設備故障率分布曲線，需要找出偶然失效期和損耗期的分界點，得出關于時間的故障率分布函數(shù)。根據(jù)圖2分析可知，分界點在7～9.5年之間，表2為計算選取不同分界點時，威布爾分布參數(shù)的估計值以及對應分界點下均方根誤差。

表2 威布爾分布的參數(shù)分界點
Table2ParameterdemarcationpointofWeibulldistribution

分析表2可知，在8.5年時，均方根誤差最小，為0.0126，因此取第8.5年為偶然失效期和損耗期的分界點。因此，繼電保護設備故障率分布函數(shù)表達式為

(39)

根據(jù)式(39)做繼電保護設備的故障率分布擬合曲線如圖3所示。

圖3 繼電保護設備擬合曲線Fig.3 Fitting curve of relay protection equipment

4.2 初值的選擇對威布爾分布參數(shù)的影響

(1)采用已知的故障率求解初值。選取9年和12年的故障率，根據(jù)式(32)求得初始值(β0，η0)=(7.745 0，13.160 0)。

(2)采用rand函數(shù)產生隨機數(shù)作為初始值。利用同倫算法求出的2種初值下的參數(shù)(β1,η1) = (7.820 3, 12.761 7)和(β2,η2) = (7.790 3, 13.118 0)，曲線擬合如圖4所示。

圖4 兩種不同初值的曲線擬合Fig.4 Curve fitting of two different initials

分析圖4可知，采用隨機數(shù)法和選用特定數(shù)值法確定初值得到的故障率曲線，數(shù)據(jù)均勻地分散在曲線兩側，并且二者曲線幾乎重合，所估計的β，η近似相等，即采用牛頓同倫算法求解非線性方程不受初值的影響，具有很強的優(yōu)越性。

4.3 最小二乘法和同倫算法的比較

同樣地，采用最小二乘法估計威布爾分布參數(shù)，估計結果如表3所示。

將2種方法得出的參數(shù)代入威布爾分布方程，作曲線擬合，結果如圖5所示。

表3 基于最小二乘法的參數(shù)估計
Table3Parameterestimationbasedontheleastsquaremethod

圖5 2種算法下的曲線擬合Fig.5 Curve fitting in two algorithms

為了比較2種算法下曲線擬合的誤差，本文采用相對誤差[19]來衡量，2種算法下的相對誤差如圖6所示，相對誤差的分布情況如表4所示。

圖6 2種算法的相對誤差Fig.6 Relative error of two algorithms

分析表4以及圖6可知，采用同倫算法擬合的故障率的相對誤差>30%的個數(shù)為0，1個位于20%～30%，其他的全部<20%，但是最小二乘法，有1個相對誤差>30%，相比較而言，同倫算法擬合效果更好。

4.4 輸電線路風險計算

利用中國電力科學研究院PSASP7.0仿真平臺，對圖7所示的WSCC-9系統(tǒng)進行仿真，仿真和計算保護拒動和誤動情況下帶來的損失如表5、6所示。

圖7 WSCC-9 系統(tǒng)單線圖 Fig.7 Single-line diagram of WSCC-9

表6 線路正常運行繼電保護誤動帶來的損失Table 6 Loss of maloperation of relay protection under line normal operation

分析表5、6可知，相同線路保護發(fā)生拒動和誤動給電網帶來的損失不同，在線路發(fā)生故障繼電保護拒動的情況下，若是L1發(fā)生故障，此時需要相鄰線路保護切除故障，有3種情況：若L1兩端保護都拒動，即事故發(fā)生的概率為P22×P1，此時需要L2的保護動作以及變壓器T2保護動作，即L1，L2以及變壓器T2都要斷開，計算此時電網損失；若靠近L2的保護拒動，事故發(fā)生的概率為P2×(1-P2)×P1，此時只需要L2的保護動作，此時L1，L2要斷開，計算此時電網損失；若靠近變壓器的保護拒動，事故發(fā)生的概率為P2×(1-P2)×P1，需要變壓器T2保護動作，此時L1，T2要斷開，計算此時電網損失。而且這3種情況是互相獨立的，采用概率加和計算，利用PSASP7.0仿真平臺可得此時損失最大。同理可得，L2次之，L3的損失最小。在線路正常運行保護誤動的情況下，類似于N-1故障，利用PSASP7.0仿真平臺計算可得L5保護誤動時損失最大，L2次之，L6最小。

[19-20]可得輸電線路故障率如表7所示。

表7 輸電線路故障率
Table7Failurerateoftransmissionlines

假設繼電保護運行8年，根據(jù)式(39)計算故障率為0.033 7。根據(jù)式(38)計算電網風險以及風險排序如表8所示。

表8 輸電線路運行風險指標與排序
Table8Operationriskindexesandsequencesoftransmissionlines

分析表8可知，在由于繼電保護不正確動作帶來的風險中，L5線路保護風險最大，對系統(tǒng)的危害最大，L2次之，L3最小，需要運行人員在制定檢修計劃以及差異化運維策略時引起足夠的重視。

所謂運維策略指的是設備的日常巡維、特別巡維的工作周期、工作內容及工作要求。由于繼電保護設備種類繁多，如果選用相同的巡視周期，必然浪費不必要的人力和物力的投入。但是在風險評估結果分析的基礎上，根據(jù)風險的結果可以制定不同的巡視周期，對于線路5，由于保護發(fā)生故障帶來的風險最大，那么日常巡視周期由原來的1月/次縮短為2周/次，對于線路3，由于風險比較小，因此日常巡視周期相應延長為6月/次，即實現(xiàn)差異化運維。

5 結 論

(1)本文采用兩參數(shù)的威布爾分布，利用收斂范圍大的同倫算法求解非線性方程，求解繼電保護故障率分布；

(2)采用效用函數(shù)從切負荷損失，線路過負荷損失以及電壓越限損失3個指標計算損失，求解繼電保護不正確動作帶來的風險，包括拒動和誤動的風險，最后算例表明，綜合考慮一次二次設備的風險評估體系能夠反映電網的實際運行情況。

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(編輯 張小飛)

Risk Assessment System of Transmission Line Considering Relay Protection Fault

GONG Qingwu，LIN Yanzhen

(School of Electrical Engineering, Wuhan University, Wuhan 430072, China)

The transmission line plays a role of power transmission and distribution function in the power grid, whose failure will bring enormous influence on the operation of power grid. This paper proposes a risk assessment system with comprehensively considering the transmission line and line protection. We use Newton-Homotopy algorithm to estimate the parameters of Weibull distribution and construct the fault rate model of relay protection; adopt utility function to construct the model of severity including the loss of load, line overload and voltage limit; and use the definition of risk to calculate the risk of transmission line under relay protection equipment fault, scan the weakness of grid, and provide theoretical basis for setting the differential operation strategy. Finally, the calculation and simulation results of the WSCC-9 test system verify the correctness and efficiency of the comprehensive risk assessment system of grid with considering the protection fault characteristics of transmission line.

transmission line; relay protection equipment; Newton-Homotopy algorithm; Weibull distribution; utility function

國家科技支撐計劃資助項目(2013BAA02B01)

TM 754

A

1000-7229(2016)07-0141-08

10.3969/j.issn.1000-7229.2016.07.020

2016-03-12

龔慶武(1967)，男，教授，博士生導師，研究方向為電力系統(tǒng)運行與控制、優(yōu)化調度等；

林燕貞(1991)，女，碩士研究生，研究方向為電力系統(tǒng)繼電保護風險評估。

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