識別模型特征 選準概率公式

朱賢良 付朝華●

安徽省樅陽縣會宮中學(xué)(246740)

識別模型特征 選準概率公式

朱賢良 付朝華●

安徽省樅陽縣會宮中學(xué)(246740)

法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾言：“生活中最重要的問題，絕大部分其實只是概率問題．”意即概率問題在現(xiàn)實生活中廣泛存在．在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，概率與統(tǒng)計也是六大核心知識板塊之一，分布在必修3與選修2-3(理科)、選修1-2(文科)兩冊書中．在數(shù)學(xué)高考中，概率與統(tǒng)計作為年年都考的穩(wěn)定考點，一“大”一“小”的模式幾乎成為一種標(biāo)準配置．

綜觀歷年全國各地高考試題，概率與統(tǒng)計部分的熱點與難點在于概率的計算．能否識別各種概率模型的典型特征，選擇適當(dāng)?shù)母怕使竭M行計算，直接決定著解題的成敗．本文結(jié)合部分典型問題對高中概率模型與公式作一整理，力求更準確、更有效地求解概率問題．

一、古典概型

例1 (2011年高考陜西卷·理10)甲乙兩人一起去游“2011西安世園會”，他們約定，各自獨立地從1到6號景點中任選4個進行游覽，每個景點參觀1小時，則最后一小時他們同在一個景點的概率是( )

點評 在解古典概型問題時，準確、合理地利用分類加法、分步乘法計數(shù)原理與排列組合知識計數(shù)是正確計算概率的關(guān)鍵所在．

二、幾何概型

例2 (2012年高考遼寧卷·理10)在長為12 cm的線段AB上任取一點C．現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC,CB的長，則該矩形面積小于32 cm2的概率為 ( )

點評 解決幾何概型的難點在于如何建立起樣本空間、隨機事件與線段或平面區(qū)域或空間幾何體之間的對應(yīng)關(guān)系．

三、概率的加法公式

如果隨機事件A包含n種互斥的情況A1,A2,…,An，即A=A1+A2+…+An(和事件，也可以寫成并事件)，則P(A)=P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)．

例3 (人教A版教材選修2-3第53題例2)一張儲蓄卡的密碼共有6位數(shù)字，每位數(shù)字都可以從0～9中任選一個．某人在銀行自動提款機上取錢時，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求：

(1)任意按最后一位數(shù)字，不超過兩次就按對的概率；

(2)如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過2次就按對的概率．

點評 概率的加法公式P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)成立的前提是事件A1,A2,…,An兩兩互斥．第(2)問還可以看成是條件概率問題，課本就是運用條件概率公式來求解的．

四、條件概率

例4 (2014年高考全國Ⅱ卷·理5)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是( ).

A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45

點評 求解條件概率，就必須先弄清楚前提事件與目標(biāo)事件，再選用條件概率公式進行計算．

五、概率的乘法公式

(1)求甲恰用4局贏得比賽的概率；

(2)記X為比賽決出勝負時的總局數(shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)．

故X的分布列為

X2345P59291081881

點評 簡單地理解，當(dāng)事件A包含A1,A2,…,An這些情況時，P(A)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)，前提是A1,A2,…,An中兩兩互斥；當(dāng)事件A發(fā)生相當(dāng)于A1,A2,…,An同時發(fā)生時，P(A)=P(A1)P(A2)…P(An)，前提是A1,A2,…,An中兩兩獨立．

六、獨立重復(fù)試驗?zāi)Ｐ?/h2>

解析 事件“牛牛同學(xué)恰好答對其中2道題”包含了3種情況：牛牛同學(xué)答對2道甲類題，0道乙類題；牛牛同學(xué)答對0道甲類題，2道乙類題；牛牛同學(xué)答對甲類題與乙類題各1道．分別記三個事件為A,B,C，則牛牛同學(xué)恰好答對其中2道題的概率為P=P(A)+P(B)+P(C)．

點評 準確識別獨立重復(fù)試驗?zāi)Ｐ褪钦_求解的關(guān)鍵，比如本題中答3道甲類題就相當(dāng)于將答甲類題這一試驗重復(fù)3次，答2道乙類題就相當(dāng)于將答乙類題這一試驗重復(fù)2次．

七、對立事件的概率

例7 創(chuàng)辦于1999年的農(nóng)心杯世界圍棋團體錦標(biāo)賽是世界上水平最高的圍棋團體賽，每年一屆，每屆由中國、日本和韓國各派出5名棋手，采用擂臺賽的方式，三國棋手輪番上陣，最后留在擂臺上的隊伍獲得冠軍．已知某屆比賽進行到最后階段時，中、日、韓三國分別還剩下3、0、1位棋手，且中國三位棋手對局韓國棋手獲勝的概率分別為p1,p2,p3，則中國隊獲得冠軍的的概率為____．

點評 若從正面求解，則需要運用概率的乘法公式和加法公式，求得中國隊獲得冠軍的的概率為P(A)=p1+(1-p1)p2+(1-p1)(1-p2)p3，兩種計算的結(jié)果整理后是一致的．

試題是動態(tài)的，變化多端，展現(xiàn)千姿百態(tài)，但知識點與思想方法是靜態(tài)的，數(shù)量有限，保持相對穩(wěn)定．所謂“以不變應(yīng)萬變”，就是強調(diào)通過一定量的解題訓(xùn)練，去熟練和創(chuàng)造性地把握基本知識和思想方法的原理與靈魂，從而達到運用自如的目的．

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