王友峰●

江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學(xué)校(215000)

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審題教學(xué)的常用策略

王友峰●

江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學(xué)校(215000)

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題教學(xué),而解題教學(xué)的關(guān)鍵又是審題教學(xué).因此加強(qiáng)審題教學(xué)的研究具有重要的意義.筆者根據(jù)長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐，歸納審題教學(xué)的常用策略.

數(shù)學(xué)教學(xué)；審題研究；常用策略

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題教學(xué),而解題教學(xué)的關(guān)鍵又是審題教學(xué).可以說，數(shù)學(xué)解題教學(xué)成在審題教學(xué),敗也在審題教學(xué).著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說:“最糟糕的情況就是學(xué)生沒有弄清問題就進(jìn)行演算和作圖.” 因此，加強(qiáng)審題教學(xué)的研究具有重要的意義.現(xiàn)根據(jù)筆者長(zhǎng)期教學(xué)實(shí)踐，歸納審題教學(xué)的常用策略，供大家進(jìn)行審題教學(xué)研究時(shí)參考，不當(dāng)之處請(qǐng)指教.

策略一 引導(dǎo)審條件，學(xué)會(huì)挖隱含

我們知道，任何一個(gè)數(shù)學(xué)問題都是由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成的.條件是解題的重要素材，是獲取“怎樣解這道題”的邏輯起點(diǎn)，是思維的啟動(dòng)器.充分利用條件及其內(nèi)在聯(lián)系是正確解題的必由之路.數(shù)學(xué)條件一般有顯性和隱性之分，解題教學(xué)中的審條件就是要把它們?nèi)颊页鰜?，無一遺漏，特別是要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)隱含條件的挖掘，進(jìn)而充分發(fā)揮隱含條件的解題功能；在此基礎(chǔ)上，還要引導(dǎo)學(xué)生弄清條件所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)含義，即要求學(xué)生看清楚條件所表達(dá)的到底是哪些數(shù)學(xué)概念、哪些數(shù)學(xué)關(guān)系等，從而為順利解題提供新的信息與依據(jù)，產(chǎn)生思維源，這樣學(xué)生的解題思路就能應(yīng)運(yùn)而生.

例1 (2016年山東省威海市中考題)若x2-3y-5=0，則6y-2x2-6的值為( )

A．4 B．-4 C．16 D．-16

教學(xué)分析 求代數(shù)式值的基本方法是代入，但本題中給出的已知條件是一個(gè)等式，如何代入呢？這正是本題的絕妙之處，隨著解題者審題角度的不同，解法也不同，真是：“把戲人人會(huì)做，各有巧妙不同”，這不僅給解題者提供了進(jìn)行多角度思考，展示聰明才智的廣闊空間，也為我們多角度開展審題教學(xué)提供了極好素材.

角度2 (整體代入法)觀察求值式會(huì)發(fā)現(xiàn)，題目中的條件與結(jié)論存在隱含的數(shù)量關(guān)系，為此把已知條件x2-3y-5=0變形為x2-3y=5，把求值式6y-2x2-6變形為-2(x2-3y)-6，然后整體代入，即可簡(jiǎn)捷求得其值.也可把已知條件兩邊同乘以-2，得到6y-2x2=-10，然后整體代入，也可簡(jiǎn)捷求得其值，選D.

策略二 引導(dǎo)審結(jié)論，學(xué)會(huì)巧轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)解題的最終目的是求出結(jié)論或說明已給結(jié)論的正確與錯(cuò)誤，我們?cè)诮忸}時(shí)都是圍繞問題的結(jié)論來確定思考方向的.因此，在審結(jié)論時(shí)，要注意引導(dǎo)學(xué)生在結(jié)論的啟發(fā)下，探索已知條件與結(jié)論之間存在哪些內(nèi)在聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的規(guī)律，學(xué)會(huì)從中捕捉有用的解題信息，靈活地對(duì)結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之逐步靠向已知條件，從而發(fā)現(xiàn)和確定解決問題的途徑.

例2 (2012年山東省泰安市中考題)1，2，3，…，100這100個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根和立方根中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)有____個(gè)．

教學(xué)分析 本題的結(jié)論是要求無理數(shù)的個(gè)數(shù)，在1，2，3，…，100這100個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根和立方根(共200個(gè)數(shù))中確定無理數(shù)的個(gè)數(shù)，比較復(fù)雜，很多學(xué)生感到棘手．此時(shí)，我們可以這樣引導(dǎo)學(xué)生去思考：對(duì)于這200個(gè)數(shù)，可以分為有理數(shù)和無理數(shù)這兩類，我們對(duì)有理數(shù)比較熟悉，因此只要先分別找出1，2，3，…，100這100個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根和立方根中有理數(shù)的個(gè)數(shù)，則無理數(shù)的個(gè)數(shù)唾手可得．事實(shí)上，1，2，3，…，100這100個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根中，有理數(shù)有10個(gè)，因此無理數(shù)有90個(gè)； 而1，2，3，…，100這100個(gè)自然數(shù)的立方根中，有理數(shù)有4個(gè)，因此無理數(shù)有96個(gè).所以，1，2，3,…，100這100個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根和立方根中，無理數(shù)共有90+96=186個(gè)．

教學(xué)反思 要找出這200個(gè)數(shù)中的所有無理數(shù)(共186個(gè))比較困難，引導(dǎo)學(xué)生通過審題發(fā)現(xiàn)，這200個(gè)數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù)，找出這種內(nèi)在聯(lián)系，就會(huì)自然將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變找無理數(shù)為找有理數(shù)，而這些有理數(shù)是學(xué)生十分熟悉的，這樣問題就由生疏變?yōu)槭煜ぃ蓮?fù)雜變?yōu)楹?jiǎn)單，學(xué)生求解就十分容易了．本題雖是填空題，不要求寫出解題過程，但解題所用的時(shí)間多少是客觀存在的，解題的速度是考試成功的關(guān)鍵因素，由此可見科學(xué)的審題，從結(jié)論中找出轉(zhuǎn)化的途徑是何等重要！

策略三 引導(dǎo)審結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)找關(guān)聯(lián)

數(shù)學(xué)題目的條件和結(jié)論很多都是以數(shù)式與圖形的結(jié)構(gòu)形式呈現(xiàn)的，其中往往隱含著某種特殊的關(guān)聯(lián)性，對(duì)于這類問題，在審題時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審視題目中的數(shù)式與圖形結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)，對(duì)數(shù)式或圖形結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)進(jìn)行深入的分析，發(fā)現(xiàn)其中的聯(lián)系，即可找到解決問題的突破口，問題即可迎刃而解．

例3 (2016年江蘇省泰州市中考?jí)狠S題)已知兩個(gè)二次函數(shù)y1=x2+bx+c和y2=x2+m.對(duì)于函數(shù)y1，當(dāng)x=2時(shí)，該函數(shù)取最小值.

(1)求b的值；

(2)若函數(shù)y1的圖象與坐標(biāo)軸只有2個(gè)不同的公共點(diǎn)，求這兩個(gè)公共點(diǎn)間的距離；

(3)若函數(shù)y1、y2的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(1，-2)，過點(diǎn)(0，a-3)(a為實(shí)數(shù))，作x軸的平行線，與函數(shù)y1、y2的圖象共有4個(gè)不同的交點(diǎn)，這4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x1、x2、x3、x4，且x1

圖1

教學(xué)分析 對(duì)于第(3)題，學(xué)生一般是從二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系來尋找解題思路的，這也是評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給出的答案.其實(shí)，通過對(duì)題目中有關(guān)數(shù)式和圖象結(jié)構(gòu)的分析，可以得到更為簡(jiǎn)捷地創(chuàng)新解法.在教學(xué)中，可先引導(dǎo)學(xué)生對(duì)代數(shù)式x4-x3+x2-x1進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析：直線y=a-3對(duì)應(yīng)交函數(shù)y1、y2的圖象于點(diǎn)C、D、E、F.如圖1，當(dāng)a>1時(shí)，CD=x2-x1，EF=x4-x3；當(dāng)0

函數(shù)y1、y2的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(1，-2)，∴c=1，m=-3，∴y1=x2-4x+1，y2=x2-3.

畫出y1、y2的大致圖象如圖1. 可知y1可以由y2向右平移2個(gè)單位得到，又∵x11時(shí)，CD=x2-x1=2，EF=x4-x3=2，∴x4-x3+x2-x1=4；②當(dāng)00，∴4-2DE<4，即x4-x3+x2-x1<4.∴綜上所述，x4-x3+x2-x1的最大值為4.

教學(xué)反思 本題初看上去是一道普通的二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系的問題，很多學(xué)生會(huì)按照一般方法來求解，只要基本功扎實(shí)，也能得到正確的答案．這里通過認(rèn)真審題，引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)式和圖象結(jié)構(gòu)之間的關(guān)聯(lián)，發(fā)現(xiàn)其聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上，利用數(shù)形結(jié)合思想，先畫出兩條二次函數(shù)圖象的草圖，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)二次函數(shù)的圖象可通過左右平移2個(gè)單位得到，再分兩種情況分別將關(guān)于4個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)的代數(shù)式x4-x3+x2-x1轉(zhuǎn)化為線段的和差，然后利用平移的距離巧妙地得到有關(guān)線段的長(zhǎng)度，結(jié)合線段的非負(fù)性，即可得到x4-x3+x2-x1的值或取值范圍，進(jìn)而得到x4-x3+x2-x1的最大值.由此可見，在解題教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審視題目中數(shù)式或圖形結(jié)構(gòu)之間的關(guān)聯(lián)，從全局的高度尋找不同的解題途徑，進(jìn)而挖掘出問題的創(chuàng)新解法，不斷積淀創(chuàng)新思維.

策略四 引導(dǎo)審變換，學(xué)會(huì)找規(guī)律

數(shù)學(xué)中有不少圖形變換問題，條件往往以圖形的形式出現(xiàn)，或?qū)l件隱含在圖形之中，對(duì)于這類問題，在審題教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真研讀題目中的關(guān)鍵詞語，仔細(xì)觀察圖形的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)圖形中所蘊(yùn)含的特殊關(guān)系、數(shù)值的相互聯(lián)系、變化的總體趨勢(shì)等，抓住這些特點(diǎn)，找出一般性的規(guī)律，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，即可發(fā)現(xiàn)破解的奧妙之處．

例4 (2015年廣西壯族自治區(qū)南寧市中考題)如圖2，在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示1，現(xiàn)將點(diǎn)A沿x軸做如下移動(dòng)，第一次點(diǎn)A向左移動(dòng)3 個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)A1，第二次將點(diǎn)A1向右移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)A2，第三次將點(diǎn)A2向左移動(dòng)9個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)A3，按照這種移動(dòng)規(guī)律移動(dòng)下去，第n次移動(dòng)到點(diǎn)An，如果點(diǎn)An與原點(diǎn)的距離不小于20，那么n的最小值是____.

圖2

教學(xué)分析 這是最簡(jiǎn)單的圖形變換——點(diǎn)的變換問題，在審題教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生從點(diǎn)反復(fù)的移動(dòng)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第一次點(diǎn)A向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)A1，則A1表示的數(shù)為1-3=-2；第2次從點(diǎn)A1向右移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)A2，則A2表示的數(shù)為-2+6=4；第3次從點(diǎn)A2向左移動(dòng)9個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)A3，則A3表示的數(shù)為4-9=-5；第4次從點(diǎn)A3向右移動(dòng)12個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)A4，則A4表示的數(shù)為-5+12=7；第5次從點(diǎn)A4向左移動(dòng)15個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)A5，則A5表示的數(shù)為7-15=-8；…于是，A7表示的數(shù)為-8-3=-11，A9表示的數(shù)為-11-3=-14，A11表示的數(shù)為-14-3=-17，A13表示的數(shù)為-17-3=-20，…；A6表示的數(shù)為7+3=10，A8表示的數(shù)為10+3=13，A10表示的數(shù)為13+3=16，A12表示的數(shù)為16+3=19，….所以點(diǎn)An與原點(diǎn)的距離不小于20，那么n的最小值是13．

教學(xué)反思 本題初看上去很嚇人，其實(shí)在教學(xué)中只要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題，分析這個(gè)點(diǎn)的變換特點(diǎn)，從特殊到一般地猜想出規(guī)律：序號(hào)為奇數(shù)的點(diǎn)在點(diǎn)A的左邊，各點(diǎn)所表示的數(shù)依次減少3；序號(hào)為偶數(shù)的點(diǎn)在點(diǎn)A的右側(cè)，各點(diǎn)所表示的數(shù)依次增加3；再運(yùn)用這種規(guī)律來解決問題，問題即可迎刃而解. 因此，對(duì)于這類問題，我們?cè)趯忣}教學(xué)中要重視引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般地發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并會(huì)靈活運(yùn)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來解決問題.

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012，1．

[2] 陳德前.幫你學(xué)審題[J]．初中生天地(七年級(jí)版)，2015，7-8.

[3] 孫志兵.數(shù)學(xué)審題的“著力點(diǎn)”及策略[J]．初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)，2015，7-8.

[4] 霍彩霞.如何進(jìn)行審題[J]．初中生天地(七年級(jí)版)，2016，7-8.

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