☉江蘇省溧水高級(jí)中學(xué) 李寬珍

高中數(shù)學(xué)問題串教學(xué)模式的思考

☉江蘇省溧水高級(jí)中學(xué) 李寬珍

數(shù)學(xué)的發(fā)展過程實(shí)際上是一個(gè)不斷發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的過程.數(shù)學(xué)的研究是從問題開始的，同樣，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也是從問題開始的.數(shù)學(xué)教學(xué)過程實(shí)際上是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的過程.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)從本質(zhì)來說是一個(gè)關(guān)于“問題”的教學(xué).在教學(xué)過程中，我們可依據(jù)教學(xué)目標(biāo)將教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)成一系列問題，將這些問題排列成一個(gè)由淺入深、由易到難的問題串，以問題為導(dǎo)向，使學(xué)生通過對(duì)問題的思考和研究來實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，我們不妨把這一方法稱之為“問題串”教學(xué)法.

一、“問題串”教學(xué)法

（一）“問題串”教學(xué)法的含義

“問題串”教學(xué)法是指根據(jù)教學(xué)目標(biāo)，精心設(shè)計(jì)一系列的有效問題，把教學(xué)內(nèi)容以問題形式呈現(xiàn)，以問題為導(dǎo)向，引導(dǎo)和推動(dòng)學(xué)生進(jìn)行思考和研究，從而使學(xué)生獲得知識(shí)和能力的教學(xué)方式.問題串教學(xué)的中心任務(wù)是設(shè)計(jì)一個(gè)或一系列有效的問題，把教學(xué)過程組織成為“學(xué)生思考和研究問題”的過程.

“問題串”教學(xué)的基本特征是：學(xué)生的學(xué)習(xí)以問題為導(dǎo)向和起點(diǎn)；學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是研究問題和解決問題；學(xué)生的交往是以問題為中心.在教學(xué)過程中，學(xué)生帶著問題去思考和研究，新的知識(shí)在問題的解決過程中得到理解和掌握，學(xué)生的各種能力在問題的解決過程中得到提高，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和素質(zhì)在問題的解決過程中得到升華.

（二）“問題串”教學(xué)法的意義

1.有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性

“問題串”教學(xué)法，顧名思義是以問題為主導(dǎo)的教學(xué)，通過問題的解決促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)思考，積極探究，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，誘發(fā)學(xué)生的探究熱情，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.特別是提出的一些富有趣味性、挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題，可極大地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.

2.有效地改變學(xué)生不良的學(xué)習(xí)方式

“問題串”教學(xué)法以問題為驅(qū)動(dòng)，以學(xué)生活動(dòng)為中心，在開放的學(xué)習(xí)環(huán)境中，學(xué)生自主的觀察、實(shí)踐、交流、研究，主動(dòng)參與到“問題”的研究中，真正做到“獨(dú)立思考、自主探索、合作交流、閱讀自學(xué)”.變學(xué)生被動(dòng)的接受式學(xué)習(xí)方式為主動(dòng)學(xué)習(xí)方式.

3.符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)不是個(gè)體之間簡單的傳遞和轉(zhuǎn)移，而是學(xué)習(xí)者在自己已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，通過新知識(shí)與原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)化、吸收，來補(bǔ)充和豐富自己的知識(shí)結(jié)構(gòu).要學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)的主動(dòng)建構(gòu)，把學(xué)科內(nèi)容形成“問題”是較好的方法，并讓學(xué)生去解決問題.在問題解決活動(dòng)中，通過學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探究，深入地激活自己的原有經(jīng)驗(yàn)，使新、舊經(jīng)驗(yàn)間雙向的相互作用得以更充分、更有序地進(jìn)行，這使得學(xué)習(xí)活動(dòng)真正切入到學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)世界當(dāng)中，問題的解決為新、舊經(jīng)驗(yàn)的同化和順應(yīng)提供了理想的平臺(tái).

4.有效地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

思維能力是能力的核心.思維從問題開始，沒有問題就沒有數(shù)學(xué)思維，學(xué)生的思維活動(dòng)是在解決問題的過程中展開的.美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯指出：“問題是數(shù)學(xué)的心臟”.蘇格拉底則說：“問題是接生婆，它能幫助新思維的誕生.”問題能激化認(rèn)知矛盾，啟發(fā)學(xué)生思維.“問題串”教學(xué)法能有效地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

5.有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解

從數(shù)學(xué)的發(fā)展過程來看，數(shù)學(xué)的發(fā)展是在不斷發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的過程中進(jìn)行的，數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法都是在解決問題中提煉出來的.“問題串”教學(xué)法使學(xué)生在解決問題中，探尋數(shù)學(xué)知識(shí)的形成和發(fā)展過程，探求數(shù)學(xué)的本質(zhì)，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解更加深刻.

6.使教學(xué)過程簡潔凝煉

“問題串”教學(xué)法，以問題為導(dǎo)向，使教學(xué)目標(biāo)更加明確，任務(wù)更加具體，教學(xué)過程更加清晰，有利于學(xué)生抓住要旨，有利于教師駕馭課堂.

二、“問題串”教學(xué)法的基本教學(xué)模式

“問題串”教學(xué)法可以說是一種教學(xué)方法，也可以說是一種教學(xué)理念.教學(xué)形式可靈活多變，其教學(xué)模式可不拘一格，在教學(xué)中可根據(jù)教學(xué)的需要適當(dāng)增加其他環(huán)節(jié)，如“回顧與反思”、“達(dá)標(biāo)檢測”等.“問題串”教學(xué)法常常有下列兩種最基本的類型：

（一）“問題—研究”型

首先，由教師提出精心設(shè)計(jì)的問題串；然后，讓學(xué)生自主研究與思考；最后，進(jìn)行師生之間的合作與交流.如此反復(fù)進(jìn)行.一節(jié)課可能要經(jīng)歷若干個(gè)“提出問題—自主研究—合作交流”的問題串教學(xué)環(huán)節(jié).

案例1“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”的教學(xué)設(shè)計(jì).（教材：蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修5）

教學(xué)過程：

活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

課堂伊始，筆者講了關(guān)于國際象棋起源的故事（故事情節(jié)略），并設(shè)計(jì)如下問題串：

問題串一：情境性問題串，引出問題.

問題1：棋盤上有多少麥粒數(shù)？

問題2：每格所放的麥粒數(shù)可以視為什么數(shù)列？

問題3：能否將上述問題抽象出一般情況？

師：如何計(jì)算這個(gè)算式？（學(xué)生思考）

問題4：我們要求的實(shí)際上是什么樣的問題？我們是否可以找到一般的方法解決這一類問題？（點(diǎn)明課題）

設(shè)計(jì)意圖：通過一系列的問題將故事情節(jié)與數(shù)列的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來，從情境中看到數(shù)學(xué)問題.情境性“問題串”設(shè)計(jì)當(dāng)然要體現(xiàn)情境性，一般來說要具備三個(gè)要素：①涉及未知領(lǐng)域，能啟動(dòng)學(xué)生思維；②具有真實(shí)性，讓學(xué)生覺得親切、自然；③基于學(xué)生已有的知識(shí)水平.這樣的問題情境，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的好奇心和求知欲，引發(fā)學(xué)生自主探究，讓學(xué)生在解決問題中頓悟，提高學(xué)習(xí)新知的能力.

活動(dòng)二：學(xué)生活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)

問題串二：方案性問題串，形成概念.

問題1：我們把問題一般化，即求Sn=a1+a2+a3+…+an，怎樣求等比數(shù)列前n項(xiàng)的和？

（學(xué)生思考、討論、交流）

問題2：我們?cè)谇蠼庵校瑫?huì)遇到哪些障礙？

生（眾）：未知量太多了.

問題3：對(duì)，量太多，這里有a1，a2，a3…，an，共n個(gè)不同的量，那么，怎樣能讓這里的量少一點(diǎn)？類似的問題，我們之前有接觸過嗎？

生3：等差數(shù)列求和.

問題4：好，等差數(shù)列中，也有n項(xiàng)，我們是怎么處理的？

生4：倒序相加法，用a1，n，d表示.

師：我們利用倒序相加，實(shí)現(xiàn)消項(xiàng)，最后轉(zhuǎn)化為a1，n，d或者a1，an，d這三個(gè)基本量來表示.那么類比等差數(shù)列，等比數(shù)列是否也可以轉(zhuǎn)化為三個(gè)基本量？

生5：用a1，n，q，轉(zhuǎn)化為Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+ a1qn-1①.

師：我們還是遇到了問題，這里的項(xiàng)數(shù)太多，我們?cè)鯓觼硐?xiàng)？

（繼續(xù)引導(dǎo)）我們經(jīng)常將已有的知識(shí)和方法當(dāng)作探索新問題的基礎(chǔ)，回顧一下等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程，有什么共同的本質(zhì)特征？

生（眾）：消項(xiàng)，用首尾項(xiàng)或基本量表示.

（學(xué)生情緒高漲，思維目標(biāo)明確：消項(xiàng).）

問題5：很好！那我們應(yīng)如何消項(xiàng)呢？利用的原理應(yīng)該是什么？

師：好，我們能否圍繞著定義，目標(biāo)是基本量的最簡形式，來實(shí)現(xiàn)等比數(shù)列求和的推導(dǎo).請(qǐng)大家在白紙上探索進(jìn)行推導(dǎo)，尋找不同的求和方法.

師：（3分鐘后）同桌之間互相交流分享下，有沒有不一樣的收獲？

生7：將Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1，整體乘以q，得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn②.

問題6：你是怎么想到乘以q的呢？

生7：根據(jù)等比數(shù)列的定義，a2=a1q，a3=a2q，…，an=an-1q，每一項(xiàng)乘以q，往后挪了一項(xiàng)，①、②兩式就出現(xiàn)很多相同的項(xiàng)，由①-②可得，（1-q）Sn=a1-a1qn，則Sn=

師：求解成功！下面用公式計(jì)算一下：S100=2+2+2+…+2（100個(gè)2相加）.

學(xué)生代入公式……發(fā)現(xiàn)分母為0！無意義！

問題7：是公式錯(cuò)了嗎？（引導(dǎo)學(xué)生回顧公式推導(dǎo)過程，檢驗(yàn)每一步的等價(jià)性）

生8：當(dāng)1-q=0時(shí)，兩邊一定不能同除以1-q，此時(shí)只能代入最原始的公式，所以要進(jìn)行討論.

問題8：此方法有幾個(gè)步驟？

問題9：我們成功地將等比數(shù)列前n項(xiàng)和轉(zhuǎn)化為基本量a1，n，q的最簡形式，但要注意分類討論.大家還有其他的推導(dǎo)方法嗎？

（學(xué)生探究、交流，教師巡視后，請(qǐng)一位學(xué)生板演）

問題10：此方法在轉(zhuǎn)化為基本量過程中，需要注意什么問題？

設(shè)計(jì)意圖：這一組問題串旨在引導(dǎo)學(xué)生站在一個(gè)高度展開對(duì)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的探究，必須要求問題能貼近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，使得學(xué)生的思維自然流淌.當(dāng)學(xué)生推導(dǎo)出求和公式時(shí)，設(shè)計(jì)問題串，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)公式使用的局限條件.問題1、2、3展示學(xué)生解決這個(gè)問題的困惑；問題4引導(dǎo)學(xué)生類比等差數(shù)列，提煉出求和的本質(zhì)思想即為化簡；問題5則明確推導(dǎo)依據(jù)，并引發(fā)學(xué)生探討，進(jìn)而進(jìn)行合作交流；問題6、7讓學(xué)生展示其思維過程，通過自己的建構(gòu)、糾錯(cuò)來完善公式，進(jìn)而更好地發(fā)掌握公式的本質(zhì)，同時(shí)還要引導(dǎo)學(xué)生反思出現(xiàn)此問題的原因；問題9、10則培養(yǎng)學(xué)生的歸納、概括的能力，在獲取知識(shí)的同時(shí)也提高能力.

活動(dòng)三：完善公式，建立數(shù)學(xué)

問題串三：方法性問題串，辨析概念.

問題1：完成下列判斷，看是否正確？

問題2：從中你能得到哪些啟示？在運(yùn)用公式求和時(shí)要注意哪些問題？

問題3：什么時(shí)候用公式①？什么時(shí)候用公式②？

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置方法性問題串，讓學(xué)生在學(xué)完新知識(shí)后達(dá)到進(jìn)一步鞏固練習(xí)的作用.

活動(dòng)四：數(shù)學(xué)變式，運(yùn)用數(shù)學(xué)

問題串四：變式性問題串，鞏固概念.

問題1：你能否運(yùn)用公式解決國王賞麥故事中的問題？

例題在等比數(shù)列｛an｝中，完成下列表格：

題號(hào) a1 q n an Sn（1） -4 1 2 10（2） 1 3 243（3） -2 -96 -63

問題2：與等差數(shù)列求和公式類似，有兩種形式，涉及幾個(gè)量？能幫我們解決什么問題？

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步通過問題串的形式加強(qiáng)對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和建構(gòu).

活動(dòng)五：回顧反思，理解數(shù)學(xué)

問題串五：反思性問題串，升華概念.

問題：通過這節(jié)課你學(xué)到了哪些新知識(shí)？掌握了哪些新方法？用新知識(shí)解決問題時(shí)要注意哪些？還有哪些困惑的地方？

（二）“問題—自學(xué)”型

首先，教師提出精心設(shè)計(jì)的問題；然后，讓學(xué)生自學(xué)與思考解決問題；最后進(jìn)行師生之間的合作與交流.

案例2“數(shù)列的概念與簡單表示”的教學(xué)設(shè)計(jì).（教材：蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》必修5第二章2.1）

教學(xué)過程：（1）提出問題.

學(xué)生自學(xué)課本P28～31，思考下列問題：

①什么叫數(shù)列？什么是數(shù)列的項(xiàng)？什么叫數(shù)列的首項(xiàng)？數(shù)列與數(shù)集有何區(qū)別？

②數(shù)列的一般形式是什么？

③什么叫數(shù)列的通項(xiàng)公式？an與｛an｝表示的意義是什么？

④數(shù)列按項(xiàng)數(shù)的多少來分可以分為幾種數(shù)列？按項(xiàng)的大小來分可分為幾種數(shù)列？

⑤如果把數(shù)列的通項(xiàng)公式看成一個(gè)函數(shù)解析式，那么其圖像有何特征？

⑥什么叫數(shù)列的遞推公式？你能進(jìn)行簡單的描述嗎？

⑦完成課本P31的練習(xí).

（2）學(xué)生自學(xué).

學(xué)生帶著問題自學(xué)課本，并完成相應(yīng)的練習(xí).

（3）合作交流.

在學(xué)生自學(xué)的基礎(chǔ)上，由學(xué)生提出疑難問題，由其他學(xué)生進(jìn)行解答，或由教師釋疑解惑.同時(shí)教師根據(jù)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)再提出相關(guān)問題讓學(xué)生思考，以此來檢查學(xué)生的自學(xué)效果，同時(shí)深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，教師通過反饋的信息予以必要的講解和回授.

（4）回顧反思.

為了使學(xué)生進(jìn)一步理解所學(xué)的知識(shí)并形成知識(shí)系統(tǒng)，教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行必要的歸納與反思.如本節(jié)課可進(jìn)行如下歸納：

“問題串”教學(xué)法讓學(xué)生帶著問題進(jìn)行學(xué)習(xí)，通過自主研究和合作交流，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和保持，使學(xué)生的能力得到提高、智力得到發(fā)展、素質(zhì)得到升華；同時(shí)學(xué)生還會(huì)收獲探究的樂趣、交流的快樂、成功的喜悅.

三、“問題串”教學(xué)法的幾點(diǎn)說明

（一）“問題串”教學(xué)法的基本過程

“問題串”教學(xué)是以問題驅(qū)動(dòng)，使學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考和自主研究獲取知識(shí)和能力.根據(jù)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程應(yīng)將自主研究與合作交流結(jié)合起來，通過自主研究使學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)的知識(shí)建構(gòu)，通過合作交流促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的深刻理解、促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知能力的發(fā)展.因此，“問題串”教學(xué)的基本過程是“提出問題—自主研究—合作交流”三個(gè)基本環(huán)節(jié).一般來說，一節(jié)課可以由一個(gè)“問題串”教學(xué)單元或多個(gè)“問題串”教學(xué)環(huán)節(jié)構(gòu)成.

（二）“問題串”的設(shè)計(jì)的基本原則

1.準(zhǔn)確性原則

教師所提出的問題應(yīng)依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，將教材中的知識(shí)以問題形式呈現(xiàn).提出的問題必須符合教學(xué)目標(biāo)中的要求，注意突出教材中的重點(diǎn)，使學(xué)生在解決問題的過程中實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).設(shè)計(jì)的問題要求通俗易懂，表達(dá)準(zhǔn)確，言簡意賅.避免出現(xiàn)詞不達(dá)意，模棱兩可的表述.

2.“最近發(fā)展區(qū)”原則

“問題串”的設(shè)計(jì)必須從學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)水平和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，難度要適中，所提出的問題是學(xué)生經(jīng)過努力可以解決的.運(yùn)用前蘇聯(lián)著名的教育家和心理學(xué)家維果茨基的最近發(fā)展區(qū)理論，教師要了解學(xué)生的現(xiàn)實(shí)水平和潛在的發(fā)展水平，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)最近發(fā)展區(qū)，為學(xué)生提供腳手架.對(duì)過難問題要設(shè)計(jì)合適的過渡問題，問題的設(shè)置注意由淺入深，分層推進(jìn)，螺旋上升.

3.啟發(fā)性原則

所提出的問題應(yīng)能激發(fā)學(xué)生思考，使學(xué)生通過對(duì)問題的研究，揭示問題的本質(zhì)、領(lǐng)悟問題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.使學(xué)生在問題的研究中產(chǎn)生新的生成性問題.

1.中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.李志敏.課堂教學(xué)有效提問的方法與藝術(shù)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（廣州），2011（12）.

3.李寬珍.主線·層次·延伸——由“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”的教學(xué)設(shè)計(jì)談問題串的設(shè)置［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2015（5）.