惠遠(yuǎn)先，王俊杰

(普洱學(xué)院 數(shù)學(xué)系，云南 普洱 665000)

一類廣義中立型Emden-Fowler方程的振動(dòng)準(zhǔn)則

惠遠(yuǎn)先，王俊杰

(普洱學(xué)院 數(shù)學(xué)系，云南 普洱 665000)

研究了一類廣義中立型Emden-Fowler 方程的振動(dòng)性質(zhì)，通過構(gòu)造廣義Riccati變換得到了廣義Riccati不等式，用積分平均技巧等方法，建立了保證方程一切解振動(dòng)或者收斂到零的若干新的充分條件，所得結(jié)論推廣和改進(jìn)了最近文獻(xiàn)中的若干結(jié)果，最后給出了若干例子來驗(yàn)證工作的有效性.

廣義中立型Emden-Fowler方程； 廣義Riccati變換； 振動(dòng)準(zhǔn)則

微分方程的振動(dòng)理論是微分方程定性理論的一個(gè)重要分支.隨著科技的迅速發(fā)展，在控制工程、生物制藥、機(jī)械振動(dòng)和力學(xué)等應(yīng)用領(lǐng)域中的的很多實(shí)際問題中均出現(xiàn)了微分方程是否存在振動(dòng)解或者微分方程的一切解是否均為振動(dòng)的問題.

20世紀(jì)八十年代以來，微分方程的振動(dòng)理論得到了迅速地發(fā)展.從線性到半線性、超線性和非線性，從一階到二階、三階、偶數(shù)階和n階，從純量方程到矩陣方程，從連續(xù)方程到離散方程、時(shí)間尺度上的動(dòng)力方程，都取得了豐富的研究成果.

由于二階動(dòng)力方程的力學(xué)意義非常明顯，因而研究比較深入和廣泛，無論從方程的類型還是從研究的方法上都取得了長(zhǎng)足的發(fā)展.目前振動(dòng)理論常用的研究方法有Riccati變換、變分原理和積分平均技巧等，由于積分平均方法巧妙地避免了對(duì)動(dòng)力方程系數(shù)函數(shù)的限制，擴(kuò)大了結(jié)果的應(yīng)用范圍，因此廣受研究者青睞.

考慮一類廣義中立型Emden-Fowler方程

[r(t)|Z′(t)|α-1Z′(t)]′+∫abq(t,ξ)|x(δ(t,ξ))|β-1x(δ(t,ξ))dσ(ξ)=0 t≥t0

(1)

1) α>0,β>0;

3) r(t)≥0,r′(t)≥0,∫t0∞r(nóng)-1/α(s)ds=+∞；

近年來，由于在物理學(xué)和工程技術(shù)等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，Emden-Fowler方程的振動(dòng)理論引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，產(chǎn)生了大量?jī)?yōu)秀的成果，詳見文獻(xiàn)[1-12].1983年，Philos[1]建立了經(jīng)典的Emden-Fowler方程

x″(t)+q(t)|x(t)|β-1x(t)=0

的一些振動(dòng)準(zhǔn)則；1986年，Yan[2]建立了經(jīng)典的Emden-Fowler阻尼方程

x″(t)+g(t)x′(t)+q(t)|x(t)|β-1x(t)=0

的一些振動(dòng)準(zhǔn)則；2006年，Meng[3]給出了廣義Emden-Fowler方程

[r(t)|x′(t)|α-1x′(t)]′+q(t)|x(δ(t))|α-1x(δ(t))=0

的振動(dòng)結(jié)果；2012年,Liu[12]利用廣義黎Ricaaati變換給出一類廣義Emden-Fowler方程

[r(t)|Z′(t)|α-1Z′(t)]′+q(t)|x(δ(t))|β-1x(δ(t))=0 t≥t

(2)

在α≥β>0情形下的振動(dòng)準(zhǔn)則，由于條件α≥β>0的限制，得到的振動(dòng)結(jié)果具有很大局限性.目前，對(duì)廣義中立型Emden-Fowler方程(1)的研究還比較少.

通過構(gòu)造廣義Riccati變換和積分平均技巧得到了一類中立型廣義Emden-Fowler方程(1)的若干新的振動(dòng)準(zhǔn)則，不僅將文獻(xiàn)[12]的條件由α≥β>0推廣到α>0，β>0而且將方程(2)推廣到了更一般的方程(1)，具有重要的意義.

1 引理

引理1 設(shè)是廣義中立型Emden-Fowler方程(1)的正解，則Z′(t)>0.

證明設(shè)x(t)是方程(1)的正解，則Z(t)≥x(t)>0，由方程(1)得

[r(t)|Z′(t)|α-1Z′(t)]′=-∫abq(t,ξ)|x(δ(t,ξ))|β-1x(δ(t,ξ))dσ(ξ)≤0,

所以r(t)|Z′(t)|α-1Z′(t)最終定號(hào)，Z′(t)有2種情況，Z′(t)>0或者Z′(t)<0.

假設(shè)Z′(t)<0，由于[r(t)|Z′(t)|α-1Z′(t)]′≤0，則存在一個(gè)充分大的數(shù)t1>0及K>0使得

r(t)|Z′(t)|α-1Z′(t)=-r(t)[-Z′(t)]α≤-r(t1)[-Z′(t1)]α=-K t>t1> t0，

對(duì)上式從t1到t積分，可以得到

令t→+∞，利用3)，得到Z(t)→-∞，與Z(t)>0相矛盾，從而Z′(t)>0成立.

引理2 設(shè)x(t)是廣義中立型Emden-Fowler方程(1)的正解，則

[r(t)|Z′(t)α]′+Q1(t)Zβ(δ(t，a))≤0，

(3)

其中，Q1(t)=∫abq(t,ξ)[(1-p(δ(t,ξ)))]βdσ(ξ).

證明設(shè)x(t)是方程(1) 在[t0,+∞]上的正解，由Z(t)的定義，可得x(t)=Z(t)-p(t)x(τ(t))，利用4)，5)和Z′(t)>0，則

x(δ(t,ξ))=Z(δ(t,ξ))-pδ(t,ξ)x(τ(δ(t,ξ)))≥Z(δ(t,ξ))(1-ρ(δ(t,ξ))),

xβ(δ(t,ξ))≥Zβ(δ(t,ξ))(1-p(t,ξ)))β≥Zβ(δ(t,a))(1-ρ(δ(t,ξ)))β,

從而

∫abq(t,ξ)|x(δ(t,ξ))|β-1x(δ(t,ξ))dσ(ξ)=∫abq(t,ξ)xβ(δ(t,ξ))dσ(ξ)≥ ∫abq(t,ξ)(1-ρ(δ(t,ξ)))βdσ(ξ)Zβ(δ(t,a))，

利用方程(1)，可以得到

[r(t)Z′(t)α]′+Q1(t)Zβ(δ(t,a))≤0 .

引理3[4]設(shè)存在2個(gè)函數(shù)A(θ)>0,B(θ)>0 且 θ>0，則

(4)

1) β>α>0時(shí)，

由引理2知，[r(t)(Z′(t))α]′≤-Q1(t)Zβ(δ(t,a))≤0，所以，r(t)Z′(t)α單調(diào)遞減，

r(t)(Z′(t))α≤r(δ(t,a))(Z′(δ(t,a)))α，

Zβ/α-1(δ(t,a))≥Zβ/α-1(δ(T1,a)) t≥T1，

β>α>0時(shí)

(5)

2) α≥β>0時(shí)，

.

記m2=min{1,(Z′(T2))1-β/α}，則

從而

(6)

現(xiàn)記T=max{T1，T2}，λ=min{α,β}，所以綜合式(10)和(11)可得α>0，β>0時(shí)的廣義Riccati不等式為

(7)

2 主要結(jié)果

定理1假定1)～5)成立，x(t)是方程(1)的解，若

(8)

則方程(1)是振動(dòng)的.

證明假設(shè)x(t)是方程(1)的非振動(dòng)解，由于x(t)=0無實(shí)際意義，僅考慮x(t)≠0的情形，不失一般性，設(shè)x(t)是方程(1)的正解，由引理4得式(7)， 由引理3得

對(duì)上式從T到t積分可得

假定ρ(t)=δ(t,a)，則定理1可得以下推論

推論1 假定1)～5)成立，x(t)是方程(1)的解，則若

則方程(1)是振動(dòng)的.

給出廣義中立型Emden-Fowler方程(1)的振動(dòng)準(zhǔn)則,為此令

D0={(t,s):t>s≥t0},D0={(t,s):t≥s≥t0}

1) H(t,t)=0 t≥t0，H(t,t)>0 D；

(9)

定理2假設(shè)1)～5)成立，x(t)是方程(1)的解，如果

(10)

則方程(1)是振動(dòng)的.

證明假設(shè)x(t)是廣義中立型Emden-Fowler方程(1)的非振動(dòng)解，不失一般性，設(shè)x(t)是方程(1)的正解，由引理4得

兩邊同乘以H(t,s)，并從T到t(t>T)兩邊積分，再由引理3及方程(9)得

(11)

由方程(11)可得

(12)

與式(10)矛盾，故原假設(shè)不成立，所求得證.

若取H(t,s)=(t-s)n，則定理1可簡(jiǎn)化為Kamenev型結(jié)果如下

推論2 假設(shè)1)～5)成立，H(t,s)=(t-s)n,x(t)是方程(1)的解,如果

則廣義中立型Emden-Fowler方程(1)是振動(dòng)的.

則方程(1)是振動(dòng)的.

定理3假設(shè)1)～5)成立，x(t)是方程(1)的解，如果,

其中，T′>T>t0>0 ；

證明假設(shè)x(t)是方程(1)的非振動(dòng)解，不失一般性，設(shè)x(t)是方程(1)的正解，用定理1相同的證明過程可以得到方程(11)，由此可得

利用3)可得

(13)

利用方程(11)及3)可得

(14)

令

則由式(14)可得

(15)

1)假設(shè)

(16)

則由式(13)

與4)矛盾.所以式(16)不成立.

2) 假設(shè)

(17)

設(shè)η是一個(gè)充分小的正數(shù)，利用1)可得

(18)

由式(17)可得，對(duì)任意大的正數(shù)μ>0

(19)

(20)

由于μ為任意大的正數(shù)，根據(jù)式(15)和(20)可得

(21)

F(tn)-G(tn)≤M, G(tn)-F(tn)≥-M，

兩邊同除以F(tn)可得得t充分大時(shí)

由式(21)得

兩邊同除以F(tn)可得

利用2)可得

(24)

與方程(22)矛盾.因此假設(shè)式(17)不成立.

綜合1)和2)的證明，由于方程(16)與(17)均不成立，所以原假設(shè)不成立，從而x(t)振動(dòng)，所求得證.

3 舉 例

(25)

由定理1可知，方程(25)是振動(dòng)的.

注1 由于方程(25)中β=3，α=2，不滿足文獻(xiàn)[12]的條件，所以利用文獻(xiàn)[12]的相關(guān)結(jié)論無法得到方程(25)的振動(dòng)性.

(26)

取ρ(t)=1，H(t,s)=(t-s)2，則

由定理2可知，方程(26)是振動(dòng)的.

注2 顯然例2的結(jié)論無法由文獻(xiàn)[12]的相關(guān)結(jié)論得到.

[1] Philos C G.On a Kamenev’s integral crierion for oscillation of linear differential equations of second order[J].Utilitas Math,1983,24:277-289.

[2] Yan J. Oscillation theorems for second order linear differential equations wih damping[J].Proceedings of the American mathematical society,1986,98(2):276-282.

[3] Yuan G S, Fan W M. Note on the paper of Dzurina and stavroulakis[J].Applied Mathematics and computation,2006,174(2):1 634-1 641.

[4] Run X, Fan W M.Some new oscillation criteria for secondorder quasi-linear neutral delay differential equations[J].Applied Mathematics and computation,2006,182(1):797-803.

[5] Run X, Fan W M. Oscillation criteria for second-order quasi-linear neutral delay differential equation [J].Applied Mathematics and computation,2007,192(1):216-222.

[6] Liu L H, Bai Y C. New oscillation criteria for second order nonlinear neutral delay differential equation[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2009,231(2):657-663.

[7] Wong J S W. A Nonoscillation theorem for Emden Fowler equations[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2002,274(2):746-754.

[8] Wong J S W. A nonoscillation theorem for sublinear Emden Fowler equations[J]. Analysis and Applications 2011,1(1):71-79.

[9] Kwong M K, Wong J S W. A nonoscillation theorem for sublinear Emden Fowler equations[J]. Nonlinear Anal, 2006,64(7):1 641-1 646.

[10] Li T X, Han Z L, Zhang C H, et al. On the oscillation of second-order Emden Fowler neutral differential equations[J]. Journal of Applied Mathematics and computation,2011,37(1/2):601-610.

[11] 李同興，韓振來，張承慧,等.時(shí)間尺度上三階Emden-Fowler時(shí)滯動(dòng)力方程的振動(dòng)準(zhǔn)則[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2012，32(1)：222-232.

[12] Liu H D,Fan W M,Liu P C. Oscillation and asymptotic analysis on a new generalized Emden Fowler equation[J].Applied Mathematics and computation,2012,219(5):2 739-2 748.

Oscillation Criterion of A Generalized Emden-Fowler Equation

Hui Yuanxian, Wang Junjie

(Mathematics Department, Puer University, Puer 665000, China)

In our report, the oscillation properties of a generalized neutral Emden-Fowler equation were analyzed. The generalized Riccati inequality was obtained by constructing the generalized Riccati transformation. The integral averaging technique was used to construct some new sufficient criterias which ensure that any solution of this equation will be oscillatory or conerge to zero. The conclusions extended and improved the results in recent literatures, and a number of examples were used to prove the efficiency.

a generalized neutral Emden-Fowler equation; generalized Riccati transformation; oscillation criteria

2016-04-13

云南省教育廳基金(2015Y490)；普洱學(xué)院科研創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)(2015CXTD003)；普洱學(xué)院校級(jí)課題(2015xjkt020)

惠遠(yuǎn)先(1983-)，男，河南南陽人，講師，碩士，研究方向：微分方程、數(shù)學(xué)模型，E-mail：huiyuanxian1983@126.com

1004-1729(2016)04-0330-08

O 29

A DOl：10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2016.0050