孫聰　艾文寶

摘要：考慮無線中繼通信系統(tǒng)，一對單天線用戶在多個多天線中繼的輔助下通信。假設中繼的功能僅簡單地放大轉(zhuǎn)發(fā)用戶信號。本文建立了傳輸速率極大化的模型，以同時優(yōu)化用戶發(fā)送功率及中繼轉(zhuǎn)發(fā)矩陣。本文運用分式優(yōu)化等技巧，將相應的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列二次約束二次規(guī)劃子問題。通過顯式表達式給出二次約束二次規(guī)劃子問題的次優(yōu)解。模擬實驗表明，相比較已有的梯度法，本方法用非常少的時間、獲得更高的傳輸速率。

關鍵詞：通信與信息系統(tǒng)；放大轉(zhuǎn)發(fā)中繼；低復雜度；分式優(yōu)化

中圖分類號：TN92 文獻標識碼：A DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2016.04.001

0 引言

近期關于中繼輔助通信的研究不斷涌現(xiàn)。由于障礙、信道衰落等原因，用戶之間直接通信的信道可能很差，此時則需要中繼站輔助通信，以提高用戶間通信的有效性和可靠性。中繼的工作方式有很多種，包括放大轉(zhuǎn)發(fā)、壓縮轉(zhuǎn)發(fā)和解碼轉(zhuǎn)發(fā)等。其中放大轉(zhuǎn)發(fā)的中繼原理簡單、復雜度低，因此相關的研究較多?，F(xiàn)有的參考文獻中有很多旨在設計、優(yōu)化中繼的轉(zhuǎn)發(fā)矩陣，以提升信道的性能。針對多個單天線中繼輔助的一對單天線用戶，分析了不同情形下的中繼轉(zhuǎn)發(fā)系數(shù)，以極大化信噪比，并給出顯式最優(yōu)解。將通信模型推廣到多對用戶，考慮在信噪比達到下界的前提下極小化中繼的總發(fā)送功率，并通過半定規(guī)劃松弛算法求解中繼的轉(zhuǎn)發(fā)系數(shù)；針對同一個通信模型，提出了針對等式的非凸逐步二次規(guī)劃算法，并求得問題的KKT點；將問題的可行域縮小，得到一個二階錐規(guī)劃，用較低的計算復雜度求得問題的可行解?？紤]一對多天線用戶由多個多天線中繼輔助，求解了接收信號與發(fā)送信號均方差極小化的問題。在2×2×2（兩對用戶、兩個中繼）的信道中，利用方程組的求解聯(lián)合設計預編碼和中繼轉(zhuǎn)發(fā)矩陣，以消除用戶之間的干擾。在雙向中繼、一對用戶的信道模型中，運用梯度法求解傳輸速率極大化的問題。在上述的參考文獻中，為求解中繼的轉(zhuǎn)發(fā)矩陣，所運用的算法往往具有較高的計算復雜度。本文則針對特定的通信模型和問題，提出了低復雜度的高效算法。文章具體結(jié)構(gòu)如下：第一節(jié)主要介紹本文考慮的多個多天線中繼輔助下的一對單天線用戶通信模型和過程；第二節(jié)提出具體的問題和算法；第三節(jié)給出數(shù)值實驗和比較結(jié)果。

符號說明：×表示Kronecker積。I_d是d維單位矩陣。R={1，2，…，R}代表中繼的指標集合。diag{A₁，…，A_n}表示以A_i，i=l，…，n為對角的塊對角矩陣。IE（·）表示取隨機變量的期望。

1 系統(tǒng)模型

考慮一個多中繼輔助的單用戶半雙工通信模型，其中中繼的個數(shù)是R。用戶的發(fā)送端和接收端都是單天線的；第r個中繼有L_r根天線，對任意r∈R成立。假設用戶傳輸?shù)男盘杝已經(jīng)過歸一化處理，都滿足IE（|s|²）=1。這里假設用戶之間沒有直接相連的信道，全局的信道信息已知。

考慮轉(zhuǎn)發(fā)放大的中繼工作模式。通信的過程分為兩個時段。第一時段，用戶把信號√ps發(fā)送給每個中繼，這里p是用戶的發(fā)送功率。此時每個中繼得到信號x_r=√pg_rs+n_r，這里g_r∈C^L_r×1是發(fā)送端到第r個中繼的信道；n_r是在第r個中繼處的噪聲，其均值為零、方差為σ²_rI_Lr對任意r∈R成立。第二時段，第r個中繼在信號x_r上乘上自己的轉(zhuǎn)發(fā)矩陣W_r∈C^L_r×L_r，再將t_r=W_rx_r發(fā)送給接收端。最終接收端處得到的信號為其中h_r∈C^L_r×1是第r個中繼到接收端的信道；z是接收端處的噪聲，其均值為零、方差為μ²。

2 速率極大化算法

假設所有的信號和噪聲相互獨立。這里，第r個中繼的發(fā)送功率為IE（||t_r||²₂）=p||W_rg_r||²₂+σ²_r||W_r||²_F。本文希望聯(lián)合優(yōu)化用戶的發(fā)送功率p和所有的中繼轉(zhuǎn)發(fā)矩陣{W}={W_r，r∈R），以極大化傳輸速率：在用戶和每個中繼的發(fā)送功率約束下，相應的優(yōu)化問題表達式為：（1）這里p^U和p^R_r分別為用戶和每個中繼的發(fā)送功率上限。通過類似于[1，SectionⅢ一A]的分析，我們可證明，在（1）中，最優(yōu)的p應取p^U。令p=p^U。令w_r∈C^L2_r×1是將矩陣W_r按列排放得到的列向量；D=diag（I_Lr1×h₁h₁^H，…，I_LR×h_RH^H_R）；J_r=（p^Ug_rg^H_r+σ²_rI_Lr）^T×I_Lr；Q=t^Ht，其中t=（（g₁×h₁）^T，…，（g_R×h_R）^T）。則（1）可等價地轉(zhuǎn)化為下面優(yōu)化問題的求解：

（2）通過Dinkelbach的技巧，我們可以在每步迭代的過程中求解如下問題：

（3）在此基礎上，我們可以證明問題（2）和（3）具有相同的KKT點。問題（3）是一個非凸的二次約束二次規(guī)劃問題，想要求得它的最優(yōu)解也很困難。為了降低問題的復雜度，我們用（3）的可行解w=ηJx來更新變量w。這里x是矩陣J（Q-CD）J的最大特征值對應的單位特征向量，其中J=diag{J₁^-（1/2），…，J_R^-（1/2）}。J_r是正定矩陣，因此根據(jù)其特征值分解Q_JD_JQ^H_J，可得到J_r^-（1/2）=Q_JD_J^-（1/2）Q^H_J，其中D_J^-（1/2）是一個對角矩陣，其中每個對角元素是D_r相應對角元素的開方倒數(shù)。

根據(jù)上述分析，我們總結(jié)求解問題（1）的傳輸速率極大化算法如下：

算法1（傳輸速率極大化算法）

Step 1：令p=p^U。選取初始點W_r，r∈R，構(gòu)造初始的w，以及初始參數(shù)C=C_n。給定終止參數(shù)ε和k_max。k=0。

Step 2：更新變量w：w=ηJx。更新參數(shù)c：

step 3：若|C_k+1-C_k|<ε，或k=k_max，算法終止，由w構(gòu)造得到中繼轉(zhuǎn)發(fā)矩陣W_e，r∈E；否則，k=k+1，轉(zhuǎn)step 2。

3 數(shù)值實驗

針對不同配置的中繼網(wǎng)絡，圖1畫出了我們提出的算法與梯度法所得到的傳輸速率隨著sNR值變化的曲線。從中我們可以觀察到，兩種算法得到的傳輸速率都隨著系統(tǒng)sNR值的增大而線性增加；無論是改變中繼的個數(shù)還是改變每個中繼的天線數(shù)，算法1總能得到比梯度更高的傳輸速率。表1還給出了在不同信噪比下，兩種算法的平均計算時間。算法1的每步更新具有顯式表達，而梯度法的每輪迭代則需要內(nèi)循環(huán)來確定迭代步長。從表1也能觀察到，算法1的計算復雜度比梯度法更低。

實驗結(jié)果表明，相比較梯度法，我們提出的算法能夠在更短的時間內(nèi)求得更高的傳輸速率。

4 結(jié)論

本文針對多天線的多中繼輔助的單天線單用戶通信系統(tǒng)，建立了傳輸速率極大化優(yōu)化模型，且用戶和每個中繼具有發(fā)送功率約束。通過分析和分式優(yōu)化等技巧，我們將問題轉(zhuǎn)化為一系列的二次約束二次規(guī)劃，并通過其顯式表達的可行解進行迭代求解。實驗表明，相比較梯度法，本文提出了計算時間更短、傳輸速率更高的傳輸速率極大化算法。