☉江蘇省梅村高級中學 范永明

復習教學中練習講評的有效性探索

☉江蘇省梅村高級中學 范永明

一、問題的提出

數(shù)學練習講評是數(shù)學教學必不可少的工作，而且數(shù)學學科的特點決定了練習講評是必不可少的．從學生反饋中，教師可以發(fā)現(xiàn)易錯問題所在．但是如何有效地講評練習卻一直是數(shù)學教學研究的重要問題之一．單墫教授談到中學數(shù)學教學時指出：講評中學數(shù)學問題要大氣，要以所學基本知識為載體發(fā)散輻射，注重對數(shù)學問題本質(zhì)的思考和探究，不要過于追求枝節(jié)，從問題所反映的數(shù)學本質(zhì)去發(fā)展學生的思維和能力．

二、講評的原則

1.針對性

筆者以為，這里的針對性主要針對兩個方面：第一是練習的講評、試卷的分析自然必須針對所授課學生，要適合授課學情為首要條件；第二是針對學生所犯共性錯誤的深入思考，不必面向所有問題，要做到共性錯誤的研究是講評的關(guān)鍵．

2.互動性

練習講評應(yīng)體現(xiàn)教師主導，師生共同參與的原則．不少的課堂練習講評，往往是教師唱獨角戲，教師一個人從頭講到尾，這種練習講評的效果可想而知．有教學經(jīng)驗的教師都知道，課堂效率的好壞不在于教師講評多少時間，更要學會放手學生，從講評中提高有效的思維訓練、提供足夠的思想方法，學生的恰當參與是提高效率的關(guān)鍵．這種學生參與的講評往往從互動性角度來說，是合乎課程改革的方向．

3.啟發(fā)性

思維的啟發(fā)才是練習講評的主要目的，不要為了講評試題的技巧而大做文章，這是練習講評的大忌．教師要從積極啟發(fā)學生思維的角度出發(fā)，講評不應(yīng)只是就題論題而是要高屋建瓴，要講解習題的內(nèi)在規(guī)律、知識的縱橫聯(lián)系．啟發(fā)學生積極思考，建立知識網(wǎng)絡(luò)、形成數(shù)學思想、提高思維能力．

三、提高練習講評有效性的探索

1.一題多解拓展思維

練習講評時，教師要善于挖掘值得研究的問題，并從多個角度思考學生為什么解不好這樣的問題？一題多解是比較好的策略．這樣既對共性問題進行了辯解，也深入了挖掘了多數(shù)學生犯錯的原因，并將不同的思路進行了梳理、開拓，有助于學生思維的發(fā)展、思維品質(zhì)的提高．

問題1若實數(shù)x，y滿足x2+y2=1，則（1-xy）（1+xy）的最小值是________．

分析：由題目的已知條件大多數(shù)學生能夠給出考慮結(jié)合均值不等式求解，從而得到思路1（均值不等式法）．

解法1：因為（1-xy）（1+xy）=1-x2y2≥1當且僅當，（1-xy）（1+xy）的最小值是

教師可以啟發(fā)學生從x2+y2=1的結(jié)構(gòu)特征入手，思考其他解法．有學生嘗試三角換元得到思路2（三角換元法）．

解法2：因為x2+y2=1，所以設(shè)x=cosθ，y=sinθ，所以（1-xy）（1+xy）=1-x2y2=1，故（1-xy）（1+xy）的最小值是

教師肯定學生的以上解法繼續(xù)引導學生：所求表達式中有兩個變量，能否通過減少變量轉(zhuǎn)化為一個變量的函數(shù)求最值？這時學生也比較有積極性，思考后給出了思路3（函數(shù)法）．

解法3：因為x2+y2=1，所以y2=1-x2，所以（1-xy）（1+

又因為0≤x2≤1，所以時，（*）式有最小值

共同討論出以上常規(guī)解法后，有學生又給出了思路4（方程法）．

解法4：設(shè)z=（1-xy）（1+xy）=1-x2y2，當x2=0時，（1-xy）·（1+xy）=1，當x2≠0時，y代入x2+y2=1得，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x2的一元二次方程x4-x2+1-z=0在（0，1］有解的問題，通過求解可得（1-xy）（1+xy）的最小值是

通過以上幾種解法學生能夠掌握求最值問題的一般思路，開闊了學生的思維．過多過密的解題訓練，制約學生思維能力的發(fā)展、基本技能的形成，同時使學生更加疲勞、厭倦學習．通過一題多解的教學設(shè)計，從不同學生思維的角度入手，既解決了有些學生有想法行不通的可能，又讓其他學生打通了多種角度思考問題的可能，這種一題多解型的練習講評是符合當下數(shù)學教學的，是綜合性知識能力的體現(xiàn)、是學生知識整合的貫通，符合現(xiàn)階段練習講評的要求．

2.一題多變觸類旁通

變式教學是復習教學常常采用的重要策略，這也是中國數(shù)學教學多年流傳下的傳統(tǒng)．從發(fā)現(xiàn)的問題中，將知識運用的體系從一個問題拓展到一類問題、幾類問題使講評的效果大大增加，提高學生對知識融會貫通的可能性，促進自身知識體系網(wǎng)絡(luò)的建立．

問題2已知函數(shù)f（x）=8x2+16x-k，g（x）=2x3+5x2+4x其中k為實數(shù)，對于任意的x∈［-3，3］都有f（x）≤g（x），求k的取值范圍．

變式1：對于任意的x1∈［-3，3］，任意的x2∈［-3，3］都有f（x1）≤g（x2）成立，求k的取值范圍．

變式2：對于任意的x1∈［-3，3］，都存在x2∈［-3，3］使得f（x1）≤g（x2）成立，求k的取值范圍．

變式3：對于任意的x1∈［-3，3］，都存在x2∈［-3，3］使得f（x1）=g（x2）成立，求k的取值范圍．

分析：問題2可以轉(zhuǎn)化為f（x）-g（x）≤0在x∈［-3，3］恒成立問題，通過構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），等價于h（x）max≤0；變式1等價于f（x）max≤g（x）min，從而轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)的最值問題；變式2等價于f（x）max≤g（x）max；變式3可以轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值域關(guān)系的問題，即要同時滿足f（x）max≤g（x）max和f（x）min≥g（x）min．

單變量恒成立問題是中學恒成立問題的基礎(chǔ)，練習中以問題2為例進行了適當?shù)狞c播，其次教師給出三種不同的變式，很明顯從單變量恒成立上升到雙變量恒成立的問題、存在性問題等，從教學來看，通過一個合適的問題作為引導，將中學數(shù)學中較為常見的多變量恒成立、存在性問題引入，大大增加了復習教學的效率，強化了基本知識的處理和轉(zhuǎn)化思想的滲透．

3．合理推廣追根溯源

練習講評需要思考問題的本質(zhì)，需要重塑知識的理解，教師對于問題要恰當發(fā)揮，研究問題的延伸、追求問題根源，形成知識間牢固的網(wǎng)絡(luò)．

（1）求橢圓Ω的方程；

（2）設(shè)切點坐標為A（x1，y1），B（x2，y2），直線l上一點M的坐標（4，t），則切線方程分別為1．又兩切線均過點M，即，即點A，B的坐標都適合方程而兩點確定唯一的一條直線，故直線AB的方程是，顯然對任意實數(shù)t，點（1，0）都適合這個方程，故直線AB恒過定點C（1，0）．

探究1所求定點（1，0）恰是橢圓的右焦點，直線x= 4恰是橢圓的右準線．那么這是一個巧合嗎？（提出問題，激發(fā)學生的學習興趣和求知欲）

可以進一步進行探究，學生發(fā)現(xiàn)其結(jié)論對于任意橢圓都成立．

推廣：對于其他圓錐曲線上述結(jié)論成立嗎？（成立，類似論證可自行操作）

留給學生自主探索時間，分組討論，研究對于拋物線和雙曲線上述結(jié)論是否成立．通過小組交流討論，可以證明上述結(jié)論對于雙曲線和拋物線也成立，所以可以推廣到一般情形．通過以上的練習講評不僅可以得到知識結(jié)論，更重要的是可以培養(yǎng)學生提出問題、分析問題和解決問題的思維習慣．讓這種步驟貫穿于問題解決的始終，從而形成一種良好的解題品質(zhì)．

總之，在復習教學中，要讓練習講評來得有效和高效，是值得一線教師深深思考的問題．從現(xiàn)階段教學現(xiàn)狀來看，我們更多的時候是不斷在解決問題、訓練熟練程度，卻對于問題本身、問題背后的思考顯得尤為稀少，這樣的教學久而久之只能演化為模式化解題的誤區(qū)，沒有辦法讓學生靜下心思考知識背后的數(shù)學本質(zhì)．筆者非常認可羅增儒教授所說的：你沒有重點的分析、面面俱到、就題論題，學生很多問題都沒有聽進去，你要是合理梳理、有效拔高，學生聽到的恰恰是練習中的重點，正是講評中那些有效的閃光點才讓學生獲得了更多的收獲．

因此筆者建議練習講評遵從文中所述原則，進行多角度的思考．從復習教學的效果來看，一題多解、一題多變是最常用的練習講評策略，尋根溯源也是不錯的一個有效策略，除此之外還可以從反思錯誤入手、注重思想角度入手等等，這些都是試卷練習講評的有效策略．限于篇幅，未能一一展開其他方面，懇請讀者補充．

1．魏詩明．“試卷講評課”授課技藝談［J］．數(shù)學教學研究，2013（10）．

2．章恒群．讓試卷講評課成為一潭活水［J］．數(shù)學教學，2014（6）．

3．王淑芳．試卷講評的有效性初探［J］．中學數(shù)學研究，2015（6）．