單志超，周家新，劉賢忠，楊 磊，趙海英

（1.海軍航空大學(xué)，山東煙臺264001；2.92351部隊，海南三亞572000；3.92474部隊，海南三亞572018）

鐵磁性目標(biāo)在地球磁場的磁化下產(chǎn)生的磁場與其周圍的地磁場疊加產(chǎn)生磁異常[1-2]，航空磁探儀通過探測磁異常信號來發(fā)現(xiàn)目標(biāo)[3]。為提高航空磁探儀的檢測能力[4]，進一步對鐵磁性目標(biāo)進行定位和識別[5]，需要建立鐵磁性目標(biāo)磁場預(yù)測模型生成目標(biāo)的高空磁場分布為航空磁探儀提供目標(biāo)信號參考[6]。高精度的目標(biāo)磁場預(yù)測模型不但能夠用于輔助航空磁探[7-9]，還可以應(yīng)用于磁性導(dǎo)航[10]、艦船消磁[11]等領(lǐng)域。

目前，建立水下鐵磁性目標(biāo)磁場預(yù)測模型的方法主要有邊界元法[12]、積分方程法[13]、有限元法[14]和磁體模擬法[15-18]。邊界積分法和曲面積分法對鐵磁性目標(biāo)磁場建模的原理與邊界元法相同[12]。磁體模擬法主要有磁偶極子模擬[15]、旋轉(zhuǎn)橢球體模擬[19]以及面磁荷模擬等方法。有限元法通過計算有限區(qū)域內(nèi)的標(biāo)量磁位來求解空間場點的總磁場[14]。在近場范圍內(nèi)，有限元需要剖分的場域小，能夠進行精細剖分，計算精確。當(dāng)計算場域較大時，有限元法需要進行大量的剖分，實時性和計算精度下降。積分方程法將鐵磁目標(biāo)源區(qū)進行離散化，分解為一個個鐵磁性目標(biāo)源，將空間場點處的磁場值認為是源區(qū)所有目標(biāo)源的疊加。三維積分方程法考慮目標(biāo)源的三維特性，減少假設(shè)條件，使得計算精度較傳統(tǒng)的二維積分方程法更高。

1 三維積分方程法的基本原理

空間磁場預(yù)測點P(x,y,z)處的磁場可以認為是源區(qū)的鐵磁體以及空間自由電流的矢量疊加，如圖1所示，則點P處的磁場為：

式（1）中：HJ(P)為源區(qū)中空間電流在點P處產(chǎn)生的磁場；HM(P)為源區(qū)中鐵磁性物體產(chǎn)生的磁場。

通過求解空間中的標(biāo)量磁位分布φ(P)，可以解得源區(qū)中鐵磁性物體產(chǎn)生的磁場：

式（2）、（3）中：grad為梯度算子；BM(P)為源區(qū)中鐵磁性物體產(chǎn)生磁場的磁感應(yīng)強度；μ0=4π×10-7H/m為真空磁導(dǎo)率。

建立如圖2所示的柱坐標(biāo)，由矢量格林公式可以得到，空間場點P處的標(biāo)量磁位為：

式（4）中：div為散度算子；M(N)為空間場點N處的磁化強度；rNP為空間點P到場點N的矢徑；Vm為場點N處磁源的體積；n是邊界Sm的外法相矢量。

在柱坐標(biāo)系中，可以得到：

當(dāng)Mr和Mz為常數(shù)時，可以得到：

式（7）中，curl為旋度算子。

在航空磁異常探測中，鐵磁性目標(biāo)的高磁場無法直接使用式（4）、（5）得到，一般認為源區(qū)的空間自由電流J=0，則可以得到點P處的磁感應(yīng)強度為：

在柱坐標(biāo)系中，磁場強度可分解為Hr和Hz兩個分量。航空磁探中鐵磁性目標(biāo)的磁體材料一般可以認為是均勻，將磁源剖分成N1個單元，并假設(shè)第n個單元處磁化強度滿足

式中，n=1,2,…,N1為剖分單元的編號。

則可以得到：

式（10）、（11）中：|H|表示磁場強度的絕對值；χ(|H|)表示材料的磁化率；是由第n個磁源位置以及空間觀測點P決定的幾何系數(shù)，其物理含義是第n個磁源的單位磁化強度在空間觀測點P處產(chǎn)生的磁場強度。

式（12）～（16）中：rN1、rN2、zN1、zN2分別為柱坐標(biāo)系中第n個單元的邊界，rN1＜rN2＜zN1＜zN2。

2 水下目標(biāo)磁場預(yù)測模型

根據(jù)三維積分方程法的基本原理，求解N1個離散單元內(nèi)部的磁感應(yīng)強度。

式中：μri為第i個單元在地磁場磁化下的磁導(dǎo)率；vi為第i個單元的中心；Qi為第i個單元的中心。

由式（17）即可實現(xiàn)水下目標(biāo)在空間任意場點P處磁場的預(yù)測。直接計算式（17）中耦合系數(shù)體積分形式相當(dāng)困難，不妨先將其轉(zhuǎn)化為等價面積分形式。對線性均勻磁介質(zhì)或均勻磁化單元，假設(shè)源區(qū)內(nèi)的自由電流為0，由矢量恒等式和高斯散度定理可以得到：

式（18）中：si為第i個單元的表面積；ni為第i個單元的外法線方向單位矢量。

對式（18）進行負梯度運算可得：

進而有：

將面積分中矢量展開成分量形式，可得式（20）的矩陣形式：

由式（21）可以看出，該單元耦合系數(shù)各元素為面積分形式，較體積分形式更方便求解。由于計算場點取在單元中心，而面積分在單元表面進行，即使當(dāng)i=j時，面積分耦合系數(shù)的計算也不存在積分奇異性問題，耦合系數(shù)具體求解過程可以參見文獻[17]。

3 模型精度理論驗證

為檢驗本文的水下目標(biāo)磁場預(yù)測模型精度，使用鐵磁性長方體對模型精度進行驗證。圖3所示為鐵磁性長方體，磁化率為99，長1 m，寬0.5 m，高0.3 m，放置在地磁場垂向分量為34 500 nT的外部磁場中。鐵磁性長方體的空間磁場分布計算可以參見文獻[17]。

以鐵磁性長方體中心為原點，長方體的長軸指向磁東向，建立圖4坐標(biāo)系。其中：X軸平行于水平面，以指向地磁東向為正，稱縱軸；Y軸平行于水平面，以指向地磁南向為正，稱橫軸；Z軸垂直于水平面，以向下為正，稱垂軸。Bx、By、Bz分別是水下目標(biāo)空間磁場BP在X軸、Y軸、Z軸的投影，分別稱縱向、橫向、垂向分量?？臻g磁場預(yù)測點P取在長方體中心正上方，x∈[-10m,10m]，y=0 m，z=-3 m?？臻g磁場預(yù)測值與理論值的對比如圖5所示。

由圖5的鐵磁性長方體空間磁場理論值與磁場預(yù)測模型計算得到的預(yù)測值的對比，可以發(fā)現(xiàn)，本文建立的水下目標(biāo)磁場預(yù)測模型在磁場的變化趨勢、幅度上擬合較準(zhǔn)確。

4 實驗驗證

實驗使用長半軸為1 m短半軸為0.35 m的鐵磁性長旋轉(zhuǎn)橢球體作為水下目標(biāo)，以橢球體的中心作為坐標(biāo)原點，測量橢球體正上方x∈[-10 m,10 m]，y=0 m，z=-5 m處的磁感應(yīng)強度值。實驗中，磁場測量使用G858銫光泵磁力儀，分辨率可達0.05 nT。根據(jù)磁場預(yù)測模型，計算空間場點的磁場三分量預(yù)測值，將三分量預(yù)測值投影到地磁場方向與光泵測量值進行比較，結(jié)果如圖6所示。

圖6為磁感應(yīng)強度預(yù)測值BP和實際測量值BM，平均絕對誤差A(yù)T和平均相對誤差A(yù)R定義如下：

可計算得：AT=0.320 5 nT，AR=12.368%。

5 結(jié)論

本文使用三維積分方程法對水下目標(biāo)的空間磁場進行建模，通過鐵磁性長方體對模型進行理論驗證，使用銫光泵磁力儀測量鐵磁性長旋轉(zhuǎn)橢球體的高空磁場；然后，用本文的預(yù)測模型推算鐵磁性長旋轉(zhuǎn)橢球體的磁場，根據(jù)實際測量的磁場數(shù)據(jù)和預(yù)測值進行比較。結(jié)果表明，預(yù)測模型的推算精度較高，平均絕對誤差為0.320 5 nT，平均相對誤差為12.368%。

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