陳 剛，王 信

（湖南工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 株洲 412007）

分析時變時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的新判據(jù)

陳 剛，王 信

（湖南工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 株洲 412007）

通過Lyapunov-Krasovskii泛函方法對時變時滯線性系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行分析，獲得了新的穩(wěn)定性判據(jù)。構(gòu)造一個合適的Lyapunov泛函，采取基于自由矩陣的積分不等式處理其中的積分項。根據(jù)Lyapunov-Krasovskii穩(wěn)定性定理，針對該系統(tǒng)建立一個新的時滯相關(guān)條件。從數(shù)值對比可看出，該條件具有更小的保守性。

Lyapunov-Krasovskii泛函；穩(wěn)定性判據(jù)；基于自由矩陣的積分不等式

0 引言

在控制領(lǐng)域，時滯現(xiàn)象廣泛存在，而時滯的存在往往會對系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及其他性能產(chǎn)生不好的影響。比如，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中的網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延，會導(dǎo)致控制系統(tǒng)的性能下降。因此，對時滯現(xiàn)象的研究具有重要的理論和實(shí)際意義。

在時滯系統(tǒng)中，對時滯相關(guān)穩(wěn)定性的研究是一個十分熱門的課題。其主要研究內(nèi)容是，在時間相關(guān)領(lǐng)域下獲得能夠保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯相關(guān)穩(wěn)定性判據(jù)以及最大時滯界限。近年來，已有大量時滯系統(tǒng)的時滯相關(guān)穩(wěn)定性判據(jù)被導(dǎo)出（見文獻(xiàn)[1-7]）。為獲得含有時滯信息并且保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的時滯相關(guān)條件，各種模型變換方法和對交叉項的界定公式相繼被提出（見文獻(xiàn)[8]）。但是模型變換后與原系統(tǒng)的不等價以及對交叉項界定的不精確導(dǎo)致了保守性的產(chǎn)生。為了得到具有更小保守性的穩(wěn)定性判據(jù)，E.Fridman等[9]提出了廣義模型變換方法，這種方法使變換后的模型與原系統(tǒng)等價，但是仍然無法避免對交叉項的界定，因此，這種方法必然也具有保守性。針對該問題，文獻(xiàn)[4]提出了自由權(quán)矩陣方法，這種方法無需進(jìn)行模型變換以及對交叉項的界定，能夠獲得具有更小保守性的穩(wěn)定性判據(jù)，數(shù)值分析結(jié)果見文獻(xiàn)[10]。同比之下，文獻(xiàn)[8]提出了積分不等式方法，并將這一方法運(yùn)用在線性時滯系統(tǒng)、中立型時滯系統(tǒng)、線性時滯廣義系統(tǒng)、線性離散時滯系統(tǒng)中，經(jīng)理論分析，所得結(jié)果具有更小保守性。因此，本文所得結(jié)論是建立在文獻(xiàn)[8]所提積分不等式方法基礎(chǔ)之上。

由Lyapunov和Lyapunov-Krasovskii穩(wěn)定性定理得知，構(gòu)建Lyapunov-Krasovskii泛函（LKF）以及保證其導(dǎo)數(shù)的負(fù)定，是得到穩(wěn)定性判據(jù)的關(guān)鍵。Zeng H.B.等[11]提出Lyapunov-Krasovskii泛函方法的保守性主要來自2個方面：LKF的選取和其導(dǎo)數(shù)的界定。這也是本文在獲取有效穩(wěn)定性判據(jù)的2大難題。LKF的選取往往是通過經(jīng)驗(yàn)獲得，然而至今都未能找到規(guī)律性的方法。LKF導(dǎo)數(shù)的界定主要有：Jensen不等式[1]、Writinger積分不等式[6]、相互凸方法[2]、自由權(quán)矩陣[4]以及自由矩陣不等式[11]等方法。

在時域范圍內(nèi)，本文構(gòu)建了一個合適的LKF，利用文獻(xiàn)[11]提出的自由矩陣不等式方法，并加入自由權(quán)矩陣，獲得使時變時滯線性系統(tǒng)穩(wěn)定的穩(wěn)定性判據(jù)。實(shí)例比較證明了本方法具有更小的保守性。

本文采用的標(biāo)號[12]說明如下：Rn和Rn×m分別表示實(shí)數(shù)域的n維向量、n×m維向量的矩陣空間；矩陣X>0表示矩陣X是對稱正定陣；0和I分別表示零矩陣和單位矩陣；“⊥”表示矩陣的正交補(bǔ)；Sym{N}=N+NT；“*”表示塊矩陣的對稱項。

1 系統(tǒng)描述

時變時滯線性系統(tǒng)為

式中：x(t)∈Rn是狀態(tài)向量；A, B∈Rn是具有合適維度的矩陣；h(t)是時變時滯且滿足

為了得到主要結(jié)論，引用如下引理。

引理1[11]定義x為在區(qū)間，任意上可導(dǎo)函數(shù)。對于對稱矩陣，以及任意矩陣，滿足

則不等式

成立，

引理2[13]給定向量，以及矩陣和）。下面的不等式等價：

2 主要結(jié)論

本文用Lyapunov-Krasovskii泛函方法導(dǎo)出基于系統(tǒng)（1）的穩(wěn)定性判據(jù)。為了使表達(dá)更加簡潔，定義如下矩陣：

成立，則系統(tǒng)（1）是漸近穩(wěn)定的。

式（4）～（6）中：

當(dāng)P>0, Q>0, H>0, S>0以及Θ>0時，該函數(shù)是正定的，即V(xt)>0。對V(xt)求導(dǎo)，可得

式中

結(jié)合式（7）～（10），可以推導(dǎo)出

注釋1 由于時滯項以及時滯導(dǎo)數(shù)項的存在，定理中的矩陣不等式不能直接用LMI工具箱處理。該矩陣對時滯項以及時滯導(dǎo)數(shù)項是一個線性函數(shù)，因此，如果,同時成立，則條件（4）對所有h(t)[0, h]和[1,2]都將滿足。

注釋2 由于ξT(t)中的狀態(tài)向量，當(dāng)≥1，則不能保證。因此，定理不能應(yīng)用在≥1的情況下。

3 數(shù)值算例

考慮系統(tǒng)（1），其中

上述實(shí)例常常出現(xiàn)在各種文獻(xiàn)中，并且已經(jīng)通過電腦計算出此系統(tǒng)最大許可時滯hmax=6.172 1。當(dāng)時，將文獻(xiàn)[1], [6], [9], [11]與本文方法得到的h上界進(jìn)行比較，如表1所示。由表可知，本文方法具有一定的優(yōu)越性。

表1 當(dāng)=-1=2時，h的上界Table 1 Upper bound for h when=-1=2

方法文獻(xiàn)[9]文獻(xiàn)[1]文獻(xiàn)[6]文獻(xiàn)[11]本文方法0 4.472 6.117 6.059 6.059 6.059 0.1 3.604 4.714 4.703 4.788 4.854 0.2 3.033 3.807 3.834 4.060 4.175 0.5 2.008 2.280 2.420 3.055 3.161 0.8 1.364 1.608 2.137 2.615 2.692

4 結(jié)語

本文利用Lyapunov-Krasovskii泛函方法，對時變時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了深入地分析，通過構(gòu)造一個合適的LKF，利用文獻(xiàn)[11]中提出的自由矩陣不等式并加入了一個含有自由權(quán)矩陣的零項，得到了一個新的有效時滯相關(guān)條件。通過一個實(shí)例，將本文方法與其他文獻(xiàn)所提方法進(jìn)行比較可知，本文方法具有更小的保守性。

[1]GU K Q，KHARITONOV V L，CHEN J.Stability ofTime-Delay Systems[M].Boston：Birkhuser，2003：213-217.

[2]PARK P G，KO J W，JEONG C.Reciprocally Convex Approach to Stability of Systems with Time-Varying Delays[J].Automatica，2011，47(1) ：235-238.

[3]ARIBA Y， GOUAISBAUT F.An Augmented Model for Robust Stability Analysis of Time-Varying Delay Systems[J].International Journal of Control，2009，82(9) ：1616-1626.

[4]WU M，HE Y，SHE J H，et al.Delay-Dependent Criteria for Robust Stability of Time-Varying Delay Systems[J].Automatica，2004，40(8) ：1435-1439.

[5]ARIBA Y，GOUAISBAUT F.Input-Output Framework for Robust Stability of Time-Varying Delay Systems[C]// Conference on Decision and Control.Shanghai：IEEE，2009：274-279.

[6]SEURET A，GOUAISBAUT F.Wirtinger-Based Integral Inequality：Application to Time-Delay Systems[J].Automatica，2013，49(9) ：2860-2866.

[7]ZHANG X M，HAN Q L.Event-Based H∞& Filtering for Sampled-Data Systems[J].Automatica，2015，51(C) ：55-69.

[8]張先明.基于積分不等式方法的時滯相關(guān)魯棒控制研究[D].長沙：中南大學(xué)，2006.

ZHANG Xianming.Study on Delay-Dependent Robust Control Based on an Integral Inequality Approach[D].Changsha：Central South University，2006.

[9]FRIDMAN E，SHAKED U.A Descriptor System Approach to H∞, Control of Linear Time-Delay Systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2002，47(2) ：253-270.

[10]HE Y，WANG Q G，XIE L H，et al.Further Improvement of Free-Weighting Matrices Technique for Systems with Time-Varying Delay[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2007，52(2) ：293-299.

[11]ZENG H B，HE Y，WU M，et al.Free-Matrix-Based Integral Inequality for Stability Analysis of Systems with Time-Varying Delay[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2015，60(10) ：2768-2772.

[12]練紅海，肖伸平，陳 剛，等.基于自由矩陣不等式方法的中立型時滯系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)[J].湖南工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2016，30(5) ：37-40.

LIAN Honghai，XIAO Shenping，CHEN Gang，et al.Stability Criteria for Neutral Delay Systems Based on Free Matrix Inequalities[J].Journal of Hunan University of Technology，2016，30(5) ：37-40.

[13]SKELTON R E，IWASAKI T，GRIGORIADIS D E.A Unified Algebraic Approach to Control Design[M].New York：Taylor and Francis，1997：29-45.

（責(zé)任編輯：鄧 彬）

A New Criterion for the Stability Analysis of Time Varying Delay Systems

CHEN Gang，WANG Xin
（School of Electrical and Information Engineering，Hunan University of Technology，Zhuzhou Hunan 412007，China）

A new criterion has been obtained for the stability analysis of time varying delay systems by adopting Lyapunov-Krasovskii functional method.An appropriate Lyapunov functional has thus been constructed, with the integral term to be treated by an integral inequality based on free matrix.Based on Lyapunov-Krasovskii stability theorem, a new delay dependent condition is to be established for the system.It can be seen from the numerical comparison that the condition is less conservative, thus demonstrating the validity of the criterion.

Lyapunov-Krasovskii’s functional（LKF）；stability criterion；free-matrix-based integral inequality

TP13

A

1673-9833(2017)01-0060-04

10.3969/j.issn.1673-9833.2017.01.011

2016-10-13

廣東省特種光纖材料與器件工程技術(shù)研究開發(fā)中心開放基金資助項目

陳 剛（1977-），男，湖南新化人，湖南工業(yè)大學(xué)副教授，主要從事魯棒控制，時滯系統(tǒng)，網(wǎng)絡(luò)控制等方面的研究，E-mail：drchengang@163.com

王 信（1992-），男，湖南張家界人，湖南工業(yè)大學(xué)碩士生，主要研究方向?yàn)轸敯艨刂?，時滯系統(tǒng)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等，E-mail：463838108@qq.com