基于AR模型和譜熵的自適應小波包絡檢測

何 翔 高宏力 郭 亮 吳遠昊

西南交通大學機械工程學院，成都，610031

基于AR模型和譜熵的自適應小波包絡檢測

何 翔 高宏力 郭 亮 吳遠昊

西南交通大學機械工程學院，成都，610031

針對傳統(tǒng)故障診斷的包絡問題，提出了一種基于自回歸(auto regressive,AR)模型和譜熵的自適應復解析小波包絡檢測方法。通過AR模型從數(shù)據(jù)內(nèi)在規(guī)律性上剔除機械振動信號中可線性預測的平穩(wěn)成分，提取共振衰減的非平穩(wěn)成分，在不同頻帶下進行復解析小波包絡，結(jié)合譜熵在頻域內(nèi)與通帶濾波的相關(guān)性選定最佳包絡。仿真和試驗數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，該方法能有效地提取故障特征頻率，較傳統(tǒng)方法自適應性更強，魯棒性更高，包絡效果更好，在工程應用中具有良好的前景。

自回歸預測；小波變換；譜熵；包絡檢測

0 引言

齒輪、軸承、絲杠等旋轉(zhuǎn)機械在通用機械零部件中應用廣泛，其運行狀態(tài)往往直接影響整個機械系統(tǒng)的工作精度、壽命和可靠性，所以對旋轉(zhuǎn)機械零部件的診斷和檢測甚為重要[1]。當零部件出現(xiàn)磨損、點蝕、變形等故障時若繼續(xù)受載運轉(zhuǎn)，則轉(zhuǎn)軸每轉(zhuǎn)一周其工作表面會產(chǎn)生一個或多個沖擊信號，呈周期性自由衰減。提取沖擊信號能判別該零部件的故障及類型。包絡檢測又稱共振解調(diào)法，是目前最常用的旋轉(zhuǎn)機械振動特征提取技術(shù)之一，可以有效提取表征零部件固有頻率的載波以及起調(diào)制作用的信號沖擊成分。但該技術(shù)局限性在于需要依據(jù)歷史經(jīng)驗來確定解調(diào)頻帶參數(shù)，而主觀因素會大大影響分析結(jié)果的穩(wěn)定性。

近年來，學者們嘗試運用新技術(shù)對振動信號進行濾波及包絡檢測，效果顯著。ANTONI[2]提出了譜峭度，選取帶通濾波參數(shù)，優(yōu)化包絡解調(diào)效果。張根保等[3]以蟻群算法輔助經(jīng)驗模式分解，提出了優(yōu)化的閥值去噪方法。文獻[4]利用雙譜切片有效去除了高斯噪聲。何嶺松等[5]提出了一種綜合小波變換和復小波實現(xiàn)包絡檢測的算法，在全時頻空間對信號進行包絡處理。在此條件下，郭瑜等[6]優(yōu)化了濾波參數(shù)篩選算法，結(jié)合譜峭度和Morlet小波進行檢波，降低了計算量。廖慶斌等[7]通過時序相關(guān)分析對信號進行預處理，進一步豐富了故障診斷的手段。

為了提高旋轉(zhuǎn)機械在復雜工作環(huán)境下特征提取的準確性及自主性，本文提出了一種基于AR模型和譜熵的自適應小波包絡檢測新方法。該方法運用AR模型對信號進行參數(shù)化建模，提取共振衰減的非平穩(wěn)成分，通過全頻帶范圍內(nèi)不同頻帶的復解析小波進行包絡，利用譜熵與頻域規(guī)律性的相關(guān)性特征，自適應選定最佳小波包絡的參數(shù)。

1 AR模型

AR模型是隨機信號參數(shù)化分析的重要工具，它定義隨機信號是白噪激勵線性系統(tǒng)的響應，將信號通過參數(shù)模型加以描述。其參數(shù)對系統(tǒng)狀態(tài)敏感，表征系統(tǒng)本質(zhì)，故將其引入信號包絡檢測領域[8]。

AR模型由線性回歸擴展而來。取序列x，AR階數(shù)p，則y的AR(p)模型可以表示為

(1)

n>p

其中，ak是模型加權(quán)參數(shù)，ω(n)是零均值的白噪聲過程序列，其方差表征了線性預測的估計誤差[9]?；贏R模型預測信號成分的特性可知，就平穩(wěn)信號而言，ω(n)為高斯白噪聲；而發(fā)生故障時，則ω(n)包含非平穩(wěn)成分。

2 復解析小波包絡原理

機械故障診斷中，對振動信號包絡檢測可以有效提取故障信號，一般采用Hilbert變換。小波變換是近年來興起的時頻分析工具，它有效減小了傅里葉變換的計算量。本文采用復解析小波提取振動信號包絡。

2.1 小波變換

小波變換繼承了短時傅里葉變換局部化的優(yōu)勢，將信號于小波域展開，避免其時頻域分辨率上的局限性。小波函數(shù)族ψa,b(t)由小波基ψ(t)平移伸縮得到：

(2)

式中，a為尺度參數(shù)(a>0)；b為定位參數(shù)。

對于有限能量信號x(t)連續(xù)小波變換，即以小波函數(shù)族ψa,b(t)為實函數(shù)的積分變換，可以表示為

(3)

x(t)∈L2(R)

其中，L2(R)是實數(shù)域上的2范數(shù)空間，如內(nèi)積空間。ψ(t)具有帶通特性，小波變換即在尺度a，通過中心頻率fc和帶寬σ的濾波器對信號x(t)進行濾波：

Q=fc/σ

(4)

式中，Q為小波品質(zhì)因子(Q為常數(shù))，表征帶通特性。

以復Morlet小波為例。如圖1所示，不同尺度a下，fc與σ成正比。且根據(jù)Heisenberg測不準原理，其面積為一常數(shù)。

圖1 小波頻譜的恒Q帶通特性Fig.1 Bandpass characteristics of wavelet spectrum

2.2 復解析小波變換

小波基函數(shù)取決于信號和小波函數(shù)的匹配性。旋轉(zhuǎn)機械故障信號可以表示為含有沖擊成分的振動：

f(t)=e-β tej2πf0t

(5)

式中，β為振動衰減系數(shù);f0為沖擊頻率。

復Morlet小波由高斯函數(shù)復諧波調(diào)制，具有對稱非正交、指數(shù)衰減、非緊支撐等特性，適用于時頻局部化，時域波形匹配沖擊信號，可以表示為

(6)

復Morlet小波頻域表達式為[6]

(7)

某復Morlet小波曲線如圖2所示。

(a)時域曲線

(b)頻域曲線圖2 復Morlet小波曲線Fig.2 Curve of complex Morlet wavelet

2.3 復解析小波包絡

復Morlet小波對應復數(shù)濾波器。其實部ψr(t)是零相移濾波器，虛部ψi(t)是90°相移濾波器，因此，x(t)復Morlet小波變換可以表示為

Wx(a,t)=Re(Wx(a,t))+Im(Wx(a,t))=

x(t)·ψr(t)+x(t)·ψi(t)

(8)

其中，Re(·)、Im(·)分別是求實部和虛部的函數(shù)，由于時域內(nèi)卷積對應頻域內(nèi)乘積，兩者可在時域內(nèi)卷積求得，如式(8);也可在頻域內(nèi)乘積后由逆傅里葉變換求得：

(9)

不難發(fā)現(xiàn)，小波系數(shù)實部和虛部相位正交，幅值相同，能通過式(9)求模得包絡。分析可知，復解析小波求包絡具備濾波特性。

3 基于譜熵的包絡檢測

3.1 譜熵原理及算法

熵起源于熱物理學，在熱力學第二定律后被提出，用來衡量系統(tǒng)混亂程度。信息論先驅(qū)Shannon最先提出了熵，以衡量概率與信息冗余度的聯(lián)系[10]。

信息熵被用來作為定義系統(tǒng)未知程度的標準[10]。信息成分越復雜，越多元，熵越大，可以表示為

(10)

式中，x為信息；P(x)為信息概率，即信息所占比重。

本文將信息熵這一概念延伸至旋轉(zhuǎn)機械零部件的故障診斷中。以信號包絡譜為一個信息集合，求該集合的信息熵，即譜熵。信號在頻域內(nèi)分布越紊亂，包絡效果越好，譜熵越大，以譜熵來衡量包絡效果。

3.2 構(gòu)造濾波器組

帶通濾波是復解析小波包絡的前提，參數(shù)的選取極其重要。本文引入了一種構(gòu)造濾波器組的思路[6]，主要依據(jù)如下：遍歷采樣頻率以內(nèi)不同中心頻率和帶寬，生成濾波器組。取0.8倍的奈奎斯特頻率為上限，將頻帶劃分為多個重疊的濾波器，各濾波器中心頻率為

fc=0.8fNyst/2i/aj

(11)

i=1,2,…,ajn

其中，fNyst是奈奎斯特頻率，即采樣頻率fs的一半；ajn是第j個尺度的濾波器個數(shù)。各濾波器的帶寬σ=fc/Q。

3.3 基于譜熵自適應選定帶通參數(shù)

基于AR模型對信號參數(shù)化預測，可以篩選信號平穩(wěn)成分。根據(jù)復Morlet小波變換的濾波特性和小波對瞬態(tài)信號的匹配，對信號進行解析包絡。結(jié)合AR模型和復Morlet小波變換，并基于譜熵自適應選定最佳包絡參數(shù)，以提升檢測效果。本文提出了一種基于AR模型和譜熵的自適應小波包絡檢測新方法。該方法流程如圖3所示。

圖3 自適應小波包絡檢測方法Fig.3 Detection algorithm based on adaptive wavelet envelope

檢測方法具體檢測步驟如下：

(1)采集振動信號；

(2)基于AR模型進行線性預測，獲取增強信號；

(3)構(gòu)造不同帶通參數(shù)的復解析小波組；

(4)通過FFT逐個將步驟(2)獲取的信號和步驟(3)構(gòu)造的小波組在頻域內(nèi)點乘，實現(xiàn)復小波變換；

(5)通過IFFT轉(zhuǎn)換步驟(4)的結(jié)果到時域，求小波系數(shù)；

(6)對小波系數(shù)求模獲取包絡，得到包絡譜；

(7)計算包絡譜熵，以選定最佳包絡；

(8)根據(jù)最佳包絡確定步驟(3)中參數(shù)，實現(xiàn)檢測。

4 試驗驗證

4.1 仿真試驗

設采樣頻率fs=50kHz，仿真旋轉(zhuǎn)機械的轉(zhuǎn)速為2100r/min，轉(zhuǎn)頻f0=35Hz，轉(zhuǎn)頻信號可以表示為

z(t)=0.5sin(2πf0t)+1.5sin(4πf0t)

(12)

旋轉(zhuǎn)機械故障多表現(xiàn)為瞬態(tài)沖擊，根據(jù)式(5)，設沖擊信號的振幅A=500，衰減系數(shù)β=500，固有頻率f0=2500Hz，由于沖擊信號的周期性，設周期T=0.01s。瞬態(tài)沖擊信號可以表示為

s(t)=Ae-β tcos(2πf0t)

(13)

仿真信號可以表示為

(14)

其中，w(t)表征系統(tǒng)和環(huán)境干擾的高斯白噪聲。

取AR階數(shù)p=40進行線性預測。對比圖4明顯發(fā)現(xiàn)，非平穩(wěn)成分被有效提取。

根據(jù)式(11)，令n=3，Q分別取0.5、1、1.5、3，來構(gòu)造復解析小波組，不同復解析小波對應不同的中心頻率和帶寬，如圖5所示。由尺度區(qū)分構(gòu)成4個小波集合。集合通過an個小波遍歷上限為20kHz的頻帶。

圖4 仿真信號和AR模型增強信號Fig.4 Simulation signal and enhanced signal

圖5 復解析小波組頻譜Fig.5 Group of complex analytic wavelet spectrum

分別基于圖5中36個復解析小波，對預測后增強信號帶通濾波，由式(9)求包絡信號、包絡譜及單位譜熵，如圖6a所示。由本文提出的基于AR模型和譜熵的自適應小波包絡檢測新方法可知，在第4層尺度Q=3，i=17，即fc=2806Hz，σ=935Hz時獲得最佳包絡，且中心頻率fc和仿真機械系統(tǒng)固有頻率f0較為吻合，包絡效果如圖6b所示。

4.2 實測信號試驗

為檢驗方法對實測信號的有效性，本文采用凱斯西儲大學電氣實驗中心的故障軸承數(shù)據(jù)設計試驗。系統(tǒng)主要包括驅(qū)動、采集、試驗和負載模塊。旋轉(zhuǎn)頻率fr=29.95 Hz，采樣頻率fs=12 kHz，測試軸承的型號為SKF6205-2RS-JEM-SKF，其參數(shù)見表1。

(a)單位譜熵圖

(b)采用最佳帶通參數(shù)的復解析小波包絡信號圖6 譜熵圖和最佳包絡信號Fig.6 Spectrum entropy diagram and best envelope signal

軸承類型基本尺寸(mm×mm×mm)滾珠數(shù)Z接觸角α(°)滾珠直徑d(mm)節(jié)徑D(mm)深溝球25×52×15907．9439．04

通過電火花對軸承內(nèi)圈人為損壞。根據(jù)下式：

(15)

求得軸承內(nèi)圈理論故障頻率fi=162.19Hz。

截取故障數(shù)據(jù)1024個數(shù)據(jù)點，通過小波去噪再由Hilbert變換求包絡，如圖7所示，能看出故障頻率在162Hz附近，但轉(zhuǎn)頻和諧波不易分辨。

(a)小波去噪結(jié)合Hilbert變換提取包絡

(b)Hilbert變換包絡譜圖7 傳統(tǒng)方法包絡Fig.7 Traditional method of envelope

基于本文提出方法，對信號進行AR預測，如圖8a所示。自適應確定帶通參數(shù)fc=3810Hz、σ=1270Hz，求相應包絡譜，如圖8b所示。該方法能明顯判別故障頻率及其諧波，效果優(yōu)于傳統(tǒng)方法。

(a)原始信號和AR增強信號

(b)復解析小波包絡譜圖8 新方法包絡Fig.8 A new method of envelope

5 結(jié)語

本文方法結(jié)合了AR模型提取共振衰減的非平穩(wěn)成分的特性和復解析小波帶通濾波的能力。在頻域內(nèi)，通過計算譜熵自適應確定最佳帶通參數(shù)以提取包絡。對于旋轉(zhuǎn)機械零部件振動信號的包絡效果明顯，較傳統(tǒng)方法具有更優(yōu)的分析結(jié)果。就故障診斷而言，還需結(jié)合機器學習先驗知識對復雜故障進行模式判別，這將是筆者下一步的工作。

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(編輯 陳 勇)

作者簡介：何 翔，男，1991年生。西南交通大學機械工程學院碩士研究生。主要研究方向為機電一體化、故障診斷、機器學習。E-mail:goatshawn@icloud.com。高宏力(通信作者)，男，1971 年生。西南交通大學機械工程學院教授、博士研究生導師。郭 亮，男，1988年生。西南交通大學機械工程學院博士研究生。吳遠昊，男，1992年生。西南交通大學機械工程學院碩士研究生。

Adaptive Wavelet Envelope Detection Based on AR Model and Spectral Entropy

HE Xiang GAO Hongli GUO Liang WU Yuanhao

School of Mechanical Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu, 610031

For the envelope problems of traditional fault diagnosis, a method of adaptive complex analytic wavelet envelope detection was proposed based on AR model and spectral entropy herein. The method eliminated the stationary components for linear prediction from the mechanical vibration signals by AR model, and extracted the non-stationary components of resonance damping. The generated signals were enveloped by complex analytic wavelet in different frequency bands, the best envelope was selected based on the correlation between the spectral entropy and the band-pass filter in the frequency domain. This method owns higher adaptivity, better robustness and envelope effectiveness than that of the traditional one. Thus it has favorable prospect in engineering applications.

auto regressive (AR) prediction； wavelet transform； spectral entropy； envelope detection

2016-03-24

國家自然科學基金資助項目(51275426)

TH17；TP274

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.03.016

孫靈芳，男，1970年生。東北電力大學節(jié)能與測控技術(shù)工程實驗室教授、博士。主要研究方向為熱工過程先進控制、換熱設備污垢與對策。發(fā)表論文80余篇。E-mail:15043283452@163.com。徐曼菲，女，1991年生。東北電力大學自動化工程學院碩士研究生。樸 亨，男，1990年生。東北電力大學節(jié)能與測控技術(shù)工程實驗室碩士研究生。李 霞，女，1979年生。東北電力大學自動化工程學院講師、博士。