趙全哲，徐愛(ài)功，徐宗秋，2，唐龍江

(1.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 測(cè)繪與地理科學(xué)學(xué)院，遼寧 阜新 123000；2.武漢大學(xué) 衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)研究中心，湖北 武漢 430079)

基于穩(wěn)健總體最小二乘的GPS水準(zhǔn)擬合

趙全哲1，徐愛(ài)功1，徐宗秋1，2，唐龍江1

(1.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 測(cè)繪與地理科學(xué)學(xué)院，遼寧 阜新 123000；2.武漢大學(xué) 衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)研究中心，湖北 武漢 430079)

針對(duì)GPS水準(zhǔn)擬合中觀測(cè)數(shù)據(jù)存在粗差和系數(shù)矩陣存在誤差的問(wèn)題，提出一種穩(wěn)健總體最小二乘(RTLS)迭代算法。分析表明：與最小二乘(LS)相比，總體最小二乘(TLS)不僅考慮了自變量和因變量的誤差，同時(shí)也顧及了系數(shù)矩陣和觀測(cè)向量中存在的誤差；在利用TLS進(jìn)行GPS水準(zhǔn)擬合時(shí)，利用RTLS能較好地去除粗差，并合理地估計(jì)系數(shù)矩陣中含有誤差的部分。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明利用RTLS水準(zhǔn)擬合GPS的高程異常是最優(yōu)選擇，且擬合的二次曲面效果最佳。

GPS水準(zhǔn)擬合；高程異常；加權(quán)；RTLS；系數(shù)矩陣；觀測(cè)向量；粗差

0 引言

在利用最小二乘法(least squares，LS)估計(jì)未知參數(shù)時(shí)，通常默認(rèn)觀測(cè)值不含系統(tǒng)誤差或粗差，所得參數(shù)解是最優(yōu)無(wú)偏解。在實(shí)際參數(shù)估計(jì)過(guò)程中，誤差方程的系數(shù)矩陣(包括線性方程或經(jīng)過(guò)泰勒展開(kāi)的線性方程，如全球定位系統(tǒng)(global positioning system，GPS)觀測(cè)方程、變形位移方程等)本身就會(huì)包含誤差，這些誤差不僅與控制點(diǎn)的數(shù)量、觀測(cè)值類型和觀測(cè)網(wǎng)形有關(guān)，而且還與待定點(diǎn)的近似值等內(nèi)容有關(guān)[2]。雖然LS是測(cè)量數(shù)據(jù)處理時(shí)最常用、最重要的方法，但該方法僅考慮了觀測(cè)誤差是偶然誤差的情況；而總體最小二乘(total least squares，TLS)在參數(shù)求解的過(guò)程中同時(shí)考慮了系數(shù)矩陣和觀測(cè)向量存在誤差的情況：因此它是顧及各種觀測(cè)量隨機(jī)誤差的一種最優(yōu)算法[3]。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)TLS在測(cè)量領(lǐng)域的應(yīng)用展開(kāi)了一系列研究，包括直線擬合[4-5]、平面擬合[6]、水準(zhǔn)測(cè)量[7]、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換[8]、地殼應(yīng)變參數(shù)反演[9]等。

GPS水準(zhǔn)擬合高程異常一般是通過(guò)建立多項(xiàng)式模型來(lái)求解擬合參數(shù)，該方法的基本思想是將平面坐標(biāo)當(dāng)作自變量，高程異常作因變量，采用抗差LS擬合多項(xiàng)式模型，這可以滿足目前大部分的工程需求。然而在精度要求較高的工程測(cè)量中，擬合模型的系數(shù)矩陣存在誤差的情況也需要考慮在內(nèi)。因此，針對(duì)經(jīng)典的高斯-馬爾科夫模型不能有效地應(yīng)對(duì)系數(shù)矩陣中存在誤差的情況，本文嘗試采用一種新的穩(wěn)健總體最小二乘迭代算法(robust total least squares，RTLS)擬合多項(xiàng)式函數(shù)，利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析LS與總體最小二乘奇異值法(singular value decomposition -total least squares，SVD-TLS)、混合最小二乘(mixed total least squares，MTLS)的差異性。

1 基于不同算法的總體最小二乘

1.1 總體最小二乘奇異值法

矩陣的奇異值分解是解決線性代數(shù)問(wèn)題的工具之一，該分解法應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)學(xué)、矩陣的求逆、信號(hào)與圖像處理以及在誤差平差中的整體最小二乘、最小二乘、優(yōu)化的問(wèn)題中。誤差方程為

(1)

(2)

SVD-TLS通過(guò)分解增廣矩陣進(jìn)而求解參數(shù)，能較好地處理病態(tài)矩陣，是求解TLS最常用、最嚴(yán)密有效的方法；不過(guò)缺少平差模型統(tǒng)計(jì)意義上的最佳估值，所以它的適用范圍具有一定的局限性。

1.2 混合總體最小二乘

在求解參數(shù)過(guò)程中，可以將LS和TLS混合使用，這種方法簡(jiǎn)稱為混合整體最小二乘。誤差方程為

(3)

混合TLS矩陣分解法平差準(zhǔn)則[11]為

(4)

1.3 穩(wěn)健總體最小二乘

SVD-TLS是從矩陣的特征值與零空間的角度出發(fā)擬合方程；而TLS迭代法一般是從測(cè)量平差角度出發(fā)，借助拉格朗日極值法并依據(jù)一定準(zhǔn)則擬合方程。結(jié)合測(cè)量平差的優(yōu)勢(shì)，文獻(xiàn)[12-13]根據(jù)線性回歸模型的特點(diǎn)推導(dǎo)出一種新的TLS迭代算法。設(shè)線性模型為

(5)

考慮到SVD-TLS系數(shù)矩陣中默認(rèn)為不含誤差的列向量實(shí)際是含有誤差的，為了更方便地處理系數(shù)矩陣中含有誤差的部分，將式(5)變形為

(6)

(7)

VTQ-1V=min。

(8)

式中Q是觀測(cè)值的協(xié)因數(shù)陣。根據(jù)拉格朗日極值求出線性回歸方程的TLS解為

(9)

式中k為一組未知的常系數(shù)。

QB=Q0?Qy。

(10)

(12)

2 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

2.1 直線擬合實(shí)驗(yàn)

為分析上述3種TLS算法和LS擬合線性回歸方程的效果，利用文獻(xiàn)[18](其自變量和因變量都含有隨機(jī)誤差，不含粗差)提供的觀測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)選擇不同的自變量和因變量的直線方程y=ax+b、x=ay+b求解擬合方程，計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 幾種TLS算法求解參數(shù)結(jié)果

從表1可看出：交換自變量和因變量使得利用LS擬合出的結(jié)果不一致，而對(duì)利用TLS算法擬合的結(jié)果無(wú)影響，其中利用MTLS和RTLS擬合的表達(dá)式相同。這是因?yàn)長(zhǎng)S沒(méi)有考慮自變量的誤差，只能保證一個(gè)方向上的最佳估值；而TLS擬合直線的實(shí)質(zhì)為采用測(cè)點(diǎn)到擬合直線的正交距離的平方和最小的準(zhǔn)則，并把自變量視為含有誤差的觀測(cè)量，這使得擬合的結(jié)果整體效果最佳，因此交換自變量對(duì)利用TLS擬合的直線無(wú)影響[19]。利用SVD-TLS與利用MTLS或RTLS擬合的直線方程不一致，這是因?yàn)椋篠VD-TLS雖然考慮了線性回歸模型中系數(shù)矩陣B的誤差，但是它們默認(rèn)系數(shù)矩陣中不含誤差的常數(shù)列是含有誤差的；而MTLS和RTLS在考慮自變量誤差的同時(shí)又只顧及了平差模型中系數(shù)矩陣含誤差的部分。綜合分析來(lái)看，在利用TLS擬合直線時(shí)，應(yīng)選擇擬合效果較好的MTLS或RTLS。

2.2 GPS水準(zhǔn)擬合

為了分析TLS在GPS水準(zhǔn)擬合中的效果，本文使用某市城區(qū)80組GPS聯(lián)測(cè)水準(zhǔn)的高程數(shù)據(jù)，將其中的65組數(shù)據(jù)作為擬合數(shù)據(jù)，剩下的15組數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)數(shù)據(jù)，如圖1所示。分別采用LS、SVD-TLS、MTLS、RTLS和抗差LS擬合一次曲面ζ=a0+a1x+a2y和二次曲面ζ=a0+a1x+a2y+a3xy+a4x2+a5y2，ζ為觀測(cè)向量。表2和表3分別列出了利用4種方法擬合一次曲面和二次曲面的系數(shù)及對(duì)應(yīng)單位權(quán)中誤差。

表2 一次曲面擬合結(jié)果及精度 m

從表2和表3列出的擬合系數(shù)可以看出，利用SVD-LS擬合曲面的系數(shù)與利用LS和MTLS擬合曲面的系數(shù)相差較大；利用RTLS擬合曲面的系數(shù)與利用LS、SVD-LS和MTLS擬合曲面的系數(shù)均不一致。從表2和表3列出的單位權(quán)中誤差可以看出，利用TLS擬合曲面的單位權(quán)中誤差優(yōu)于LS，這是因?yàn)長(zhǎng)S在曲面擬合中只考慮了觀測(cè)向量ζ的誤差，未顧及系數(shù)矩陣存在的誤差；利用MTLS擬合曲面的單位權(quán)中誤差優(yōu)于LS和SVD-TLS，這是因?yàn)樵诶肕TLS擬合過(guò)程中合理地考慮了系數(shù)矩陣中含有誤差的列向量；利用RTLS擬合曲面的單位權(quán)中誤差明顯優(yōu)于LS、SVD-TLS和MTLS，這是因?yàn)閿M合數(shù)據(jù)存在粗差，RTLS能較好剔除粗差，并且合理地估計(jì)了系數(shù)矩陣中含有有誤差的部分。另外，與利用抗差LS擬合曲面的系數(shù)和單位權(quán)中誤差相比，利用MTLS擬合的結(jié)果與抗差LS擬合的結(jié)果近乎一致。

表3 二次曲面擬合結(jié)果及精度 m

圖2給出了分別利用MTLS和抗差LS擬合的一次曲面和二次曲面進(jìn)行外部檢核的結(jié)果。從圖2可看出，利用抗差LS與RTLS擬合的曲面估計(jì)高程異常結(jié)果幾乎一致，并且利用2種方法得到的二次曲面的擬合效果優(yōu)于利用一次曲面擬合的結(jié)果。值得注意的是，與抗差LS相比，雖然利用RTLS水準(zhǔn)擬合高程異常的單位權(quán)中誤差精度沒(méi)有明顯提高，但RTLS對(duì)觀測(cè)向量和系數(shù)矩陣中含有誤差都進(jìn)行了最小化約束；因此RTLS更適用于GPS高程異常的水準(zhǔn)擬合。

3 結(jié)束語(yǔ)

為評(píng)價(jià)RTLS在GPS水準(zhǔn)擬合中的應(yīng)用效果，本文重點(diǎn)討論了SVD-TLS、MTLS和RTLS的平差準(zhǔn)則以及測(cè)量處理模型，提出一種新的穩(wěn)健總體最小二乘(RTLS)迭代算法應(yīng)用于水準(zhǔn)擬合。采用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析了LS與TLS的差異性，得出以下結(jié)論：

1)與LS相比，TLS同時(shí)顧及系數(shù)矩陣和觀測(cè)向量中存在的誤差，因此選擇不同的自變量仍能得到一致的結(jié)果；而LS只有在系數(shù)矩陣沒(méi)有誤差時(shí)，所求結(jié)果才是無(wú)偏的。值得注意的是，SVD-TLS默認(rèn)系數(shù)矩陣中所有元素都含有誤差，而MTLS和RTLS僅考慮了系數(shù)矩陣存在誤差的部分。

2)在利用TLS進(jìn)行GPS水準(zhǔn)擬合時(shí)，利用RTLS擬合的結(jié)果優(yōu)于利用SVD-TLS和MTLS擬合的結(jié)果。另外，利用RTLS水準(zhǔn)擬合的高程異常的精度與利用抗差LS擬合的精度近乎一致，并且RTLS合理地估計(jì)了系數(shù)矩陣中含有誤差的部分，因此更適用于GPS水準(zhǔn)擬合。

[1] 范東明.任意平面網(wǎng)坐標(biāo)自動(dòng)解算的非線性最小二乘平差算法[J].鐵道學(xué)報(bào)，2002，24(4)：78-82.

[2] 劉經(jīng)南，曾文憲，徐培亮.整體最小二乘估計(jì)的研究進(jìn)展[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)·信息科學(xué)版，2013，38(5)：505-512.

[3] 孔建，姚宜斌，吳寒.整體最小二乘的迭代解法[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)·信息科學(xué)版，2010，35(6)：711-714.

[4] SCHAFFRIN B，WIESER A.On weighted total least-squares adjustment for linear regression[J].Journal of Geodesy，2008，82(7)：415-421.

[5] 丁克良，沈云中，歐吉坤.整體最小二乘法直線擬合[J].遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，29(1)：44-47.

[6] 魯鐵定，陶本藻，周世健.基于整體最小二乘法的線性回歸建模和解法[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)·信息科學(xué)版，2008，33(5)：504-507.

[7] 楊仕平，范東明，龍玉春.整體最小二乘法平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換在基坑水平位移監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用[J].測(cè)繪與空間地理信息，2012，35(9)：221-223.

[8] 鄧罡.GPS高程擬合代替水準(zhǔn)測(cè)量研究[D].長(zhǎng)沙：中南大學(xué)，2012.

[9] 黃令勇，呂志平，任雅奇，等.多元總體最小二乘在三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)·信息科學(xué)版，2014，39(7)：793-798.

[10]王樂(lè)洋，許才軍.總體最小二乘研究進(jìn)展[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)·信息科學(xué)版，2013，38(7)：850-856.

[11]魯鐵定，周世健，王樂(lè)洋.混合總體最小二乘的迭代解算算法[J].數(shù)據(jù)采集與處理，2015(4)：802-809.

[12]汪奇生，楊德宏，楊騰飛.線性回歸模型的穩(wěn)健總體最小二乘解算[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2015，35(2)：239-242.

[13]魯鐵定，寧津生，周世健，等.最小二乘配置的QR分解解法[J].遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，28(4)：550-553.

GPSlevelling based on robust total least squares

ZHAOQuanzhe1，XUAigong1，XUZongqiu1，2，TANGLongjiang1

(1.School of Geomatics，Liaoning Technical University，F(xiàn)uxin，Liaoning 123000，China； 2.Research Center of GNSS，Wuhan University，Wuhan，Hubei 430079，China)

Aiming at the problem that there are errors in the observation data and the coefficient matrixes in GPS levelling，the paper proposed a robust total least squares (RTLS) algorithm.Analysis demonstrated that the TLS considered both errors of independent variables and dependent variables，and errors in the coefficient matrixes and the observation vectors，compared with LS；moreover，the GPS levelling with TLS could remove the errors easily and estimate the error parts in the coefficient matrixes reasonably by using the method of RTLS.Experimental result showed that RTLS would be the best choice for GPS levelling the height anomaly，and the effect of Quadric would be the best.

GPS levelling；height anomaly；weighting；RTLS；coefficient matrix；observation vector；error

2016-06-03

國(guó)家863計(jì)劃項(xiàng)目(2014AA121301)；國(guó)家青年基金項(xiàng)目(41504010)；遼寧省優(yōu)秀人才計(jì)劃項(xiàng)目(LR201018)。

趙全哲(1990—)，男，遼寧沈陽(yáng)人，碩士生，研究方向?yàn)楦呔葦?shù)據(jù)處理。

徐愛(ài)功(1963—)，男，山東日照人，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)樾l(wèi)星定位與地理信息系統(tǒng)方面的理論與應(yīng)用。

趙全哲，徐愛(ài)功，徐宗秋，等.基于穩(wěn)健總體最小二乘的GPS水準(zhǔn)擬合[J].導(dǎo)航定位學(xué)報(bào)，2017，5(1)：95-99.(ZHAO Quanzhe，XU Aigong，XU Zongqiu，et al.GPS levelling based on robust total least squares[J].Journal of Navigation and Positioning，2017，5(1)：95-99.)

10.16547/j.cnki.10-1096.20170120.

P228

A

2095-4999(2017)01-0095-05