來自“統(tǒng)計(jì)與概率”解題策略與方法的一封信

康葉紅

親愛的同學(xué)們：

大家好！我是來自初中數(shù)學(xué)知識(shí)板塊中的“統(tǒng)計(jì)與概率”解題策略與方法，“統(tǒng)計(jì)與概率”在中考數(shù)學(xué)的考查中約占15%的分值，可不能忽視我哦！今天，我們就來聊一聊“統(tǒng)計(jì)與概率”這部分解題的策略與方法.

先一起看統(tǒng)計(jì)部分的內(nèi)容，想要攻破統(tǒng)計(jì)的題，需要會(huì)計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、加權(quán)平均數(shù)，會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)的方差，還要能分析統(tǒng)計(jì)表中的數(shù)據(jù)，我們通過例題來分析.

例1 已知一組數(shù)據(jù)0，1，2，3，x的平均數(shù)是2，求這組數(shù)據(jù)的極差、方差.

【剖析】本題考查的是數(shù)據(jù)的平均數(shù)、數(shù)據(jù)的極差與方差.

極差：最大值與最小值的差；

因此，本題應(yīng)先利用平均數(shù)求出x，得到一組完整的數(shù)據(jù)即0，1，2，3，4，想要求極差，找出數(shù)據(jù)中的最大值是4，最小值是0，所以極差=4-0=4，方差s2=×［（0-2）2+（1-2）2+（2-2）2+（3-2）2+（4-2）2］=×（4+1+0+1+4）=2.

例2（2016·鹽城）甲、乙兩位同學(xué)參加數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)測(cè)試，各項(xiàng)成績(jī)?nèi)缦?（單位：分）

學(xué)生甲學(xué)生乙數(shù)與代數(shù)9 0 9 4空間與圖形9 3 9 2統(tǒng)計(jì)與概率8 9 9 4綜合與實(shí)踐9 0 8 6

（1）分別計(jì)算甲、乙成績(jī)的中位數(shù)；

（2）如果數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐的成績(jī)按3∶3∶2∶2計(jì)算，那么甲、乙的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)成績(jī)分別為多少分？

【剖析】本題考查的是計(jì)算甲、乙成績(jī)的中位數(shù)以及加權(quán)平均數(shù).從本題中的“中位數(shù)”“3∶3∶2∶2”“甲、乙的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)成績(jī)分別為多少分”這三個(gè)關(guān)鍵字段回顧中位數(shù)和加權(quán)平均數(shù)的概念.

中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，那么處于中間位置的數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，那么中間位置的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

加權(quán)平均數(shù)：衡量各個(gè)數(shù)據(jù)的“重要程度”的數(shù)值叫做權(quán).

（1）中求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，由上表可將學(xué)生甲的成績(jī)排序?yàn)椋?9，90，90，93，一共有四個(gè)數(shù)，因此取=90作為學(xué)生甲成績(jī)的中位數(shù).

（2）中數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐的成績(jī)按3∶3∶2∶2計(jì)算，說明數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐的“重要程度”不一樣，它們?cè)诳偝煽?jī)中各占.因此甲的成績(jī)=

【答案】（1）90分，93分；（2）90.7分，91.8分.

【總結(jié)】例1與例2計(jì)算了算術(shù)平均數(shù)、極差、方差、中位數(shù)、加權(quán)平均數(shù)，除此之外還有眾數(shù)（一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)），其實(shí)我們只要理清概念，熟記知識(shí)點(diǎn)，問題就能迎刃而解.

例3（2016·揚(yáng)州）從今年起，我市生物和地理會(huì)考實(shí)施改革，考試結(jié)果以等級(jí)形式呈現(xiàn)，分A、B、C、D四個(gè)等級(jí).某校八年級(jí)為了迎接會(huì)考，進(jìn)行了一次模擬考試，隨機(jī)抽取部分學(xué)生的生物成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

（1）這次抽樣調(diào)查共抽取了_________名學(xué)生的生物成績(jī)，扇形統(tǒng)計(jì)圖中，D等級(jí)所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)為_________°；

（2）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

（3）如果該校八年級(jí)共有600名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)這次模擬考試有多少名學(xué)生的生物成績(jī)等級(jí)為D.

【剖析】本題考查了從統(tǒng)計(jì)圖中分析數(shù)據(jù)的能力，要求計(jì)算樣本容量、扇形圓心角的度數(shù)、用樣本估計(jì)總體.（1）根據(jù)A等級(jí)的人數(shù)為15人及A等級(jí)所占的比例為30%，即可求出總?cè)藬?shù)，進(jìn)而可得出扇形統(tǒng)計(jì)圖中D等級(jí)所在的扇形的圓心角的度數(shù).（2）根據(jù)D等級(jí)的人數(shù)=總數(shù)-A等級(jí)的人數(shù)-B等級(jí)的人數(shù)-C等級(jí)的人數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可.（3）先求出D等級(jí)人數(shù)所占的百分比，然后即可估計(jì)出總體中等級(jí)為D的人數(shù).

【答案】（1）50，36；（2）5，補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖略；（3）60名.

【總結(jié)】我們要具備從統(tǒng)計(jì)圖中分析處理數(shù)據(jù)的能力，要能讀懂統(tǒng)計(jì)圖中蘊(yùn)涵的數(shù)據(jù)信息，提取出信息來解決問題.在解決統(tǒng)計(jì)問題的過程中，體會(huì)用樣本估計(jì)總體的模型思想，理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，提升邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

看完統(tǒng)計(jì)部分的內(nèi)容，我們繼續(xù)來看概率部分的內(nèi)容，我們要能從數(shù)據(jù)中提取信息并進(jìn)行簡(jiǎn)單的推斷；能通過列表、畫樹狀圖等方法，列出簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，了解事情發(fā)生的概率，會(huì)求簡(jiǎn)單隨機(jī)事件及其發(fā)生的概率.下面通過例題來分析.

例4 將分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3的三張卡片洗勻后，背面朝上放在桌上.

（1）隨機(jī)地抽取一張，求抽到奇數(shù)的概率；

（2）隨機(jī)地抽取一張作為十位上的數(shù)字（不放回），再抽取一張作為個(gè)位上的數(shù)字，恰好是“32”的概率為多少？

【剖析】本題考查了通過列舉法列出簡(jiǎn)單隨機(jī)事件所有可能的結(jié)果，了解事件的概率.（1）隨機(jī)地抽取一張，可以理解為實(shí)驗(yàn)一次，要求抽出奇數(shù)的概率，可用P（A）=（n表示所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，m表示事件A發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).）直接解決.（2）隨機(jī)地抽取一張作為十位上的數(shù)字，再抽取一張作為個(gè)位上的數(shù)字，可以理解為實(shí)驗(yàn)兩次，可通過列表、畫樹狀圖列出所有等可能的結(jié)果以及事件A發(fā)生的所有可能的結(jié)果，求出恰好是“32”的概率.一定要注意的是題目中的關(guān)鍵詞“不放回”.

【總結(jié)】畫樹狀圖或者列表分析是求概率的常用方法，列舉的結(jié)果看起來一目了然，清晰明了.利用列表、畫樹狀圖可以幫助我們不重復(fù)、不遺漏地列出所有等可能的結(jié)果，既直觀又條理分明.

例5（2016·徐州）某乳品公司最新推出一款果味酸奶，共有紅棗、木瓜兩種口味.若送奶員連續(xù)三天，每天從中任選一瓶某種口味的酸奶贈(zèng)送給某住戶品嘗，則該住戶收到的三瓶酸奶中，至少有兩瓶為紅棗口味的概率是多少？（請(qǐng)用“畫樹狀圖”的方法給出分析過程，并求出結(jié)果.）

【剖析】本題考查了通過畫樹狀圖列出簡(jiǎn)單隨機(jī)事件所有可能的結(jié)果，了解事件的概率.題目中“若送奶員連續(xù)三天”可理解為實(shí)驗(yàn)三次，因此可以借助樹狀圖列出所有等可能的結(jié)果.

【答案】

可能出現(xiàn)的結(jié)果有8種，并且它們出現(xiàn)的可能性相等.至少有兩瓶為紅棗口味（記為事件A）的結(jié)果有4種，所以P（A）=

【總結(jié)】當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素（兩組量，或者1組量操作兩次），并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，可以采用列表法；當(dāng)一次試驗(yàn)中涉及3個(gè)因素或更多因素時(shí)，通常采用畫樹狀圖不重不漏地列出所有等可能的結(jié)果.

例6 一套書共有上、中、下三冊(cè)，將它們?nèi)我鈹[放到書架的同一層上，這三本書從左到右或從右到左，恰好成上、中、下順序的概率是多少？

【剖析】想要把共有上、中、下三冊(cè)的一套書任意擺放到書架的同一層上，可以借助枚舉法列出所有等可能的結(jié)果.

【答案】將一套書上、中、下三冊(cè)任意擺放到書架同一層上所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有：（上，中，下），（上，下，中），（中，上，下），（中，下，上），（下，上，中），（下，中，上），共有6種，它們出現(xiàn)的可能性相同.所有的結(jié)果中，滿足“從左到右或從右到左，恰好成上、中、下順序”（記為事件A）的結(jié)果只有2種，所以P（A）=

【總結(jié)】對(duì)于本題可以直接用枚舉法列出所有可能的結(jié)果，求出概率.列表、畫樹狀圖的目的都是為了列出所有等可能的結(jié)果，有時(shí)我們也可以通過枚舉法直接列出所有的可能的結(jié)果.

好了，看了這么多典型的例題，相信同學(xué)們對(duì)“統(tǒng)計(jì)與概率”這個(gè)部分的題目，可以更加從容自信了吧！找到解決“統(tǒng)計(jì)與概率”典型題的策略與方法了嗎？

此致

敬禮

“統(tǒng)計(jì)與概率”解題策略與方法

2017年3月15日

（作者單位：江蘇省南京市六合區(qū)橫梁初級(jí)中學(xué)）