地下水污染物溯源的數(shù)學(xué)模擬方法研究進(jìn)展

龍玉橋，崔婷婷，李 偉，李硯閣，吳春勇

(1. 南京水利科學(xué)研究院，江蘇 南京 210029；2. 水文水資源與水利工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210098)

地下水污染物溯源的數(shù)學(xué)模擬方法研究進(jìn)展

龍玉橋1, 2，崔婷婷1, 2，李 偉1，李硯閣1，吳春勇1

(1. 南京水利科學(xué)研究院，江蘇 南京 210029；2. 水文水資源與水利工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210098)

在當(dāng)前我國地下水資源供需矛盾突出，地下水環(huán)境不斷惡化的情況下，加強(qiáng)地下水污染物溯源的有關(guān)研究對于防治地下水污染、保護(hù)地下水資源、保障城鄉(xiāng)居民飲水安全、保證經(jīng)濟(jì)和社會又好又快發(fā)展有著重要的實(shí)際意義。探索地下水污染物溯源的新理論和方法，在推動不適定問題的求解、不確定性研究，完善我國地下水污染理治技術(shù)與方法方面具有明顯的理論意義。根據(jù)國外近三十年的研究成果，分析地下水污染物溯源問題的特點(diǎn)，將常用數(shù)學(xué)模擬方法歸納為模擬-優(yōu)化法、解析和回歸方法、直接法、隨機(jī)理論法，討論現(xiàn)有數(shù)學(xué)溯源方法的優(yōu)缺點(diǎn)，認(rèn)為應(yīng)在復(fù)雜溯源問題、物理化學(xué)及生物作用的表達(dá)、模型計(jì)算效率和不確定性方面加強(qiáng)溯源數(shù)學(xué)方法的研究。

地下水；污染物；溯源；數(shù)學(xué)模擬方法

2008年，我國總供水量5 910億 m3，其中，地下水源供水量占18.3%[1]。我國有400多個城市開采地下水，華北、西北地區(qū)城市利用地下水比例分別高達(dá)72%和66%，地下水往往是部分城市和農(nóng)村唯一的供水水源[2]。地下水是我國經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展以及人民生活所必需的、不可替代的重要資源[3]。

近20年來，在我國人口較為密集、人類活動干擾大、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)發(fā)達(dá)的平原地區(qū)，由于工業(yè)廢水和生活污水的排放，大面積、超量化肥和農(nóng)藥的使用，垃圾場的淋濾和地下油罐的滲漏等原因，地下水正遭受著越來越嚴(yán)重的污染。據(jù)全國118座大城市淺層地下水的調(diào)查，97.5%的城市受到不同程度的污染，其中40%的城市受到嚴(yán)重污染[2]。在全國水資源調(diào)查評價的197萬 km2平原區(qū)淺層地下水中，Ⅰ類和Ⅱ類水質(zhì)區(qū)的面積僅為總流域面積的4.98%，Ⅲ類面積為35.53%，Ⅳ、Ⅴ類面積高達(dá)59.49%[4]。太湖、遼河、海河、淮河等流域地下水污染最為嚴(yán)重，劣于Ⅲ類水質(zhì)的水質(zhì)區(qū)面積占各相應(yīng)流域面積的91.49%，84.55%，76.40%和67.78%[4]。

為保護(hù)地下水資源，我國在地下水污染防治方面做了大量的實(shí)踐工作，如水利部開展的全國地下水保護(hù)行動、國土資源部開展的全國地下水污染調(diào)查和環(huán)保部制定的地下水污染防治規(guī)劃。此外，針對地下水中硝酸鹽和石油類污染物的治理技術(shù)與方法也涌現(xiàn)出大量的研究成果[5-10]。然而，國內(nèi)的實(shí)踐和研究的成果主要集中于污染防治的政策與手段、污染治理的技術(shù)與方法方面，在地下水污染物溯源方面的研究卻鮮有報(bào)道。

地下水污染物溯源(地下水污染源解析)是通過有限的觀測數(shù)據(jù)，查明污染源的位置及污染物遷移轉(zhuǎn)化的歷史，是地下水污染治理的首要步驟[11-13]。它主要包括三個方面的研究[11, 14, 15]：追溯污染物釋放歷史、確定污染源位置及排放時間、判斷污染物在釋放初期的分布。地下水污染物溯源的研究有助于制定和選擇高效、經(jīng)濟(jì)的污染治理策略與方法，有助于判別不同污染源或污染肇事者的責(zé)任大小，也有助于確定污染治理成本在不同污染肇事者間的分配比例[16]。

地下水污染物溯源的方法主要有兩類[14]：地球化學(xué)足跡法(geochemical fingerprint techniques)和數(shù)學(xué)模擬法(mathematical and simulation approaches)。地球化學(xué)足跡法依據(jù)于實(shí)地測量的污染物數(shù)據(jù)，通過同位素、地質(zhì)統(tǒng)計(jì)分析等方法確定污染源的位置[17][18]。單獨(dú)使用地球化學(xué)足跡法不能完全解決追尋污染源位置及污染物隨時間演變過程等問題[19, 20]。溯源是一種典型的逆問題(不適定問題)，該類問題是難以求解的。目前，在合適的假設(shè)條件下，數(shù)學(xué)模擬法已從解一維均質(zhì)的理想算例[16, 21, 22]，逐步發(fā)展到求解二維非均質(zhì)實(shí)際溯源問題[23, 24]，但受到含水層參數(shù)、污染物濃度及模型自身的不確定性等因素的限制，尚不能完全滿足實(shí)際應(yīng)用的要求。因此，地下水污染物溯源的理論與方法還有較大的發(fā)展空間。

在當(dāng)前我國地下水資源供需矛盾突出，地下水環(huán)境不斷惡化的情況下，加強(qiáng)地下水污染物溯源的有關(guān)研究對于防治地下水污染、保護(hù)地下水資源、保障城鄉(xiāng)居民飲水安全、保證經(jīng)濟(jì)和社會又好又快發(fā)展有著重要的實(shí)際意義。探索地下水污染物溯源的新理論和方法，在推動不適定問題的求解、不確定性研究，完善我國地下水污染理治技術(shù)與方法方面具有明顯的理論意義。為此，本文討論地下水污染物溯源問題的特點(diǎn)、常用數(shù)學(xué)模擬方法的研究進(jìn)展和存在問題。

2 污染運(yùn)移理論及溯源問題的特點(diǎn)

考慮對流、彌散、流體的匯(源)、平衡吸附作用和一級不可逆速率化學(xué)反應(yīng)的溶質(zhì)遷移方程為[25]：

(1)

解對流-彌散方程需要求解同時含有雙曲項(xiàng)(與對流有關(guān))和拋物項(xiàng)(與彌散有關(guān))的偏微分方程，至今這類問題仍未完全解決，因此求解對流-彌散方程一直是地下水模擬領(lǐng)域的難題。溯源問題要求通過有限的觀測數(shù)據(jù)，查明污染源的位置或追溯污染物遷移轉(zhuǎn)化的歷史，要逆時間求解對流-彌散方程[19]，難以滿足解唯一性或穩(wěn)定性，是一種典型的逆問題(不適定問題)。因此溯源問題的數(shù)學(xué)模擬難度比常見的溶質(zhì)遷移的模擬難度更大。

彌散是污染物在地下水中遷移的主要形式，但彌散過程具有不可逆性[19]，這使溯源問題更難求解。求解溯源問題的難易程度還取決于觀測數(shù)據(jù)的詳實(shí)程度和要確定的系統(tǒng)輸入的多少[26]。水動力彌散、模型不確定性、測量誤差和觀測數(shù)據(jù)缺失，都會增加溯源問題的求解難度[14]。溯源問題的解對輸入數(shù)據(jù)的誤差有極強(qiáng)的敏感性，即便是很小的污染羽的測量誤差也能使計(jì)算得出的污染羽的歷史發(fā)生巨大的變化[16]。

Liu和Ball(1999)[27]根據(jù)求解溯源問題的數(shù)學(xué)方法，大致將溯源問題分成全估計(jì)問題和函數(shù)擬合問題。全估計(jì)問題是指判定某位置上污染源隨時間的變化歷史或是判定某時間點(diǎn)上污染物的空間分布，然而卻不知道這些分布的函數(shù)形式。全估計(jì)問題是在無限維空間上求最小值的問題。函數(shù)擬合問題是指已知需要估計(jì)的濃度或通量函數(shù)的一些信息，是在有限維空間上求最小值的問題。函數(shù)估計(jì)問題的待估計(jì)參數(shù)越多(如求不同時間步長對應(yīng)的濃度時)，函數(shù)估計(jì)問題與全估計(jì)問題間的差別就越小。

3 數(shù)學(xué)模擬方法

地下水污染物溯源的數(shù)學(xué)方法研究已有近30 a的歷史。不同的學(xué)者對數(shù)學(xué)方法的分類有不同的見解。Atmadja和Bagtzoglou(2001)將地下水污染溯源的數(shù)學(xué)模擬方法歸納為四類[19]：優(yōu)化方法、解析方法、直接法、隨機(jī)理論和地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)方法。Sun等(2006)將地下水污染溯源的數(shù)學(xué)模擬方法歸納為三類[11]：優(yōu)化方法、隨機(jī)理論方法、逆時求解對應(yīng)彌散方程。文中采用Atmadja和Bagtzoglou(2001)的分類方法，歸納地下水污染物溯源的數(shù)學(xué)方法。

3.1 模擬-優(yōu)化方法

模擬-優(yōu)化方法將溯源問題轉(zhuǎn)化成優(yōu)化問題，即尋求污染源的位置、濃度等變量或它們的組合，使模擬模型的輸出結(jié)果最接近觀測數(shù)據(jù)。此方法常將正向的地下水流運(yùn)動和污染物遷移的模擬模型與優(yōu)化模型耦合在一起，形成模擬-優(yōu)化模型。在模擬-優(yōu)化模型中，正向的模擬模型被反復(fù)調(diào)用，各次模擬的結(jié)果將與觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，優(yōu)化模型則用于尋找使模擬結(jié)果最接近觀測數(shù)據(jù)的解(污染源的位置、濃度等變量)。按照優(yōu)化方法的差異，可大致將模擬-優(yōu)化方法進(jìn)一步分為非啟發(fā)式優(yōu)化算法和啟發(fā)式優(yōu)化算法。

3.1.1 模擬優(yōu)化模型的耦合方法

地下水流運(yùn)動和污染物遷移的模擬模型與優(yōu)化模型耦合方法主要有響應(yīng)矩陣法和嵌入法。響應(yīng)矩陣法[11, 28]利用響應(yīng)系數(shù)矩陣描述地下水系統(tǒng)內(nèi)脈沖(抽注水量或污染物質(zhì)量)與響應(yīng)(地下水位的升降或污染物濃度變化)的關(guān)系，并借助此矩陣實(shí)現(xiàn)模擬模型與優(yōu)化模型的耦合。該方法可以顯著地減少優(yōu)化模型中決策變量和約束方程的個數(shù)，但它的理論基礎(chǔ)要求地下水運(yùn)動方程和邊界均要具備線性齊次條件，這在實(shí)際應(yīng)用中卻較難滿足[29]。嵌入法[12, 24, 30]是將地下水流運(yùn)動和污染物遷移的模擬模型作為優(yōu)化模型的一部分約束條件，實(shí)現(xiàn)模擬模型與優(yōu)化模型的耦合。嵌入式的模擬-優(yōu)化模型要將各時刻所有空間離散點(diǎn)對應(yīng)的水頭和濃度作為優(yōu)化模型的決策變量，因此模型的計(jì)算量很大[31]。Datta等(2009)[31]將水流及溶質(zhì)模擬模型作為外部模塊，利用Jacobian矩陣將優(yōu)化模型和模擬模型連接在一起并控制優(yōu)化模型的搜索方向，同時確定污染源位置和含水層參數(shù)，這一方法顯著減少了決策變量數(shù)，提高了計(jì)算非線性優(yōu)化問題的可行性。

3.1.2 優(yōu)化算法

1) 非啟發(fā)式優(yōu)化方法

Gorelick等(1983)[28]較早使用優(yōu)化方法研究了理想的二維含水層中的污染物溯源問題，他們采用線性規(guī)劃法，多元線性回歸，并假設(shè)算例含水層參數(shù)不存在不確定性。Mahar和Datta(1997)[12]首先初步識別污染源的位置，并根據(jù)結(jié)果優(yōu)化觀測井網(wǎng)，最后利用優(yōu)化后的觀測井網(wǎng)得到更準(zhǔn)確的源位置，利用非線性規(guī)劃法確定污染源位置。隨后，Mahar和Datta(2001)[30]將文獻(xiàn)[12]的模擬優(yōu)化方法拓展到同時估計(jì)含水層參數(shù)和識別污染源位置(約束是線性的非線性規(guī)化問題的解法是減化梯度算法和擬牛頓算法的混合方法，非線性約束問題的解法是投影增廣拉格朗日算法)。Sun等(2006)[11]利用二次規(guī)劃軟件包SeDuMi求解了二維理想算例的溯源問題。他們考慮了模型本身的不確定性對溯源結(jié)果的影響，使用了帶約束的魯棒最小二乘方法恢復(fù)了二維理想算例中的污染物排放歷史，他們的方法可減小最優(yōu)解對模型和誤差引起的擾動的敏感性，且易于與MT3DMS等溶質(zhì)遷移模型結(jié)合。Ghafouri和Darabi(2007)[24]使用增廣拉格朗日乘子法求解模擬-優(yōu)化模型，從而確定污染源的位置和范圍，他們將其方法應(yīng)用于確定伊朗西南部的Ramhormoz含水層中的污染源位置。增廣拉格朗日乘子法減少了優(yōu)化問題對罰函數(shù)的系數(shù)的依賴性，也使原約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)闊o約束優(yōu)化問題。他們的方法中所有的空間離散點(diǎn)都可能作為污染源，其模型將低濃度的點(diǎn)除去，從而大幅度削減了計(jì)算量。Ghafouri和Darabi的方法中還考慮的吸附作用，這是之前研究中未有考慮的。

2) 啟發(fā)式算法

地下水污染物溯源問題的優(yōu)化問題常具有非線性、解空間非凸的特點(diǎn)，這是傳統(tǒng)優(yōu)化方法難以應(yīng)對的[32]。因此，啟發(fā)式算法越來越多地被應(yīng)用于這一領(lǐng)域。

遺傳算法是最為常見的啟發(fā)式算法。Aral等(2001)[33]將進(jìn)步式遺傳算法應(yīng)用于解決二維含水層中的污染物溯源問題，提高了模型的計(jì)算效率。他們的方法在測量誤差較大的情況下也可取得令人較為滿意的結(jié)果，污染源位置的起始搜索位置對該方法的搜索效果影響不大。如果觀測數(shù)據(jù)滿足：(1)在一個時間步長內(nèi)至少有一個觀測點(diǎn)有觀測數(shù)據(jù)；(2)獨(dú)立的觀測數(shù)據(jù)的數(shù)量多于待確定變量的個數(shù)，那么觀測數(shù)據(jù)的缺少不會對溯源結(jié)果造成過壞的影響。遺傳算法的全局搜索能力強(qiáng)，但局部搜索能力有所欠缺，為此Mahinthakumar和Sayeed(2005)[34]將遺傳算法和局部搜索算法相結(jié)合，形成GA-LS方法，并將其應(yīng)用于三維溯源問題。GA用于確定單一非點(diǎn)狀污染源的位置，局部搜索算法則用于細(xì)化GA算法的識別解果。Singh和Datta(2006)[35]采用外部連接的形式將遺傳算法和地下水流及溶質(zhì)遷移模型耦合在一起，形成模擬優(yōu)化模型，并將其應(yīng)用于二維溯源問題。他們的方法可用于確定多個污染源的位置及排放歷史，即使存在觀測數(shù)據(jù)存在測量誤差也可得到較好的溯源結(jié)果。當(dāng)污染源個數(shù)增加時，溯源問題的復(fù)雜程度也隨之增加。污染源如果不局限于幾個可能位置，而是散布在一個區(qū)域內(nèi)時，測量誤差對溯源結(jié)果的誤差影響更大。這種情況下，GA的方法要優(yōu)于ANN方法。

Yeh等(2007)[36]利用禁忌搜索-模擬退火算法，結(jié)合三維污染物遷移模型，研究了理想算例中的污染源位置及污染物排放濃度與時間。禁忌搜索算法負(fù)責(zé)從疑似污染區(qū)中確定污染源位置，而模擬退火算法負(fù)責(zé)計(jì)算污染物排放濃度與時間的試探值。他們的方法具有對污染源的初始估計(jì)值的依賴程度低的優(yōu)點(diǎn)。其成果表明至少需要6個監(jiān)測點(diǎn)(每個監(jiān)測點(diǎn)有四個濃度間隔的監(jiān)測值)，才能正確地估計(jì)出污染源的排放信息。Yeh等的研究中的污染源是恒定源，其污染物排放的濃度和時間是不隨時間變化的，然而對于間斷排放的污染源，Yeh的方法仍有待于驗(yàn)證。

Mirghani等(2009)[26]采用進(jìn)化算法研究了三維理想算例中的溯源問題。他們的研究表明含水層滲透系數(shù)的非均質(zhì)性對算法的搜索效率沒有決定性的影響。他們對算法的可靠性和一致性進(jìn)行了較為深入的分析，并發(fā)現(xiàn)當(dāng)采用更多的決策變量刻畫污染源特征時，問題的復(fù)雜度加大，使預(yù)測誤差和求解誤差的非一致性變得更為顯著。

Bharat等(2009)[37]以粒子群算法作為尋優(yōu)工具，追溯了一維地下水流中污染羽的演變歷史。Bharat等(2009)使用的算例與Skaggs和Kabala(1994)[16]相同。方法計(jì)算過程表明不同的解能得到相同的污染物排放曲線。且這些曲線呈現(xiàn)出陡峭的峰，需要施加全局約束平滑這些曲線。Vesselinov和Harp(2010)[38]將自適應(yīng)粒子群算法和麥夸特搜索方法相結(jié)合，得到了SQUADS方法，這一方法兼顧了全局最優(yōu)和局部最優(yōu)解，能夠高效地在解空間中搜索最優(yōu)解，模擬結(jié)果與觀測濃度的一致性較高。

上述各研究在解決溯源問題時，都假設(shè)已知污染源的個數(shù)，然而實(shí)際情況下污染源的數(shù)量也可能是未知的。Ayaz(2010)[39]引入和聲算法求解溯源問題，并在和聲算法過程中加入了一個隱含求解過程，實(shí)現(xiàn)在確定污染源位置和排放歷史的同時，確定污染源的個數(shù)。雖然該項(xiàng)研究中假定邊界條件、滲透系數(shù)、彌散系數(shù)不存在不確定性，但Ayaz認(rèn)為考慮這些不確定性是重要的。測量誤差能影響污染物的排放量的確定，不影響污染源的定位。污染源與觀測井間的距離影響污染源特征的解析。當(dāng)污染源的數(shù)量較多時，模型的計(jì)算量增大，這需要采用并行計(jì)算手段，從而提高計(jì)算效率。

3.1.3 計(jì)算效率的提高方法

在模擬-優(yōu)化模型中，正向的模擬模型被反復(fù)調(diào)用，各次模擬的結(jié)果將與觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，優(yōu)化模型則用于尋找使模擬結(jié)果最接近觀測數(shù)據(jù)的解(污染源的位置、濃度等變量)。由于需要多次運(yùn)行模擬模型，所以這一方法的計(jì)算量是非常巨大的。目前，削減計(jì)算量的方法通常有并行計(jì)算方法(Code parallelization)[26]和替代模型法(Surrogate modeling)[40]。

并行計(jì)算指同時使用多種計(jì)算資源解決計(jì)算問題的過程，是快速解決大型且復(fù)雜的計(jì)算問題的有效方法之一。并行計(jì)算方法有效地提高了計(jì)算效率，顯著地縮短了計(jì)算時間，促進(jìn)了溯源問題向三維問題的發(fā)展。Mahinthakumar和Sayeed(2005)[34]、Mirghani等(2009)[26]先后將并行計(jì)算引入了三維溯源問題中。Mirghani等(2009)[26]系統(tǒng)地分析了并行方法的效果，他們的研究表明這一方法能夠勝任算例中的溯源工作，并行計(jì)算的方法使計(jì)算速度提高了約100倍。然而，并行計(jì)算是一個專業(yè)的工作，對使用者的專業(yè)素質(zhì)(命令與代碼操作)要求高，這限制了它在普通研究人員或用戶中的推廣。

相對于并行計(jì)算方法，替代模型方法則更易于被使用者所掌握。溯源問題涉及的替代模型方法主要以人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Artificial Neural Network，ANN)為主。利用模擬模型的輸出結(jié)果訓(xùn)練ANN，并將訓(xùn)練好的ANN作為替代模型用于污染物溯源問題。Singh和Datta(2004)[41]認(rèn)為ANN是最優(yōu)統(tǒng)計(jì)范型識別方法[42]的拓展與延續(xù)，他們將ANN方法用于二維理想溯源問題，在確定污染源排放量的同時，還進(jìn)行了含水層參數(shù)的識別，并提出了評價模型計(jì)算效果及ANN結(jié)構(gòu)的指標(biāo)。Singh和Datta(2007)[43]進(jìn)一步研究了ANN方法在無觀測誤差、有觀測誤差和觀測數(shù)據(jù)缺失三種情況下的效果，并指出雖然這一方法能夠解決理想的溯源問題，但是ANN在用于溯源問題時，存在以下局限性：(1)對ANN的訓(xùn)練決定溯源結(jié)果的優(yōu)劣；(2)研究中使用的是均質(zhì)含水層。隨后Bashi-Azghadi等(2010)(23)將替代模型方法運(yùn)用到真實(shí)的污染物溯源研究中。他們利用非支配排序遺傳算法優(yōu)化觀測井位，后利用優(yōu)化后的觀測井位結(jié)合概率支持向量機(jī)和概率神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)未知污染源的主要特征，并確定了德黑蘭精煉廠的潛水含水層中的石油類碳?xì)浠衔锏奈廴疚恢煤团欧帕俊?/p>

3.2 解析方法和回歸方法

解析方法的計(jì)算效率要高于模擬優(yōu)化方法，適宜在水文地質(zhì)條件及污染物遷移過程簡單的情況下使用。Ala和Domenico(1992)[44]采用解析法研究了Otis空軍基地的地下水污染強(qiáng)度和大小、污染物鋒面的對流位置。污染物有氯化物、硼、三氯乙烯、四氯乙烯、可生物降解和不可生物降解的污染組份。Butcher和Gauthier(1994)[45]利用簡化的解析解估計(jì)了Massachusetts東北部一工廠舊址的DNAPL污染物殘留量，并通過假設(shè)條件，利用最小二乘算子求得簡化解析解中參數(shù)。這一方法能判別殘留的DNAPL源是否存在，但不能準(zhǔn)確地估計(jì)殘留污染源的體積和溶解時間。Sidauruk等(1998)[46]用解析法求解了污染物遷移的反問題，只需知道濃度分布，就能估計(jì)彌散系數(shù)、流速、污染物量及初始位置、時間起點(diǎn)，最小化線性回歸的相關(guān)系數(shù)。由于使用了解析法，該方法只能用于幾何形狀簡單的2維均質(zhì)含水層和水流運(yùn)動。

Alapati和Kabala(2000)[47]利用非線性最小二乘方法(NLS)追溯了污染物排放歷史。他們的方法中沒有利用正則化技術(shù)，他們的研究表明當(dāng)污染物逐漸釋放的情況下，NLS方法的結(jié)果對誤差干擾十分敏感；當(dāng)污染物大量釋放的情況下，即使存在較大的誤差干擾，NLS方法也能得到較好的結(jié)果，此時NLS方法可以替代Tikhonov正則化方法。

3.3 直接法

提克洛夫正則化(Tikhonov Regularization，TR)方法的主要思想是利用對解和數(shù)據(jù)誤差的先驗(yàn)估計(jì)可以將問題的求解限定在某個較小范圍內(nèi)，對問題的提法進(jìn)行適當(dāng)?shù)母脑旌?，原本不適定的問題就可以轉(zhuǎn)化為適定的最優(yōu)化問題求解，而且先驗(yàn)估計(jì)表明在一定精度下用正則化方法求得的解是合理的。正則化技術(shù)需要污染源函數(shù)特征的先驗(yàn)知識，正則化項(xiàng)的權(quán)重較難確定[27]，也較難確保得到的解是最優(yōu)解[34]。

Skaggs和Kabala(1994)[16]利用Tikhonov正則化追溯污染羽發(fā)展歷史，并研究了污染羽的測量誤差、遷移參數(shù)誤差和數(shù)值穩(wěn)定性對追溯污染羽的影響，他們的方法對舍入誤差不敏感，但是污染羽的測量誤差對計(jì)算精度影響較大。方法中的正則化項(xiàng)的權(quán)重對計(jì)算結(jié)果的精度影響較大，權(quán)重過小時，正則化的穩(wěn)定作用失效，而權(quán)重過大時，反問題的解本質(zhì)上是被人工平滑了。隨后，Liu和Ball(1999)[27]在Skaggs和Kabala(1994)的研究基礎(chǔ)上[16]，假定污染物的遷移方式以彌散為主，利用觀測數(shù)據(jù)，估計(jì)了Dover空軍基地低滲透性隔水層中三氯乙烯和四氯乙烯的污染羽演變歷史。方法中將污染羽的演變歷史假設(shè)為一個未知形式的函數(shù)，并利用Tikhonov正則化方法將溯源問題轉(zhuǎn)化為一個最小化問題，該問題以估計(jì)邊界上濃度函數(shù)為目的。

Neupauer等(2000)[48]比較了TR方法和最小相對熵(Minimum Relative Entropy，MRE)方法，他們的研究表明兩種方法都能建立光滑的污染源函數(shù)，污染源演化歷史是無誤差的分段函數(shù)時，MRE要優(yōu)于TR方法，而當(dāng)已知的數(shù)據(jù)存在誤差時，TR算法要比MRE更穩(wěn)定。但是TR和MER方法的解的質(zhì)量取決于具體的溯源問題和模擬者主觀的輸入[34]。

擬可逆方法(Quasi-Reversibility，QR)原本用于求解逆時間彌散問題[49]，Skaggs和Kabala(1995)[50]通過在移動坐標(biāo)系內(nèi)求解QR算子，將QR方法拓展到對流-彌散條件下的逆問題中，反演了一維含水介質(zhì)中污染羽的變化過程。QR方法計(jì)算精度要劣于TR方法，但其計(jì)算效率要高于TR方法，此外，QR方法在應(yīng)用于非均質(zhì)介質(zhì)時較TR方法容易[50]。目前，QR和TR方法尚無應(yīng)用于非均質(zhì)含水層的研究實(shí)例[19]。

伴隨法是變分?jǐn)?shù)據(jù)同化方法中的一種方法，伴隨法具有數(shù)值穩(wěn)定的優(yōu)點(diǎn)，且能有效的減少模擬次數(shù)[14]，曾被用于含水層參數(shù)的估計(jì)問題[51, 52]和敏感性分析[52]。Neupauer和Wilson(1999)[53]指出逆時的污染物的位置概率和遷移時間概率是順時的污染物的質(zhì)量-體積濃度的伴隨狀態(tài)，并采用伴隨方程代替了溶質(zhì)遷移的控制方程，伴隨狀態(tài)替換了遷移方程中的因變量(溶質(zhì)濃度)，研究了一維逆時對流-彌散方程的求解方法。隨后，Neupauer和Wilson(2001)[54]又將此方法拓展到三維逆時對流-彌散方程的求解，并反演了一個二維理想算例中污染源位置。

常用的數(shù)值方法通常是進(jìn)步式的，當(dāng)時間步長是負(fù)值時，這些方法是不穩(wěn)定的，因此難以在逆時間維的情況下追溯污染物的遷移歷史[55]。Atmadja和Bagtzoglou(2001)[55]先將污染物遷移的控制方程轉(zhuǎn)化為Jury Backward Beam Equation(JBBE)，然后使Jury方法和Marching方法相結(jié)合，得到Marching-Jury Backward Beam Equation(MJBBE)法。該方法不僅在求解一維非均質(zhì)含水層中污染羽的空間分布與時間演化中取得了良好的效果，其計(jì)算效率也約是JBBE方法的計(jì)算效率的3倍[55]，但這種方法對噪聲是敏感的[19]。

Milnes和Perrochet(2007)[14]在轉(zhuǎn)換函數(shù)理論[56]的基礎(chǔ)上，將觀測值作為初始條件，反向模擬地下水流場，通過污染質(zhì)濃度等值線的變化，確定污染源的位置和污染排放時間。他們的方法被用于二維非均質(zhì)的理想算例中，但是方法基于的假設(shè)是已知含水層及遷移參數(shù)，已知地下水水流的流場，局限于單一不反應(yīng)污染質(zhì)的溯源問題。

3.4 隨機(jī)理論法

Datta等(1989)[42]基于統(tǒng)計(jì)范型識別算法建立了追溯污染源的專業(yè)系統(tǒng)。他們研究了參數(shù)不確定性、測量誤差、數(shù)據(jù)缺失對溯源結(jié)果的影響。他們的創(chuàng)立的方法，在數(shù)據(jù)缺失的情況下是較為有效的[23]。在獲得相近的結(jié)果時，統(tǒng)計(jì)范型識別方法需要的數(shù)據(jù)要少于優(yōu)化方法[16, 57]。

Wagner(1992)[15]采用非線性最大似然估計(jì)法同時估計(jì)了含水層參數(shù)、污染物的排放量，并利用一階不確定性分析方法評價了最大似然估計(jì)法的可靠性及模擬模型的準(zhǔn)確性。Wagner的研究中，假設(shè)含水層的參數(shù)分區(qū)和污染源的位置是已知的，因此更適用于對含水層參數(shù)和污染源位置有一定了解的溯源問題。

Bagtzoglou等(1991，1992)[13, 58]用隨機(jī)走方法模擬理想二維非均質(zhì)含水層中的逆時間溶質(zhì)遷移方程，采用逆向的速度場達(dá)到逆時間的效果，污染物遷移模型中的對流項(xiàng)是逆時的，但彌散項(xiàng)是不變的。還采用地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法評價了各污染源的相對重要程度。他們的方法可用于已知準(zhǔn)確的滲透系數(shù)值及空間分布和滲透系數(shù)值及空間分布存在不確定性的情況。

Wilson和Liu(1994)[59]采用逆時隨機(jī)微分方程求解溶質(zhì)遷移方程。方程中的對流項(xiàng)是逆時的，但彌散項(xiàng)是不變的。他們指出在給定合適的邊界條件后，這一方法能拓展到含有線性動態(tài)吸附和一階衰變過程的溯源問題。Liu和Wilson(1995)[60]又將這一方法拓展到2維非均質(zhì)含水層中。

Woodbury和Ulrych(1996)[21]利用最小相對熵研究了一維穩(wěn)定流算例中污染羽的變化歷史。污染源函數(shù)被離散成多個狀態(tài)，每個狀態(tài)被當(dāng)作是一個統(tǒng)計(jì)變量，原問題被轉(zhuǎn)換成估計(jì)這些變量的后驗(yàn)聯(lián)合概率密度函數(shù)[27]。Woodbury和Ulrych(1996)指出這一方法不僅可以追溯污染歷史，也可用于預(yù)測污染的未來的發(fā)展?fàn)顟B(tài)。隨后Woodbury等(1998)[61]在三維的污染羽觀測數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，利用該方法反演了Gloucester填埋場中1，4-二惡烷的排放歷史。這一研究中，Gloucester填埋場的地下水流被概化成一維穩(wěn)定滲流。Woodbury等(1998)的研究表明，早期的污染源排放歷史的恢復(fù)效果較差，如果想反演出整個排放歷史，污染羽的監(jiān)測數(shù)據(jù)的時間系列則要盡可能的長。

Snodgrass和Kitanidis(1997)[22]將貝葉斯理論和地質(zhì)統(tǒng)計(jì)技術(shù)相結(jié)合，將待估計(jì)的源函數(shù)離散成多個單元，每個單元都有給定的隨機(jī)結(jié)構(gòu)和未知的隨機(jī)參數(shù)。這一方法的解更具有普適性，且不需要對未知污染源的特性和結(jié)構(gòu)做出盲目的假設(shè)，但是此方法的限制是潛污染源的位置必須是先驗(yàn)的[19]。

地質(zhì)統(tǒng)計(jì)反向分析法(geostatistical inversion approach)[22, 62, 63]也是一種常用溯源方法。方法假設(shè)待求的污染源的排放歷史是一個未知函數(shù)，通過隨機(jī)理論估計(jì)出這一函數(shù)，從而得到反問題的解。求解過程中，未知函數(shù)將被離散成多個點(diǎn)，每個點(diǎn)對應(yīng)于一個觀測值，對于每個離散點(diǎn)都要計(jì)算一次敏感性矩陣[62]。敏感性矩陣的計(jì)算量很大，多維情況下就更大[62]。隨機(jī)理論方法的研究報(bào)道主要集中于一維介質(zhì)中的污染質(zhì)分布、點(diǎn)狀污染源或?qū)娱g污染源的排放歷史，且較少涉及非均質(zhì)介質(zhì)中的污染物遷移問題。Michalak和Kitanidis(2004)[62]將地質(zhì)統(tǒng)計(jì)分析與伴隨法相結(jié)合，建立了追溯三維非均質(zhì)污染物遷移的方法，并用其反演了二維非均質(zhì)介質(zhì)的理想算例中污染物的演變歷史。研究中，地質(zhì)統(tǒng)計(jì)分析法負(fù)責(zé)計(jì)算某給定點(diǎn)污染質(zhì)的分布，伴隨法則承擔(dān)提高模型計(jì)算效率的重任。以往的地質(zhì)統(tǒng)計(jì)分析法忽略了模型的不確定性，為此Sun(2007)[64]提出了魯棒地質(zhì)統(tǒng)計(jì)法(Robust Geostatistical approach)，在考慮參數(shù)不確定性和測量誤差的前提下，將問題轉(zhuǎn)化為求最小值的優(yōu)化問題，最終采用半定規(guī)劃方法求解。

4 結(jié)語

地下水污染物溯源是地下水污染治理的首要步驟。地下水污染物溯源工作是制定和選擇污染治理策略與方法的基礎(chǔ)，可為判定不同污染源或污染肇事者的責(zé)任大小提供依據(jù)，也可為確定污染治理成本在不同污染肇事者間的分配比例提供幫助。數(shù)學(xué)理論上，地下水污染物溯源問題本質(zhì)上是一種典型的逆問題(不適定問題)，它具有解的不唯一性和解的不穩(wěn)性，是國內(nèi)外研究的重要難點(diǎn)。物理過程上，地下水污染物溯源問題涉及水流運(yùn)動、溶質(zhì)遷移、物理化學(xué)反應(yīng)等方面，側(cè)重于多學(xué)科方法的綜合應(yīng)用和交叉研究。地下水污染物溯源的數(shù)學(xué)方法的研究已有近30年的歷史，目前主要的數(shù)學(xué)方法可分為模擬-優(yōu)化方法、解析方法、直接法和隨機(jī)理論方法，然而每種方法都有各自的優(yōu)點(diǎn)與局限性，今后應(yīng)進(jìn)一步加強(qiáng)以下幾方面的研究：

(1) 在復(fù)雜溯源問題中研究與應(yīng)用。現(xiàn)有研究多集中于簡單的理想算例，多數(shù)研究均針對一維或二維均質(zhì)各向同性含水層中的污染物溯源問題，污染源多為點(diǎn)狀源[62]。雖然這些研究中的方法在應(yīng)用于簡單算例時，取得了較好的效果，但卻較難應(yīng)對實(shí)際的工程問題。

(2) 溯源問題中物理化學(xué)及生物作用的表達(dá)。目前，溯源研究主要以單一的不反應(yīng)污染物為主，少數(shù)研究中考慮了線性吸附作用，少數(shù)實(shí)例研究中考慮了有機(jī)污染物的變化。然而，地下水中污染物可能存在多種，也可能同時發(fā)生不同的物理化學(xué)及生物作用，這增加了溯源的困難程度，也使這一研究更有挑戰(zhàn)性。

(3) 溯源模型計(jì)算效率的提高。溯源模型計(jì)算量巨大，計(jì)算耗時，尤其是采用優(yōu)化方法時，計(jì)算時間長的問題更為突出。雖然并行技術(shù)和替代模型方法可以有效地削減計(jì)算時間，但是并行技術(shù)對使用者的專業(yè)素質(zhì)要求高，這限制了它在普通研究人員或用戶中的推廣，而替代模型法不能體現(xiàn)溯源問題的物理基礎(chǔ)，在使用時也受到限制。

(4) 多數(shù)溯源方法對觀測數(shù)據(jù)的不確定性考慮較多，而對模型本身的不確定性考慮不足[11]。在模型參數(shù)確定的前提下，觀測數(shù)據(jù)的誤差是溯源結(jié)果好壞的主要決定因素。然而，實(shí)際問題中模型參數(shù)，如滲透系數(shù)和彌散系數(shù)，也存在不確定性，此時溯源問題將受到觀測數(shù)據(jù)和模型本身不確定性的雙重影響，異參同效的現(xiàn)象將更為顯著。如果排除不確定性的困擾，獲得正確的溯源結(jié)果，是研究人員面臨的難題之一。

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[64]Sun A Y. A robust geostatistical approach to contaminant source identification[J]. Water Resources Research, 2007,43, W02418, doi: 10.1029/2006WR005106.

A Review of Mathematical simulation methods for groundwater pollution source identification

LONG Yu-qiao1，2，CUI Ting-ting1，2，LI Wei1，LI Yan-ge1，WU Chun-yong1

(1.Department of Hydrology and Water Resources, Nanjing Hydraulic Research Institute, Nanjing 210029, China；2.State Key Laboratory of Hydrology-Water Resources and Hydraulic Engineering, Nanjing 210098, China)

China has to face up to the groundwater resource crisis and the deteriorating groundwater environment. Reinforcing the studies on groundwater pollution source identification (GPSI) could be an important support of contaminate removing, groundwater protecting, potable water security, and society and economy development. Exploring the new theory and method of GPSI could push the studies on ill-posed problems, and improve the techniques of contaminate removing. GPSI has been studied for thirty years, and a brief review is given to conclude the characteristics of GPSI problems. The mathematical simulation method could be classified into four types: simulation-optimization method, analytical and regression method, direct method, and stochastic method. Each method has its advantages and disadvantages, further researches may focus on more complex GPSI problem, expressing physical chemistry and biological process, improving GPSI modeling efficiency, and model uncertainty.

groundwater；pollution；source identification；mathematical simulation methods

2016-09-28

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51409161；51509157)；江蘇省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(BK20140080)

龍玉橋(1984 -)，男，廣東英德人，博士，主攻方向：地下水?dāng)?shù)值模擬研究。

P641.12

A

1004-1184(2017)01-0001-07