夏炳文

摘要數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題教學(xué)，通過對(duì)解題之后的回顧反思，不僅可對(duì)解題過程有較全面的認(rèn)識(shí)，還可以使理解進(jìn)入深層結(jié)構(gòu)并起到觸類旁通的效果，真正實(shí)現(xiàn)做一道題，通一類題，變多道題，從而提高解題教學(xué)的有效性.

關(guān)鍵詞解題理論；解題分析；回顧反思

美國(guó)數(shù)學(xué)家G·波利亞說(shuō)：“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧”[1]， 他在《怎樣解題》中將解決問題時(shí)思維的自然階段分成四個(gè)階段——弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧反思，并重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)了回顧反思是最容易被忽略的，卻是最重要的， 所以將其作為解題的必要環(huán)節(jié)而固定下來(lái).解題應(yīng)有兩個(gè)方面的反思，一是解題層面的回顧反思，二是學(xué)會(huì)解題層面的回顧反思，反思解題過程是否嚴(yán)謹(jǐn)？反思解題方法是否可以優(yōu)化？反思題目是否可以推廣和變式？等等.

在目前的解題教學(xué)中，很多老師和學(xué)生為了解題而解題，大搞題海戰(zhàn)術(shù)，試圖通過窮盡題型而達(dá)到熟能生巧，不重視解題后的回顧反思，從而降低了解題教學(xué)的有效性，學(xué)生到下次解題時(shí)又重復(fù)“昨天的故事”，所以筆者認(rèn)為讓回顧反思成為教學(xué)常態(tài)，從反思中培養(yǎng)正確的數(shù)學(xué)思維方式和數(shù)學(xué)能力才是提高解題教學(xué)有效性的重要途徑.現(xiàn)舉例一則，以饗讀者.

題目已知拋物線C：y=x2，直線l：x+y+1=0，設(shè)P為直線l上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA和PB，其中A，B為切點(diǎn).證明直線AB過定點(diǎn).

這是筆者在進(jìn)行解析幾何教學(xué)時(shí)選擇的一個(gè)例題，在波利亞的解題理論指導(dǎo)下，引導(dǎo)學(xué)生先弄清問題，然后擬定計(jì)劃，最后實(shí)現(xiàn)計(jì)劃如下：

則直線AB的方程為y=x0ax+AaB+CB，即直線AB過定點(diǎn)-AaB，CB.

結(jié)論1已知拋物線C：x2=2ay（a≠0），直線l：Ax+By+C=0（B≠0），

點(diǎn)P在直線l上，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA和PB，其中A，B為切點(diǎn)，則

直線AB過定點(diǎn)-AaB，CB.

反思4 此結(jié)論以拋物線為載體，如果載體換成橢圓或雙曲線，是否也有相應(yīng)的結(jié)論呢？

探究已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），直線l：Ax+By+C=0（C≠0），點(diǎn)P在直線l上，過點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線PA和PB，其中A，B為切點(diǎn)，則直線AB是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)是什么？

解設(shè)P（x0，y0），由解法3知直線AB的方程為x0xa2+y0yb2=1，又因?yàn)镻點(diǎn)在直線l上，所以Ax0+By0+C=0，

當(dāng)B=0時(shí)，x0=-CA，此時(shí)直線AB的方程為-CAa2x+y0b2y=1，即直線AB過定點(diǎn)-a2AC，0，

當(dāng)B≠0時(shí)，y0=-Ax0+CB，此時(shí)直線AB的方程為x0xa2-AyBb2=CyBb2+1，即

直線AB過定點(diǎn)-a2AC，-b2BC.

綜上知直線AB過定點(diǎn)-a2AC，-b2BC.

結(jié)論2已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），直線l：Ax+By+C=0（C≠0），

點(diǎn)P在直線l上，過點(diǎn)P作雙曲線的兩條切線PA和PB，其中A，B為切點(diǎn)，則直線AB過定點(diǎn)-a2AC，-b2BC.

同理還可以得到雙曲線中也有類似的結(jié)論.

結(jié)論3已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a，b>0），直線l：Ax+By+C=0（C≠0），點(diǎn)P在直線l上，過點(diǎn)P作雙曲線C的兩條切線PA和PB，其中A，B為切點(diǎn)，則直

線AB過定點(diǎn)-a2AC，b2BC.（證明過程略）

反思5 如果把題目的條件和結(jié)論互換，是否也成立？

探究 已知拋物線C：x2=2ay（a≠0），過定點(diǎn)（m，n）的動(dòng)直線l與拋物線C

相交于A、B，過點(diǎn)A、B分別作拋物線C的切線，兩條切線的交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M的

軌跡是不是直線？若是，軌跡方程是什么？.

解設(shè)M（x0，y0），由反思3知直線l的方程為x0ax-y=y0，因?yàn)閘過定點(diǎn)（m，n），所以x0am-n=y0，即點(diǎn)M的軌跡是直線，且方程為mx-ay-an=0.

結(jié)論4已知拋物線C：x2=2ay（a≠0），過定點(diǎn)（m，n）的動(dòng)直線l與拋物線C

相交于A、B，過點(diǎn)A、B分別作拋物線C的切線，兩條切線的交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M的軌跡方程是mx-ay-an=0.

同理還可以得到橢圓和雙曲線也有類似的結(jié)論.

結(jié)論5已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），過定點(diǎn)（m，n）（m，n不全為0）的動(dòng)直線l與橢圓C相交于A、B，過點(diǎn)A、B分別作橢圓C的切線，兩條切線的交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M的軌跡方程為mxa2+nyb2=1.（證明過程略）

結(jié)論6已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a，b>0），過定點(diǎn)（m，n）（m，n不全為0）的動(dòng)直線l與雙曲線C相交于A、B，過點(diǎn)A、B分別作雙曲線C的切線，兩條切線的交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M的軌跡方程為mxa2-nyb2=1.（證明過程略）

筆者在最近幾年高考試題中發(fā)現(xiàn)類似的題目，具體鏈接如下：

1.（2013年高考數(shù)學(xué)遼寧卷理科第20題）如圖，

拋物線C1：x2=4y，C2：x2=-2py（p>0），點(diǎn)M（x0，y0）在拋物線C2上，

過M作C1的切線，切點(diǎn)為A、B （M為原點(diǎn)O時(shí)， A、B重合于O），切線MA的斜率為-12，x0=1-[KF（]2[KF）].

（Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程（A，B重合于O，中點(diǎn)為O）.

2.（2013年高考數(shù)學(xué)廣東卷理科第20題）已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F（0，c）（c>0）到直線l：x-y-2=0的距離為322，設(shè)P為直線l上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA和PB，其中A，B為切點(diǎn).

（Ⅰ） 求拋物線C的方程；

（Ⅱ） 當(dāng)點(diǎn)P（x0，y0）為直線l上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程；

（Ⅲ） 當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí)，求|AF|·|BF|的最小值.

3.（2014年高考數(shù)學(xué)廣東卷理科第20題）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)為5，0，離心率為53.

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）為橢圓C外一點(diǎn)，且過點(diǎn)P的橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程.

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題教學(xué)，在解題教學(xué)中，教師不能只展示解答過程，要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題過程進(jìn)行自覺的反思，反思不僅可對(duì)解題過程有較全面的認(rèn)識(shí)，還可以使理解進(jìn)入深層結(jié)構(gòu)并起到觸類旁通的效果，真正實(shí)現(xiàn)做一道題，通一類題，變多道題，從而提高解題教學(xué)的有效性，同時(shí)教師只有在反思中不斷提高自身的學(xué)科素養(yǎng)，才可以促進(jìn)學(xué)生不斷成長(zhǎng)，因?yàn)椤敖處煹纳疃葲Q定了學(xué)生的高度”，讓回顧反思成為教學(xué)常態(tài)！

參考文獻(xiàn)

[1] G·波利亞.怎樣解題[M].涂泓，馮承天譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007.